منو
 کاربر Online
420 کاربر online
تاریخچه ی: گروه ساده

تفاوت با نگارش: 7

Lines: 1-79Lines: 1-79
 ||V{maketoc}|| ||V{maketoc}||
 ::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} را __ساده__ می‌نامیم ، هرگاه هیچ ((زیرگروه نرمال)) سره نابدیهی ، نداشته باشد.#@||:: ::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} را __ساده__ می‌نامیم ، هرگاه هیچ ((زیرگروه نرمال)) سره نابدیهی ، نداشته باشد.#@||::
 ^@#16: ^@#16:
 !قضیه‌ها !قضیه‌ها
 !!قضیه 1.  !!قضیه 1.
 اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {|G|=p} {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} ((اعداد اول|عدد اول)) است ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ساده است. اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {|G|=p} {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} ((اعداد اول|عدد اول)) است ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ساده است.
 --- ---
 !!قضیه 2. !!قضیه 2.
 اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) باشد ، {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده باشد. اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) باشد ، {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده باشد.
 __اثبات:__ __اثبات:__
 فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ، ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، آنگاه ((گروه)) {TEX()} {G/M} {TEX} ((خوش‌تعریف)) می‌باشد . ثابت می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است: فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ، ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، آنگاه ((گروه)) {TEX()} {G/M} {TEX} ((خوش‌تعریف)) می‌باشد . ثابت می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است:
 ((برهان خلف)) : ((برهان خلف)) :
 فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده نباشد ، بنابراین ((زیرگروه نرمال)) سره از {TEX()} {G/M} {TEX} وجود دارد ، لذا {TEX()} {N} {TEX} را ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G/M} {TEX} اختیار می‌کنیم . فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده نباشد ، بنابراین ((زیرگروه نرمال)) سره از {TEX()} {G/M} {TEX} وجود دارد ، لذا {TEX()} {N} {TEX} را ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G/M} {TEX} اختیار می‌کنیم .
-فرض می کنیم {TEX()} {\varphi : G \rightarrow G/M} {TEX} یک ((هم‌ریختی گروه)) باشد . لذا {TEX()} {\varphi^{-1}(G/M)} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G} {TEX} است که شامل {TEX()} {M} {TEX} می باشد ؛ که این امر با ((ماکسیمال)) بودن {TEX()} {M} {TEX} تناقض دارد.در نتیجه {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده است . +فرض می کنیم {TEX()} {\varphi : G \rightarrow G/M} {TEX} یک ((هم‌ریختی گروه)) باشد . لذا {TEX()} {\varphi^{-1}(G/M)} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G} {TEX} است که شامل {TEX()} {M} {TEX} می باشد ؛ که این امر با ((زیرگروه نرمال|ماکسیمال)) بودن {TEX()} {M} {TEX} تناقض دارد.در نتیجه {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده است .
 حال فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است . ثابت می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است: حال فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است . ثابت می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است:
 ((برهان خلف)): ((برهان خلف)):
 فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} نباشد. لذا ((زیرگروه نرمال)) از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {H} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {M<H} {TEX}. آنگاه {TEX()} {\varphi (H) \triangleleft G/M } {TEX} که {TEX()} {\varphi} {TEX} ((تابع پوشا|پوشا)) است. اما {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است. که این تناقض می‌باشد. پس {TEX()} {H} {TEX} موجود نیست و {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است. فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} نباشد. لذا ((زیرگروه نرمال)) از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {H} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {M<H} {TEX}. آنگاه {TEX()} {\varphi (H) \triangleleft G/M } {TEX} که {TEX()} {\varphi} {TEX} ((تابع پوشا|پوشا)) است. اما {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است. که این تناقض می‌باشد. پس {TEX()} {H} {TEX} موجود نیست و {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است.
 --- ---
 !!قضیه 3.  !!قضیه 3.
