تاریخچه ی:
گروه ساده
تفاوت با نگارش: 6
| ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
| ::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} را __ساده__ مینامیم ، هرگاه هیچ ((زیرگروه نرمال)) سره نابدیهی ، نداشته باشد.#@||:: | | ::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} را __ساده__ مینامیم ، هرگاه هیچ ((زیرگروه نرمال)) سره نابدیهی ، نداشته باشد.#@||:: |
| ^@#16: | | ^@#16: |
| !قضیهها | | !قضیهها |
| !!قضیه 1. | | !!قضیه 1. |
| اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {|G|=p} {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} ((اعداد اول|عدد اول)) است ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ساده است. | | اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {|G|=p} {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} ((اعداد اول|عدد اول)) است ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ساده است. |
| --- | | --- |
| !!قضیه 2. | | !!قضیه 2. |
| اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) باشد ، {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده باشد. | | اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) باشد ، {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده باشد. |
| __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ، ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، آنگاه ((گروه)) {TEX()} {G/M} {TEX} ((خوشتعریف)) میباشد . ثابت می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است: | | فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ، ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، آنگاه ((گروه)) {TEX()} {G/M} {TEX} ((خوشتعریف)) میباشد . ثابت می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است: |
| ((برهان خلف)) : | | ((برهان خلف)) : |
| فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده نباشد ، بنابراین ((زیرگروه نرمال)) سره از {TEX()} {G/M} {TEX} وجود دارد ، لذا {TEX()} {N} {TEX} را ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G/M} {TEX} اختیار میکنیم . | | فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده نباشد ، بنابراین ((زیرگروه نرمال)) سره از {TEX()} {G/M} {TEX} وجود دارد ، لذا {TEX()} {N} {TEX} را ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G/M} {TEX} اختیار میکنیم . |
- | فرض می کنیم {TEX()} {\varphi : G \rightarrow G/M} {TEX} یک ((همریختی گروه)) باشد . لذا {TEX()} {\varphi^{-1}(G/M)} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G} {TEX} است که شامل {TEX()} {M} {TEX} می باشد ؛ که این امر با ((ماکسیمال)) بودن {TEX()} {M} {TEX} تناقض دارد.در نتیجه {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده است . |
+ | فرض می کنیم {TEX()} {\varphi : G \rightarrow G/M} {TEX} یک ((همریختی گروه)) باشد . لذا {TEX()} {\varphi^{-1}(G/M)} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G} {TEX} است که شامل {TEX()} {M} {TEX} می باشد ؛ که این امر با ((زیرگروه نرمال|ماکسیمال)) بودن {TEX()} {M} {TEX} تناقض دارد.در نتیجه {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده است . |
| حال فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است . ثابت می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است: | | حال فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است . ثابت می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است: |
| ((برهان خلف)): | | ((برهان خلف)): |
| فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} نباشد. لذا ((زیرگروه نرمال)) از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {H} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {M<H} {TEX}. آنگاه {TEX()} {\varphi (H) \triangleleft G/M } {TEX} که {TEX()} {\varphi} {TEX} ((تابع پوشا|پوشا)) است. اما {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است. که این تناقض میباشد. پس {TEX()} {H} {TEX} موجود نیست و {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است. | | فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} نباشد. لذا ((زیرگروه نرمال)) از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {H} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {M<H} {TEX}. آنگاه {TEX()} {\varphi (H) \triangleleft G/M } {TEX} که {TEX()} {\varphi} {TEX} ((تابع پوشا|پوشا)) است. اما {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است. که این تناقض میباشد. پس {TEX()} {H} {TEX} موجود نیست و {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است. |
