تاریخچه ی:
گروه
تفاوت با نگارش: 1
| - | بدون تردید یکی از جذاب ترین ویژگیهای ریاضیات جدید تداخلی است که بین شاخه های مختلف ریاضیات پیشض می آید. برای مثال اگر ((جبر))، ((آنالیز))، ((توپولوژی)) و با ((منطق ریاضی)) را مطالعه کنیم، مشاهده کنیم که ایده های خاصی در تمام این شاخه ها مطرح شوند. مفهوم گروه یکی از همین ایده هاست که همه جا ظاهر می شود. بعلاوه در رشته های دیگری از علوم، مانند ((شیمی))، ((مکانیک کوانتوم)) و ((فیزیک)) ذرات بنیادی، که در آنها ریاضیات به عنوان ابزار به کار می رود، گروهها اهمیت دارند. | |
| - | تعریف: فرض کنید که | |
| - | عبارتست از یک مجموعه و یک عمل دوتائی است، | |
| - | شرکت پذیر است، | |
| - | عضوی مانند وجود دارد به طوریکه به ازای هر در داریم و به ازای هر عضو در عضوی مانند در وجود دارد به طوریکه | |
| - | در اینصورت همراه با عمل دوتائی گروه نامیده می شود و آنرا با نمایش می دهیم. | |
| - | توه کند که نیجه می دهد که غیرتهی است. عضو در عضو همانی نام دارد (دیری نخواهد پائید ه نشان خواهیم اد فقط یک عضو با چنین خاصیتی وجو دارد در تیجه خوایم توانست آر عضو همانی بنمیم). عو در معکوس نام دارد؛ خاهیم ی که ه عضوی مانند فقط یک معکوس دارد، و از اینرو می تونیم آنرا معکوس بنامیم. در ینج شایسته است بر این وقعیت تای کنیم که ضو منحصر بفرد همانی مادلات را ب ازای هر در می کند. حال آنکه در ب تگی ارد. خواهیم ید که دو عضو متمای هیچوقت نمی تونن معکو های برابری اشته باشند و در نتیجه اعضای متفا معکس هی متفاوی همچون خواهند داشت.
همچنین مناسب است تاکید کنیم فرض ما این نیست که یک عمل جابائی است. گروههایی که مل آنها جابجائی ست روههای بلی نام دارند. ین نامگذاری به افتخار ریاضیدان نروژی نیل آبل (1829 ـ 1802) صورت گرفته است.
بل از اینکه خواص عمومی گرهه را بررسی کنیم تعدادی ثال ر مطرح می کنیم ا نتوانیم کلیت این مفهوم را در ذهن خواننده رون کنیم. البته از لحاظ تاریخی ضی ز مل ه قل از اینکه گروه به صورت مجرد تعریف شود وجود داشته اند؛ مفهوم مجد گروه زمانی شکل گرف که مردم متوجه شدند بسیاری از موضوعاتی که مطالعه می کند دارای مخص های ساختاری مشترک هستند و این فکر در آنا قوت گرفت که شاید بتوان با مالعه مجرد این ویژگیهای ترک (نه هر کدام بصورت تک تک و جداگانه) به نوعی صرفه جوی در وقت و دست یافت. تحلیل پیشرفتهای ین مووع ای تی بل یادآور شده است که هرزمان گروهها خد را ظاهر می سازند و یا می توان آنها را معری کرد، سادگی و وضوح از لابلای دریختگی ها درخشش می یابد. |
+ | {DYNAMICMENU()}
__وژهنمه__ />*((واان جر)) />__اات رب__ />*((معاده)) />*((قرا)) />*((اتاد)) />*((جیه)) />*((ماتری)) />*((گوه)) />*((له)) />*((میدان)) />*((ی ردای)) />__کتاهای مرت__ />*((کابهای بر)) />__[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |ام یای]__
__سایتهای مرتب__ />*سایهای دالی />**[http://www.tebyan.net/|بیان]
**[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|یکی یای اری] />*ایتهای خاری
**[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیی ] />**[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|ایت مفاهیم جری] />**[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|رهنمای مطالعه ر] />**[http://www.bagatrix.com/algebra.htm| آناین مائل جبری] />**[http://www.exampleproblems.com|سوات متنوع جری] />__لری ویر__ />*[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گاری عوم] |
| | + | body= |