 فرض کنید {TEX()} {A,B} {TEX} دو ((زیرگروه نرمال)) {TEX()} {G} {TEX} باشند ، به‌طوری‌که : فرض کنید {TEX()} {A,B} {TEX} دو ((زیرگروه نرمال)) {TEX()} {G} {TEX} باشند ، به‌طوری‌که :
 1 . {TEX()} {AB=G} {TEX} 1 . {TEX()} {AB=G} {TEX}
 2 . {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX} 2 . {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
 آنگاه {TEX()} {G \corg A \times B} {TEX} آنگاه {TEX()} {G \corg A \times B} {TEX}
 __اثبات:__ __اثبات:__
 فرض می‌کنیم {TEX()} {f : A \times B \rightarrow G} {TEX} با ضابطه زیر بیان شده باشد : فرض می‌کنیم {TEX()} {f : A \times B \rightarrow G} {TEX} با ضابطه زیر بیان شده باشد :
 {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : f(a,b)=ab} {TEX} {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : f(a,b)=ab} {TEX}
 نشان می‌دهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((یک‌ریختی گروه)) است : نشان می‌دهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((یک‌ریختی گروه)) است :
 اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوش‌تعریف)) است . چرا که: اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوش‌تعریف)) است . چرا که:
 {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : (a,b)=(c,d) \Rightarrow a=c & b=d \Rightarrow ab=cd \Rightarrow f(a,b)=f(c,d)} {TEX} {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : (a,b)=(c,d) \Rightarrow a=c & b=d \Rightarrow ab=cd \Rightarrow f(a,b)=f(c,d)} {TEX}
 {TEX()} {f} {TEX} ((هم‌ریختی گروه)) نیز می‌باشد .زیرا طبق لم فوق داریم : {TEX()} {f} {TEX} ((هم‌ریختی گروه)) نیز می‌باشد .زیرا طبق لم فوق داریم :
 {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f((a,b).(c,d))=f(ac,bd)=acbd=abcd=f(a,b)f(c,d) } {TEX} {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f((a,b).(c,d))=f(ac,bd)=acbd=abcd=f(a,b)f(c,d) } {TEX}
 اکنون نشان می‌دهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((تابع یک به یک)) و ((پوشا)) است : اکنون نشان می‌دهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((تابع یک به یک)) و ((پوشا)) است :
 {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f(a,b)=f(c,d) \Rightarrow ab=cd \Rightarrow c^{-1}a=db^{-1} } {TEX} {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f(a,b)=f(c,d) \Rightarrow ab=cd \Rightarrow c^{-1}a=db^{-1} } {TEX}
 اما {TEX()} {c^{-1}a \in A , db^{-1} \in B} {TEX}. بنابراین: اما {TEX()} {c^{-1}a \in A , db^{-1} \in B} {TEX}. بنابراین:
 {TEX()} {c^{-1}a , db^{-1} \in A \cap B ={e} \Rightarrow [c^{-1}a=e & db^{-1}=e ] \Rightarrow [a=c & b=d ] \Rightarrow (a,b)=(c,d)} {TEX} {TEX()} {c^{-1}a , db^{-1} \in A \cap B ={e} \Rightarrow [c^{-1}a=e & db^{-1}=e ] \Rightarrow [a=c & b=d ] \Rightarrow (a,b)=(c,d)} {TEX}
 اما با توجه به خاصیت 1 واضح است که {TEX()} {f} {TEX} پوشا است. اما با توجه به خاصیت 1 واضح است که {TEX()} {f} {TEX} پوشا است.
 --- ---
 !!قضیه 4.  !!قضیه 4.
 فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه ضربی)) و{TEX()} {A,B \le G} {TEX} باشد و همچنین : فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه ضربی)) و{TEX()} {A,B \le G} {TEX} باشد و همچنین :
 1 . {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : ab=ba} {TEX} 1 . {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : ab=ba} {TEX}
 2 . {TEX()} {\forall g \in G \exists !a \in A , b \in B : g=ab} {TEX} 2 . {TEX()} {\forall g \in G \exists !a \in A , b \in B : g=ab} {TEX}
 آنگاه {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX} آنگاه {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}
 __اثبات:__ __اثبات:__
 {TEX()} {A,B} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند . چون {TEX()} {g \in G} {TEX} ، بنا به 2 ، پس عناصری مانند {TEX()} {a_1 \in A , b_1 \in B} {TEX} یافت می‌شوند که {TEX()} {g=a_1b_1} {TEX}.بنابراین: {TEX()} {A,B} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند . چون {TEX()} {g \in G} {TEX} ، بنا به 2 ، پس عناصری مانند {TEX()} {a_1 \in A , b_1 \in B} {TEX} یافت می‌شوند که {TEX()} {g=a_1b_1} {TEX}.بنابراین:
 {TEX()} {gag^{-1}=a_1b_1a(a_1b_1)^{-1}=a_1b_1a{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1ab_1{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1a{a_1}^{-1} \in A \Rightarrow A \triangleleft G } {TEX} {TEX()} {gag^{-1}=a_1b_1a(a_1b_1)^{-1}=a_1b_1a{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1ab_1{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1a{a_1}^{-1} \in A \Rightarrow A \triangleleft G } {TEX}
 مشابهاً {TEX()} {B \triangleleft G } {TEX} مشابهاً {TEX()} {B \triangleleft G } {TEX}
 طبق خاصیت 2 : طبق خاصیت 2 :
 {TEX()} {\forall g \in G : g=eg=ge} {TEX} {TEX()} {\forall g \in G : g=eg=ge} {TEX}
 و چون {TEX()} {e \in A} {TEX} ، با توجه به تساوی اول و {TEX()} {g \in A} {TEX} وچون {TEX()} {e \in B} {TEX} طبق تساوی دوم ، بنا به منحصر بفرد بودن نمایش عنصر {TEX()} {g \in G} {TEX} نتیجه میشود {TEX()} {g=e} {TEX}. لذا {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX} و چون {TEX()} {e \in A} {TEX} ، با توجه به تساوی اول و {TEX()} {g \in A} {TEX} وچون {TEX()} {e \in B} {TEX} طبق تساوی دوم ، بنا به منحصر بفرد بودن نمایش عنصر {TEX()} {g \in G} {TEX} نتیجه میشود {TEX()} {g=e} {TEX}. لذا {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
 همچنین طبق 2 ، {TEX()} {G=AB} {TEX} پس بنا به قضیۀ قبل {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX} همچنین طبق 2 ، {TEX()} {G=AB} {TEX} پس بنا به قضیۀ قبل {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}
 --- ---
 !لم‌ها !لم‌ها
 اگر {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیر گروه نرمال گروه ضربی {TEX()} {G} {TEX} باشند و {TEX()} {A \cap B=e} {TEX} ، آنگاه : اگر {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیر گروه نرمال گروه ضربی {TEX()} {G} {TEX} باشند و {TEX()} {A \cap B=e} {TEX} ، آنگاه :
 {TEX()} {\forall a \in A & b \in B : ab=ba} {TEX} {TEX()} {\forall a \in A & b \in B : ab=ba} {TEX}
 __اثبات:__ __اثبات:__
 عنصر {TEX()} {[a,b]=aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را در نظر می گیریم . اما : عنصر {TEX()} {[a,b]=aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را در نظر می گیریم . اما :
 {TEX()} {ba^{-1}b^{-1} \in A \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in A} {TEX} {TEX()} {ba^{-1}b^{-1} \in A \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in A} {TEX}
 همچنین : همچنین :
 {TEX()} {aba^{-1} \inB \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in B} {TEX} {TEX()} {aba^{-1} \inB \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in B} {TEX}
 بنابراین : بنابراین :
 {TEX()} {aba^{-1}b^{-1} \in A \cap B={e} \Rightarrow aba^{-1}b^{-1}=e \Rightarrow ab=ba} {TEX} {TEX()} {aba^{-1}b^{-1} \in A \cap B={e} \Rightarrow aba^{-1}b^{-1}=e \Rightarrow ab=ba} {TEX}
 --- ---
 !همچنین ببینید !همچنین ببینید
 *((گروه)) *((گروه))
 --- ---
 !پیوندهای خارجی !پیوندهای خارجی
 [mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.html ] [mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.html ]
 [en.wikipedia.org/wiki/Simple_group] [en.wikipedia.org/wiki/Simple_group]
 [web.usna.navy.mil/~wdj/tonybook/gpthry/node34.html] [web.usna.navy.mil/~wdj/tonybook/gpthry/node34.html]
 #@^ #@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:59 ]   8   سعید صدری      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:04 ]   7   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [17:04 ]   6   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [17:03 ]   5   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [16:40 ]   4   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [16:39 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [14:57 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [14:41 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..