منو
 صفحه های تصادفی
راهبان و صومعه ها
افتخار جبرئیل بر فرشتگان
آلکانها
رشته ارشد اپیدمیولوژی
گهواره محمد - ص
الب ارسلان سلجوقی
قرآن و خبر از آینده
کوتاه و خواندنی فیزیک
زلزله‌شناسی
فهرست نام های متداول حشرات
 کاربر Online
992 کاربر online
تاریخچه ی: گروه

در حال مقایسه نگارشها

نگارش واقعی نگارش:3









در ریاضیات، گروه، مجموعه‌ای است که یک عمل دوتایی ازقبیل جمع،ضرب و... روی آنها تعریف می‌کنند.برای مثال مجموعه اعداد صحیح یک گروه تحت عمل جمع است.
شاخه‌ای از ریاضیات که بر روی گروهها مطالعه می‌کند، نظریه گروه‌ها است.از نظر تاریخی مبدا این نظریه به کارهای اواریست گالوابرمی‌گردد.او همچنین در کارهای قبلی خود به طور محسوس از جایگشت استفاده کرده بود.
گروهها در خیلی از ساختارهای جبری از قبیل میدان و فضای برداری دیده می‌شوند و ابزار مهمی برای مطالعه تقارن است. به همین دلیل است که نظریه گروه‌ها به عنوان یکی از مهترین مباحث در ریاضیات مدرن است.
بدون تردید یکی از جذاب ترین ویژگیه‌ای ریاضیات جدید دوگانگی مابین موضوعات مختلف در آن است. برای مثال اگر جبر، آنالیز، توپولوژی و یا منطق ریاضی را مطالعه کنیم، مشاهده می‌کنیم که ایده‌های خاصی در تمام این شاخه‌ها مطرح می‌شوند. مفهوم گروه یکی از همین ایده‌هاست که همه جا ظاهر می شود.علی‌الخصوص درمطالعه‌ی اشیاء توپولوژیک که پوانکاره با بوجود آوردن علم توپولوژی جبری گام بزرگی را در پیشرفت هندسه و توپولوژی برداشت. بعلاوه در رشته های دیگری از علوم، مانند شیمی، مکانیک کوانتوم و فیزیک ذرات بنیادی، که در آنها ریاضیات به عنوان ابزار به کار می رود، گروه‌ها اهمیت بسزایی دارند.

تعریف

فرض کنید که G یک مجموعه و * یک عمل دوتایی (یک تابع از به توی G ) بوده و * دارای خواص زیر باشد:
  • عمل * شرکت پذیری باشد ،
  • G تحت * دارای عضو خنثی باشد : عضوی مانند e در G وجود دارد به طوریکه به ازای هر x در G داریم: x*e=e*x=x ،
  • G تحت * دارای عضو معکوس باشد : به ازای هر x عضو در G عضوی مانند y در G وجود دارد به طوریکه : x*y=y*x=e ،

در اینصورت G همراه با عمل دوتایی * گروه نامیده می شود و آنرا با (G, * ) نمایش می دهیم.


توجه کنید که از شرط دوم نتیجه می‌گیریم که G غیرتهی است.
عضو e در G عضو همانی نام دارد که فقط یک عضو با چنین خاصیتی وجود دارد و در نتیجه خواهیم توانست آنرا عضو همانی بنامیم. عضو y در شرط سوم معکوس x نام دارد.
هر عضوی از یک گروه مانند x فقط یک معکوس دارد، و از اینرو می توانیم آنرا معکوس x بنامیم.
عضو منحصر بفرد همانی e معادلات x*e=e*x=x را به ازای هر x در G ارضا می کند. حال آنکه Y در شرط سوم به x بستگی دارد. خواهیم دید که دو عضو متمایز G هیچ‌وقت نمی توانند معکوس های برابری داشته باشند و در نتیجه اعضای متفاوت x, معکوس های متفاوتی همچون y خواهند داشت.
همچنین مناسب است تاکید کنیم فرض ما این نیست که * یک عمل جابجائی است. گروههایی که عمل آنها خاصیت جابجایی است گروههای آبلی نام دارند. این نامگذاری به افتخار ریاضیدان نروژی نیلز هنریک آبل (1829 ـ 1802) صورت گرفته است.گروه‌هایی را که آبلی نیستند ، گروه‌های نا‌آبلی گویند.
مفهوم مجرد گروه زمانی شکل گرفت که مردم متوجه شدند بسیاری از موضوعاتی که مطالعه می کردند دارای مشخصه های ساختاری مشترک هستند و این فکر در آنها قوت گرفت که شاید بتوان با مطالعه مجرد این ویژگیهای مشترک (نه هر کدام بصورت تک تک و جداگانه) به نوعی صرفه جوئی در وقت و دست یافت. در تحلیل پیشرفتهای این موضوع اریک تمپل بل یادآور شده است که هرزمان گروهها خود را ظاهر می سازند و یا می توان آنها را معرفی کرد، سادگی و وضوح از لابلای دریختگی ها درخشش می یابد.

