منو
 کاربر Online
656 کاربر online
تاریخچه ی: گروه دوری

تفاوت با نگارش: 4

Lines: 1-41Lines: 1-79
-V{maketoc} +||V{maketoc}||

{DYNAMICMENU()}
__واژه‌نامه__
*((واژگان جبر))
__مقالات مرتبط__
*((معادله))
*((استقرا))
*((اتحاد))
*((تجزیه))
*((ماتریس))
*((گروه))
*((حلقه))
*((میدان))
*((فضای برداری))
__کتابهای مرتبط__
*((کتابهای جبر))
__[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__
__سایتهای مرتبط__
*سایتهای داخلی
**[http://www.tebyan.net/|تبیان]
**[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی]
*سایتهای خارجی
**[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش جبر]
**[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم جبری]
**[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|راهنمای مطالعه جبر]
**[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل جبری]
**[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع جبری]
__گالری تصویر__
*[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم]

body=

|~|
{DYNAMICMENU
}
 ::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G } {TEX} را یک __گروه دوری__ می نامند هر گاه {TEX()} {G } {TEX} توسط یک عنصر خودش تولید شود.#@||:: ::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G } {TEX} را یک __گروه دوری__ می نامند هر گاه {TEX()} {G } {TEX} توسط یک عنصر خودش تولید شود.#@||::
 ^@#16: ^@#16:
-!((مولد گروه)) دوری: +!((مولد گروه)) دوری
 فرض کنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند {TEX()} {x \in G} {TEX} گروه {TEX()} {G } {TEX} را پدید آورد ، می نویسیم {TEX()} {G=<x>} {TEX} و {TEX()} {x} {TEX} را ((مولد گروه)) {TEX()} {G } {TEX} می‌نامیم. فرض کنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند {TEX()} {x \in G} {TEX} گروه {TEX()} {G } {TEX} را پدید آورد ، می نویسیم {TEX()} {G=<x>} {TEX} و {TEX()} {x} {TEX} را ((مولد گروه)) {TEX()} {G } {TEX} می‌نامیم.
 * مولد هر ((گروه)) لزوما منحصر به فرد نیست. * مولد هر ((گروه)) لزوما منحصر به فرد نیست.
 * در گروه {TEX()} {(Z_n,\oplus)} {TEX} عدد{TEX()} {m} {TEX} مولد {TEX()} {Z_n} {TEX} است که {TEX()} {(m,n)=1} {TEX} * در گروه {TEX()} {(Z_n,\oplus)} {TEX} عدد{TEX()} {m} {TEX} مولد {TEX()} {Z_n} {TEX} است که {TEX()} {(m,n)=1} {TEX}
-* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه ضربی)) باشد و {TEX()} {x} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {G=<x>={x^n | n \in Z}} {TEX}
* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه جمعی)) باشد و{TEX()} {a} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {G=<a>={na | n \in Z} } {TEX}
+* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه|گروه ضربی)) باشد و {TEX()} {x} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {G=<x>=\{x^n | n \in Z\}} {TEX}
* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه|گروه جمعی)) باشد و{TEX()} {a} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {G=<a>=\{na | n \in Z\} } {TEX}
 --- ---
 !قضیه‌ها !قضیه‌ها
-!!هر گروه دوری جابجایی است. +!!1. هر گروه دوری جابجایی است.
 __اثبات:__ __اثبات:__
 فرض می‌کنیم {TEX()} {G } {TEX} گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه {TEX()} {G=<x> , x \in G} {TEX}. بنابراین هر عضو {TEX()} {G } {TEX} به صورت توانی از {TEX()} {x} {TEX} است . حال فرض می‌کنیم عناصر دلخواه {TEX()} {a,b \in G} {TEX} را داریم. در نتیجه: فرض می‌کنیم {TEX()} {G } {TEX} گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه {TEX()} {G=<x> , x \in G} {TEX}. بنابراین هر عضو {TEX()} {G } {TEX} به صورت توانی از {TEX()} {x} {TEX} است . حال فرض می‌کنیم عناصر دلخواه {TEX()} {a,b \in G} {TEX} را داریم. در نتیجه:
-{TEX()} {\exists m,n \in Z ; a=x^n , b=x^m} {TEX} +@@{TEX()} {\exists m,n \in Z ; a=x^n , b=x^m} {TEX}@@
 لذا: لذا:
-{TEX()} {a.b=x^n.x^m=x^{n+m}=x^{m+n}=x^m.x^n=b.a} {TEX} +@@{TEX()} {a.b=x^n.x^m=x^{n+m}=x^{m+n}=x^m.x^n=b.a} {TEX}@@
 پس {TEX()} {G } {TEX} ((گروه جابجایی)) است. پس {TEX()} {G } {TEX} ((گروه جابجایی)) است.
 __تذکر:__ __تذکر:__
-عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال ((گروه چهارتایی کلاین)) {TEX()} {v_4} {TEX} ((گروه جابجایی)) است اما دوری نیست.
---
!!هر ((زیرگروه)) یک گروه دوری ، دوری است.
+عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال ((گروه چهارتایی کلاین)) ، {TEX()} {v_4} {TEX} ، ((گروه جابجایی)) است اما دوری نیست.

