تاریخچه ی:
گروه دوری
گروه دوری:
گروه {TEX()} {G } {TEX} را یک گروه دوری می نامند هر گاه {TEX()} {G } {TEX} توسط یک عنصر خودش تولید شود.
مولد گروه:
فرض کنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند {TEX()} {x \in G} {TEX} گروه {TEX()} {G } {TEX} را پدید آورد ، می نویسیم {TEX()} {G=<x>} {TEX} و {TEX()} {x} {TEX} را مولد گروه {TEX()} {G } {TEX} مینامیم.
نکته:
1 . مولد هر گروه لزوما منحصر به فرد نیست.
2 . در گروه {TEX()} {(Z_n,\oplus)} {TEX} عدد{TEX()} {m} {TEX} مولد {TEX()} {Z_n} {TEX} است که {TEX()} {(m,n)=1} {TEX}
3 . اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه ضربی باشد و {TEX()} {x} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه:
{TEX()} {G=<x>={x^n | n \in Z}} {TEX}
4 . اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه جمعی باشد و{TEX()} {a} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه:
{TEX()} {G=<a>={na | n \in Z} } {TEX}
قضیه:
هر گروه دوری جابجایی است.
اثبات:
فرض میکنیم {TEX()} {G } {TEX} گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه {TEX()} {G=<x> , x \in G} {TEX}. بنابراین هر عضو {TEX()} {G } {TEX} به صورت توانی از {TEX()} {x} {TEX} است . حال فرض میکنیم عناصر دلخواه {TEX()} {a,b \in G} {TEX} را داریم. در نتیجه:
{TEX()} {\exists m,n \in Z ; a=x^n , b=x^m} {TEX}
لذا:
{TEX()} {a.b=x^n.x^m=x^{n+m}=x^{m+n}=x^m.x^n=b.a} {TEX}
پس {TEX()} {G } {TEX} گروه جابجایی است.
تذکر:
عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال گروه چهارتایی کلاین {TEX()} {v_4} {TEX}گروه جابجایی است اما دوری نیست.
قضیه:
هر زیرگروه یک گروه دوری ، دوری است:
اثبات:
فرض میکنیم {TEX()}{G }{TEX} یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند {TEX()}{a \in G}{TEX} وجود دارد که{TEX()} {G=<a>} {TEX} .یعنی هر عنصری از {TEX()}{G }{TEX} به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است.
حال فرض میکنیم {TEX()}{H}{TEX} یک زیرگروه دلخواهی از {TEX()}{G }{TEX} باشد. نشان میدهیم {TEX()}{H}{TEX} دوری است:
اما چون {TEX()}{H \le G}{TEX} بنابراین هر عضو {TEX()}{H}{TEX} نیز به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است. بنا براین یک عدد طبیعی مانند {TEX()}{n}{TEX} وجود دارد که {TEX()}{a^n \in H}{TEX}.
فرض میکنیم {TEX()}{m}{TEX} کوچکترین عدد طبیعی باشد که {TEX()}{a^m \in H}{TEX}. با فرض {TEX()}{a^m=c}{TEX} ثابت میکنیم {TEX()}{H}{TEX} توسط {TEX()}{c}{TEX} تولید میشود:
حال فرض میکنیم {TEX()}{b }{TEX} عنصر دلخواهی از {TEX()}{H }{TEX} باشد. بنابراین میتوان {TEX()}{b=a^n}{TEX} در نظر گرفت که {TEX()}{m \le n }{TEX}. طبق قضیه الگوریتم تقسیم:
{TEX()}{n=mq+r}{TEX}
در نتیجه:
{TEX()}{a^n=a^{mq+r}=a^{mq}.a^r \Rightarrow a^r=a^n.(a^m)^-q \in H }{TEX}
چون{TEX()}{m}{TEX} کوچکترین عدد طبیعی است که {TEX()}{a^m \in H}{TEX} و{TEX()}{0 \le r <m}{TEX}، بنابراین {TEX()}{r }{TEX} عدد طبیعی نیست. پس برای {TEX()}{r}{TEX} فقط اتنخاب {TEX()}{r=0 }{TEX} ممکن است . پس:
{TEX()}{a^n=(a^m)^q=c^q }{TEX}
که به این معنا است که {TEX()}{H}{TEX} دوری است و مولد آن {TEX()}{c}{TEX} است.