مثال‌هایی از گروه‌ها


همچنین ببینید:


پیوندهای خارجی

http://mathworld.wolfram.com/Group.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html
http://members.tripod.com/~dogschool/groups.html
در ریاضیات، گروه، مجموعه‌ای است که یک عمل دوتایی ازقبیل جمع،ضرب و... روی آنها تعریف میکنند.برای مثال مجموعه اعداد صحیح یک گروه تحت عمل جمع است.
شاخه‌ای از ریاضیات که بر روی گروهها مطالعه میکند، نظریه گروهها است.از نظر تاریخی مبدا این نظریه به کارهای اولیست گالویس برمیگردد.اوهمچنین در کارهای قبلی خود به طور محسوس از جایگشت استفاده کرده بود.
گروهها در خیلی از ساختارهای جبری از قبیل میدانها و فضای برداری دیده میشوند و ابزار مهمی برای مطالعه تقارن است. به همین دلیل است که نظریه گروهها به عنوان یکی از مهترین مباحث در ریاضیات مدرن است.
بدون تردید یکی از جذاب ترین ویژگیهای ریاضیات جدید تداخلی است
که بین شاخه های مختلف ریاضیات پیش می آید. برای مثال اگر جبر، آنالیز، توپولوژی و با منطق ریاضی را مطالعه کنیم، مشاهده کنیم که ایده های خاصی در تمام این شاخه ها مطرح شوند. مفهوم گروه یکی از همین ایده هاست که همه جا ظاهر می شود. بعلاوه در رشته های دیگری از علوم، مانند شیمی، مکانیک کوانتوم و فیزیک ذرات بنیادی، که در آنها ریاضیات به عنوان ابزار به کار می رود، گروهها اهمیت دارند.


تعریف

فرض کنید که
  • عبارتست از یک مجموعه و * یک عمل دوتایی G است،
  • عمل * شرکت پذیر است،
  • عضوی مانند وجود دارد به طوریکه به ازای هر در داریم و به ازای هر عضو در عضوی مانند در وجود دارد به طوریکه
در اینصورت همراه با عمل دوتایی گروه نامیده می شود و آنرا با نمایش می دهیم.

توجه کنید که نتیجه می دهد که غیرتهی است. عضو در عضو همانی نام دارد (دیری نخواهد پائید که نشان خواهیم داد فقط یک عضو با چنین خاصیتی وجود دارد و در نتیجه خواهیم توانست آنرا عضو همانی بنامیم). عضو در معکوس نام دارد؛ خواهیم دید که هر عضوی مانند فقط یک معکوس دارد، و از اینرو می توانیم آنرا معکوس بنامیم. در اینجا شایسته است بر این واقعیت تاکید کنیم که عضو منحصر بفرد همانی معادلات را به ازای هر در می کند. حال آنکه در به بستگی دارد. خواهیم دید که دو عضو متمایز هیچوقت نمی توانند معکوس های برابری داشته باشند و در نتیجه اعضای متفاوت معکوس های متفاوتی همچون خواهند داشت.
همچنین مناسب است تاکید کنیم فرض ما این نیست که یک عمل جابجائی است. گروههایی که عمل آنها جابجائی است گروههای آبلی نام دارند. این نامگذاری به افتخار ریاضیدان نروژی هنریک آبل (1829 ـ 1802) صورت گرفته است.
قبل از اینکه خواص عمومی گروهها را بررسی کنیم تعدادی مثال را مطرح می کنیم تا نتوانیم کلیت این مفهوم را در ذهن خواننده روشن کنیم. البته از لحاظ تاریخی بعضی از مثال ها قبل از اینکه گروه به صورت مجرد تعریف شود وجود داشته اند؛ مفهوم مجرد گروه زمانی شکل گرفت که مردم متوجه شدند بسیاری از موضوعاتی که مطالعه می کردند دارای مشخصه های ساختاری مشترک هستند و این فکر در آنها قوت گرفت که شاید بتوان با مطالعه مجرد این ویژگیهای مشترک (نه هر کدام بصورت تک تک و جداگانه) به نوعی صرفه جوئی در وقت و دست یافت. در تحلیل پیشرفتهای این موضوع ای تی بل یادآور شده است که هرزمان گروهها خود را ظاهر می سازند و یا می توان آنها را معرفی کرد، سادگی و وضوح از لابلای دریختگی ها درخشش می یابد.




تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:19 ]   7   علی هادی      جاری 
 سه شنبه 22 فروردین 1385 [12:18 ]   6   سعید صدری      v  c  d  s 
 چهارشنبه 01 تیر 1384 [09:51 ]   5   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 01 تیر 1384 [09:17 ]   4   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 01 تیر 1384 [07:57 ]   3   علی هادی      v  c  d  s 
 سه شنبه 31 خرداد 1384 [08:15 ]   2   علی هادی      v  c  d  s 
 سه شنبه 31 خرداد 1384 [08:05 ]   1   علی هادی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..