| --- | | --- |
| !!قضیه 3. | | !!قضیه 3. |
| فرض کنید {TEX()} {A,B} {TEX} دو ((زیرگروه نرمال)) {TEX()} {G} {TEX} باشند ، بهطوریکه : | | فرض کنید {TEX()} {A,B} {TEX} دو ((زیرگروه نرمال)) {TEX()} {G} {TEX} باشند ، بهطوریکه : |
| 1 . {TEX()} {AB=G} {TEX} | | 1 . {TEX()} {AB=G} {TEX} |
| 2 . {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX} | | 2 . {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX} |
| آنگاه {TEX()} {G \corg A \times B} {TEX} | | آنگاه {TEX()} {G \corg A \times B} {TEX} |
| __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| فرض میکنیم {TEX()} {f : A \times B \rightarrow G} {TEX} با ضابطه زیر بیان شده باشد : | | فرض میکنیم {TEX()} {f : A \times B \rightarrow G} {TEX} با ضابطه زیر بیان شده باشد : |
| {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : f(a,b)=ab} {TEX} | | {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : f(a,b)=ab} {TEX} |
| نشان میدهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((یکریختی گروه)) است : | | نشان میدهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((یکریختی گروه)) است : |
| اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوشتعریف)) است . چرا که: | | اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوشتعریف)) است . چرا که: |
| {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : (a,b)=(c,d) \Rightarrow a=c & b=d \Rightarrow ab=cd \Rightarrow f(a,b)=f(c,d)} {TEX} | | {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : (a,b)=(c,d) \Rightarrow a=c & b=d \Rightarrow ab=cd \Rightarrow f(a,b)=f(c,d)} {TEX} |
| {TEX()} {f} {TEX} ((همریختی گروه)) نیز میباشد .زیرا طبق لم فوق داریم : | | {TEX()} {f} {TEX} ((همریختی گروه)) نیز میباشد .زیرا طبق لم فوق داریم : |
| {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f((a,b).(c,d))=f(ac,bd)=acbd=abcd=f(a,b)f(c,d) } {TEX} | | {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f((a,b).(c,d))=f(ac,bd)=acbd=abcd=f(a,b)f(c,d) } {TEX} |
| اکنون نشان میدهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((تابع یک به یک)) و ((پوشا)) است : | | اکنون نشان میدهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((تابع یک به یک)) و ((پوشا)) است : |
| {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f(a,b)=f(c,d) \Rightarrow ab=cd \Rightarrow c^{-1}a=db^{-1} } {TEX} | | {TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f(a,b)=f(c,d) \Rightarrow ab=cd \Rightarrow c^{-1}a=db^{-1} } {TEX} |
| اما {TEX()} {c^{-1}a \in A , db^{-1} \in B} {TEX}. بنابراین: | | اما {TEX()} {c^{-1}a \in A , db^{-1} \in B} {TEX}. بنابراین: |
| {TEX()} {c^{-1}a , db^{-1} \in A \cap B ={e} \Rightarrow [c^{-1}a=e & db^{-1}=e ] \Rightarrow [a=c & b=d ] \Rightarrow (a,b)=(c,d)} {TEX} | | {TEX()} {c^{-1}a , db^{-1} \in A \cap B ={e} \Rightarrow [c^{-1}a=e & db^{-1}=e ] \Rightarrow [a=c & b=d ] \Rightarrow (a,b)=(c,d)} {TEX} |
| اما با توجه به خاصیت 1 واضح است که {TEX()} {f} {TEX} پوشا است. | | اما با توجه به خاصیت 1 واضح است که {TEX()} {f} {TEX} پوشا است. |
| --- | | --- |
| !!قضیه 4. | | !!قضیه 4. |
- | فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه ضربی)) و{TEX()} {A,B \le G} {TEX} باشد و همچنین : |
+ | فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه ضربی)) و{TEX()} {A,B \le G} {TEX} باشد و همچنین : |
| 1 . {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : ab=ba} {TEX} | | 1 . {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : ab=ba} {TEX} |
| 2 . {TEX()} {\forall g \in G \exists !a \in A , b \in B : g=ab} {TEX} | | 2 . {TEX()} {\forall g \in G \exists !a \in A , b \in B : g=ab} {TEX} |
