منو
 کاربر Online
231 کاربر online
تاریخچه ی: گروه جابجایی

گروه جابجایی:
اگر در گروه {TEX()} {(G,*)} {TEX} قانون جابجایی برقرار باشد،{TEX()} {G} {TEX} را یک گروه جابجایی (آبلی یا تعویض پذیر) می نامند.
گروه چهارتایی کلاین:
فرض کنید {TEX()} {G={e,a,b.c}} {TEX} و عمل دوتایی * طبق جدول زیر تعریف شود :
c b a e *
c b a e e
b c e a a
a e c b b
e a b c c
{TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است. این گروه به گروه چهارتایی کلاین معروف است.
این گروه دارای خواص زیر است:
1 . دارای خاصیت جابجایی است.
2 . معادله {TEX()} {x*x=e } {TEX} دارای چهار جواب {TEX()} {x=a,b,c,e} {TEX} میباشد.
3 .درایه های قطر اصلی آن {TEX()} {e} {TEX} و قطر فرعی آن {TEX()} {c} {TEX} هستند.
4 . تمام درایه های این جدول نسبت به قطر اصلی متقارنند.
نکته:
هر گاه در جدولی ، درایه ها نسبت به قطر اصلی تقارن داشته باشند ، گروه مورد نظر ، یک گروه جابجایی است.
گروه {TEX()} {Z_n} {TEX}:
گروه اعداد صحیح به پیمانه {TEX()} {n} {TEX} را با {TEX()} {Z_n} {TEX} نمایش میدهیم و داریم:
{TEX()} {Z_n={0,1,2,…,n-1}} {TEX}
و عمل {TEX()} {\oplus } {TEX} را میتوان به صورت زیر بیان نمود:
باقیماندۀ{TEX()} {\forall x,y \in Z : x \oplus y=(x+y)/n } {TEX}
تمرین:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX}یک گروه است. ثابت کنید اگر G جابجایی باشد، آنگاه:
{TEX()} {\forall a,b \in G , k \in Z : (a*b)^k=a^k*b^k} {TEX}
حل:
{TEX()} {{(a*b)^k= {(a*b)*(a*b)*\cdots*(a*b)={(a*a)*(b*b)*\cdots*(a*a)*(b*b) =a^k*b^k {TEX}
تمرین:
هرگاه در گروه{TEX()} {(G,*)} {TEX} شرط {TEX()} { (a*b)^k=a^k*b^k} {TEX} برای سه عدد صحیح متوالی برقرار باشد ، ثابت کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} دارای خاصیت جابجایی است.
حل:
فرض میکنیم :
{TEX()} {\forall k \in Z :a^{k+2}*b^{k+2}=(a*b)^{k+2}} {TEX}
{TEX()} {a^{k+1}*b^{k+1}=(a*b)^{k+1}} {TEX}
{TEX()} {a^k*b^k=(a*b)^k} {TEX}
نشان میدهیم {TEX()} {a*b=b*a} {TEX}:
اما میدانیم:
{TEX()} {(a*b)^k*(a*b)=a^{k+1}*b^{k+1} \Rightarrow a^k*b^k*a*b=a^{k+1}*b^{k+1}} {TEX}
بنابراین:
{TEX()} {b^k*a=a*b^k} {TEX}
این رابطه را رابطه * نامگذاری میکنیم.اما:
{TEX()} {(a*b)^{k+1}*(a*b)=a^{k+2}*b^{k+2} \Rightarrow a^{k+1}*b^{k+1}*(a*b)=a^{k+2}*b^{k+2}} {TEX}
لذا:
{TEX()} {b^{k+1}*a=a*b^{k+1} \Rightarrow b*b^k*a=a*b^{k+1}} {TEX}
این رابطه را ** معرفی میکنیم.
بنابراین طبق * و** خواهیم داشت:
{TEX()} {b*a*b^k=a*b^{k+1} \Rightarrow a*b=b*a} {TEX}

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:45 ]   5   علی هادی      جاری 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [15:07 ]   4   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [15:06 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [15:04 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:26 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..