منو
 صفحه های تصادفی
صناعت برهان
سوانح عضلانی
انواع میکرو ارگانیسمهای خاک
بشارت و پیامبران
حدیث لوح حضرت زهرا علیهاسلام
سخت گیری امام علی علیه السلام درباره بیت المال
درس فرایند های شیمیایی
واکسن آنفولانزا و سرماخوردگی
جبر
پیرامون داروی آسپیرین
 کاربر Online
698 کاربر online
تاریخچه ی: گروه دوری

گروه دوری:
گروه {TEX()} {G } {TEX} را یک گروه دوری می نامند هر گاه {TEX()} {G } {TEX} توسط یک عنصر خودش تولید شود.
مولد گروه:
فرض کنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند {TEX()} {x \in G} {TEX} گروه {TEX()} {G } {TEX} را پدید آورد ، می نویسیم {TEX()} {G=<x>} {TEX} و {TEX()} {x} {TEX} را مولد گروه {TEX()} {G } {TEX} مینامیم.
نکته:
1 . مولد هر گروه لزوما منحصر به فرد نیست.
2 . در گروه {TEX()} {(Z_n,\oplus)} {TEX} عدد{TEX()} {m} {TEX} مولد {TEX()} {Z_n} {TEX} است که {TEX()} {(m,n)=1} {TEX}
3 . اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه ضربی باشد و {TEX()} {x} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه:
{TEX()} {G=<x>={x^n | n \in Z}} {TEX}
4 . اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه جمعی باشد و{TEX()} {a} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه:
{TEX()} {G=<a>={na | n \in Z} } {TEX}
قضیه:
هر گروه دوری جابجایی است.
اثبات:
فرض میکنیم {TEX()} {G } {TEX} گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه {TEX()} {G=<x> , x \in G} {TEX}. بنابراین هر عضو {TEX()} {G } {TEX} به صورت توانی از {TEX()} {x} {TEX} است . حال فرض میکنیم عناصر دلخواه {TEX()} {a,b \in G} {TEX} را داریم. در نتیجه:
{TEX()} {\exists m,n \in Z ; a=x^n , b=x^m} {TEX}
لذا:
{TEX()} {a.b=x^n.x^m=x^{n+m}=x^{m+n}=x^m.x^n=b.a} {TEX}
پس {TEX()} {G } {TEX} گروه جابجایی است.
تذکر:
عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال گروه چهارتایی کلاین {TEX()} {v_4} {TEX}گروه جابجایی است اما دوری نیست.
قضیه:
هر زیرگروه یک گروه دوری ، دوری است:
اثبات:
فرض میکنیم {TEX()}{G }{TEX} یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند {TEX()}{a \in G}{TEX} وجود دارد که{TEX()} {G=<a>} {TEX} .یعنی هر عنصری از {TEX()}{G }{TEX} به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است.
حال فرض میکنیم {TEX()}{H}{TEX} یک زیرگروه دلخواهی از {TEX()}{G }{TEX} باشد. نشان میدهیم {TEX()}{H}{TEX} دوری است:
اما چون {TEX()}{H \le G}{TEX} بنابراین هر عضو {TEX()}{H}{TEX} نیز به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است. بنا براین یک عدد طبیعی مانند {TEX()}{n}{TEX} وجود دارد که {TEX()}{a^n \in H}{TEX}.
فرض میکنیم {TEX()}{m}{TEX} کوچکترین عدد طبیعی باشد که {TEX()}{a^m \in H}{TEX}. با فرض {TEX()}{a^m=c}{TEX} ثابت میکنیم {TEX()}{H}{TEX} توسط {TEX()}{c}{TEX} تولید میشود:
حال فرض میکنیم {TEX()}{b }{TEX} عنصر دلخواهی از {TEX()}{H }{TEX} باشد. بنابراین میتوان {TEX()}{b=a^n}{TEX} در نظر گرفت که {TEX()}{m \le n }{TEX}. طبق قضیه الگوریتم تقسیم:
{TEX()}{n=mq+r}{TEX}
در نتیجه:
{TEX()}{a^n=a^{mq+r}=a^{mq}.a^r \Rightarrow a^r=a^n.(a^m)^-q \in H }{TEX}
چون{TEX()}{m}{TEX} کوچکترین عدد طبیعی است که {TEX()}{a^m \in H}{TEX} و{TEX()}{0 \le r <m}{TEX}، بنابراین {TEX()}{r }{TEX} عدد طبیعی نیست. پس برای {TEX()}{r}{TEX} فقط اتنخاب {TEX()}{r=0 }{TEX} ممکن است . پس:
{TEX()}{a^n=(a^m)^q=c^q }{TEX}
که به این معنا است که {TEX()}{H}{TEX} دوری است و مولد آن {TEX()}{c}{TEX} است.



تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:41 ]   10   علی هادی      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:04 ]   9   سعید صدری      v  c  d  s 
 یکشنبه 03 اردیبهشت 1385 [04:16 ]   8   زینب معزی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 30 فروردین 1385 [05:42 ]   7   زینب معزی      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [12:55 ]   6   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [12:54 ]   5   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [12:45 ]   4   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [11:35 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:52 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:29 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..