!!2. هر ((زیرگروه)) یک گروه دوری ، دوری است.
 __اثبات:__ __اثبات:__
 فرض می‌کنیم {TEX()}{G }{TEX} یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند {TEX()}{a \in G}{TEX} وجود دارد که{TEX()} {G=<a>} {TEX} .یعنی هر عنصری از {TEX()}{G }{TEX} به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است. فرض می‌کنیم {TEX()}{G }{TEX} یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند {TEX()}{a \in G}{TEX} وجود دارد که{TEX()} {G=<a>} {TEX} .یعنی هر عنصری از {TEX()}{G }{TEX} به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است.
 حال فرض می‌کنیم {TEX()}{H}{TEX} یک ((زیرگروه)) دلخواهی از {TEX()}{G }{TEX} باشد. نشان می‌دهیم {TEX()}{H}{TEX} دوری است: حال فرض می‌کنیم {TEX()}{H}{TEX} یک ((زیرگروه)) دلخواهی از {TEX()}{G }{TEX} باشد. نشان می‌دهیم {TEX()}{H}{TEX} دوری است:
 اما چون {TEX()}{H \le G}{TEX} بنابراین هر عضو {TEX()}{H}{TEX} نیز به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است. بنا براین یک ((عدد طبیعی)) مانند {TEX()}{n}{TEX} وجود دارد که {TEX()}{a^n \in H}{TEX}. اما چون {TEX()}{H \le G}{TEX} بنابراین هر عضو {TEX()}{H}{TEX} نیز به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است. بنا براین یک ((عدد طبیعی)) مانند {TEX()}{n}{TEX} وجود دارد که {TEX()}{a^n \in H}{TEX}.
 فرض می‌کنیم {TEX()}{m}{TEX} کوچکترین ((عدد طبیعی)) باشد که {TEX()}{a^m \in H}{TEX}. با فرض {TEX()}{a^m=c}{TEX} ثابت می‌کنیم {TEX()}{H}{TEX} توسط {TEX()}{c}{TEX} تولید می‌شود: فرض می‌کنیم {TEX()}{m}{TEX} کوچکترین ((عدد طبیعی)) باشد که {TEX()}{a^m \in H}{TEX}. با فرض {TEX()}{a^m=c}{TEX} ثابت می‌کنیم {TEX()}{H}{TEX} توسط {TEX()}{c}{TEX} تولید می‌شود:
 حال فرض می‌کنیم {TEX()}{b }{TEX} عنصر دلخواهی از {TEX()}{H }{TEX} باشد. بنابراین می‌توان {TEX()}{b=a^n}{TEX} در نظر گرفت که {TEX()}{m \le n }{TEX}. طبق ((الگوریتم تقسیم)) داریم: حال فرض می‌کنیم {TEX()}{b }{TEX} عنصر دلخواهی از {TEX()}{H }{TEX} باشد. بنابراین می‌توان {TEX()}{b=a^n}{TEX} در نظر گرفت که {TEX()}{m \le n }{TEX}. طبق ((الگوریتم تقسیم)) داریم:
-{TEX()}{n=mq+r}{TEX} +@@{TEX()}{n=mq+r}{TEX}@@
 در نتیجه: در نتیجه:
-{TEX()}{a^n=a^{mq+r}=a^{mq}.a^r \Rightarrow a^r=a^n.(a^m)^-q \in H }{TEX} +@@{TEX()}{a^n=a^{mq+r}=a^{mq}.a^r \Rightarrow a^r=a^n.{a^m}^{-q} \in H }{TEX}@@
 چون{TEX()}{m}{TEX} کوچکترین ((عدد طبیعی)) است که {TEX()}{a^m \in H}{TEX} و{TEX()}{0 \le r <m}{TEX}، بنابراین {TEX()}{r }{TEX} ((عدد طبیعی)) نیست. پس برای {TEX()}{r}{TEX} فقط اتنخاب {TEX()}{r=0 }{TEX} ممکن است . پس: چون{TEX()}{m}{TEX} کوچکترین ((عدد طبیعی)) است که {TEX()}{a^m \in H}{TEX} و{TEX()}{0 \le r <m}{TEX}، بنابراین {TEX()}{r }{TEX} ((عدد طبیعی)) نیست. پس برای {TEX()}{r}{TEX} فقط اتنخاب {TEX()}{r=0 }{TEX} ممکن است . پس:
 {TEX()}{a^n=(a^m)^q=c^q }{TEX} {TEX()}{a^n=(a^m)^q=c^q }{TEX}
 که به این معنا است که {TEX()}{H}{TEX} دوری است و مولد آن {TEX()}{c}{TEX} است. که به این معنا است که {TEX()}{H}{TEX} دوری است و مولد آن {TEX()}{c}{TEX} است.
 --- ---
 !همچنین ببینید !همچنین ببینید
 *((گروه)) *((گروه))
-*((جایگشت))#@^ +*((جایگشت))
---
پیوندهای خارجی
[http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group]
#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:41 ]   10   علی هادی      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:04 ]   9   سعید صدری      v  c  d  s 
 یکشنبه 03 اردیبهشت 1385 [04:16 ]   8   زینب معزی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 30 فروردین 1385 [05:42 ]   7   زینب معزی      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [12:55 ]   6   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [12:54 ]   5   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [12:45 ]   4   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [11:35 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:52 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:29 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..