| آنگاه {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX} | | آنگاه {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX} |
| __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| {TEX()} {A,B} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند . چون {TEX()} {g \in G} {TEX} ، بنا به 2 ، پس عناصری مانند {TEX()} {a_1 \in A , b_1 \in B} {TEX} یافت میشوند که {TEX()} {g=a_1b_1} {TEX}.بنابراین: | | {TEX()} {A,B} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند . چون {TEX()} {g \in G} {TEX} ، بنا به 2 ، پس عناصری مانند {TEX()} {a_1 \in A , b_1 \in B} {TEX} یافت میشوند که {TEX()} {g=a_1b_1} {TEX}.بنابراین: |
| {TEX()} {gag^{-1}=a_1b_1a(a_1b_1)^{-1}=a_1b_1a{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1ab_1{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1a{a_1}^{-1} \in A \Rightarrow A \triangleleft G } {TEX} | | {TEX()} {gag^{-1}=a_1b_1a(a_1b_1)^{-1}=a_1b_1a{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1ab_1{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1a{a_1}^{-1} \in A \Rightarrow A \triangleleft G } {TEX} |
| مشابهاً {TEX()} {B \triangleleft G } {TEX} | | مشابهاً {TEX()} {B \triangleleft G } {TEX} |
| طبق خاصیت 2 : | | طبق خاصیت 2 : |
| {TEX()} {\forall g \in G : g=eg=ge} {TEX} | | {TEX()} {\forall g \in G : g=eg=ge} {TEX} |
| و چون {TEX()} {e \in A} {TEX} ، با توجه به تساوی اول و {TEX()} {g \in A} {TEX} وچون {TEX()} {e \in B} {TEX} طبق تساوی دوم ، بنا به منحصر بفرد بودن نمایش عنصر {TEX()} {g \in G} {TEX} نتیجه میشود {TEX()} {g=e} {TEX}. لذا {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX} | | و چون {TEX()} {e \in A} {TEX} ، با توجه به تساوی اول و {TEX()} {g \in A} {TEX} وچون {TEX()} {e \in B} {TEX} طبق تساوی دوم ، بنا به منحصر بفرد بودن نمایش عنصر {TEX()} {g \in G} {TEX} نتیجه میشود {TEX()} {g=e} {TEX}. لذا {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX} |
| همچنین طبق 2 ، {TEX()} {G=AB} {TEX} پس بنا به قضیۀ قبل {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX} | | همچنین طبق 2 ، {TEX()} {G=AB} {TEX} پس بنا به قضیۀ قبل {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX} |
| --- | | --- |
| !لمها | | !لمها |
| اگر {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیر گروه نرمال گروه ضربی {TEX()} {G} {TEX} باشند و {TEX()} {A \cap B=e} {TEX} ، آنگاه : | | اگر {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیر گروه نرمال گروه ضربی {TEX()} {G} {TEX} باشند و {TEX()} {A \cap B=e} {TEX} ، آنگاه : |
| {TEX()} {\forall a \in A & b \in B : ab=ba} {TEX} | | {TEX()} {\forall a \in A & b \in B : ab=ba} {TEX} |
| __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| عنصر {TEX()} {[a,b]=aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را در نظر می گیریم . اما : | | عنصر {TEX()} {[a,b]=aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را در نظر می گیریم . اما : |
| {TEX()} {ba^{-1}b^{-1} \in A \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in A} {TEX} | | {TEX()} {ba^{-1}b^{-1} \in A \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in A} {TEX} |
| همچنین : | | همچنین : |
| {TEX()} {aba^{-1} \inB \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in B} {TEX} | | {TEX()} {aba^{-1} \inB \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in B} {TEX} |
| بنابراین : | | بنابراین : |
| {TEX()} {aba^{-1}b^{-1} \in A \cap B={e} \Rightarrow aba^{-1}b^{-1}=e \Rightarrow ab=ba} {TEX} | | {TEX()} {aba^{-1}b^{-1} \in A \cap B={e} \Rightarrow aba^{-1}b^{-1}=e \Rightarrow ab=ba} {TEX} |
| --- | | --- |
| !همچنین ببینید | | !همچنین ببینید |
| *((گروه)) | | *((گروه)) |
| + | --- |
| + | !پیوندهای خارجی |
| + | [mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.html ] |
| + | [en.wikipedia.org/wiki/Simple_group] |
| + | [web.usna.navy.mil/~wdj/tonybook/gpthry/node34.html] |
| #@^ | | #@^ |