| | + | |~| |
| | + | {DYNAMICMENU} |
| | + |
| | + | | |
| | + | |  |
| | + | |
| | + | | |
| | + | V{maketoc} |
| | + | در ریاضیات، __گروه__، ((مجموعه))ای است که یک عمل دوتایی ازقبیل جمع،ضرب و... روی آنها تعریف می‌کنند.برای مثال مجموعه اعداد صحیح یک گروه تحت عمل جمع است. |
| | + | شاخه‌ای از ((ریاضیات)) که بر روی گروهها مطالعه می‌کند، ((نظریه گروهها)) است.از نظر ((تاریخ))ی مبدا این نظریه به کارهای ((گالوا|اواریست گالوا))برمی‌گردد.او همچنین در کارهای قبلی خود به طور محسوس از ((جایگشت)) استفاده کرده بود. |
| | + | گروهها در خیلی از ساختارهای جبری از قبیل ((میدان)) و ((فضای برداری)) دیده می‌شوند و ابزار مهمی برای مطالعه ((تقارن)) است. به همین دلیل است که ((نظریه گروهها)) به عنوان یکی از مهترین مباحث در ((ریاضیات)) مدرن است. |
| | + | بدون تردید یکی از جذاب ترین ویژگیهای ریاضیات جدید ((دوگانگی)) مابین موضوعات مختلف در آن است. برای مثال اگر ((جبر))، ((آنالیز))، ((توپولوژی)) و یا ((منطق ریاضی)) را مطالعه کنیم، مشاهده می‌کنیم که ایده‌های خاصی در تمام این شاخه‌ها مطرح می‌شوند. مفهوم گروه یکی از همین ایده‌هاست که همه جا ظاهر می شود.علی‌الخصوص درمطالعه‌ی اشیاء توپولوژیک که ((پوانکاره||هانری پوانکاره)) با بوجود آوردن علم ((توپولوژی جبری)) گام بزرگی را در پیشرفت ((هندسه)) و ((توپولوژی)) برداشت. بعلاوه در رشته های دیگری از علوم، مانند ((شیمی))، ((مکانیک کوانتوم)) و ((فیزیک)) ذرات بنیادی، که در آنها ریاضیات به عنوان ابزار به کار می رود، گروهها اهمیت بسزایی دارند. |
| | + | --- |
| | + | !تعریف |
| | + | ^فرض کنید که G یک مجموعه و * یک ((عمل دوتایی)) (یک تابع از {TEX()} {G \times G} {TEX} به توی G ) بوده و * دارای خواص زیر باشد: |
| | + | * عمل * ((شرکت پذیر|شرکت پذیری)) باشد ، |
| | + | * G تحت * دارای ((عضو خنثی)) باشد : عضوی مانند e در G وجود دارد به طوریکه به ازای هر x در G داریم: __ x*e=e*x=x__ ، |
| | + | * G تحت * دارای ((عضو معکوس)) باشد : به ازای هر x عضو در G عضوی مانند y در G وجود دارد به طوریکه : __x*y=y*x=e__ ، |
| | + | در اینصورت G همراه با ((عمل دوتایی)) * گروه نامیده می شود و آنرا با (G, * ) نمایش می دهیم.^ |
| | + | توجه کنید که از شرط دوم نتیجه می‌گیریم که G غیرتهی است. |
| | + | عضو e در G عضو ((همانی)) نام دارد که فقط یک عضو با چنین خاصیتی وجود دارد و در نتیجه خواهیم توانست آنرا عضو همانی بنامیم. عضو y در شرط سوم معکوس x نام دارد. |
| | + | هر عضوی از یک گروه مانند x فقط یک معکوس دارد، و از اینرو می توانیم آنرا معکوس x بنامیم. |
| | + | عضو منحصر بفرد همانی e معادلات x*e=e*x=x را به ازای هر x در G ارضا می کند. حال آنکه Y در شرط سوم به x بستگی دارد. خواهیم دید که دو عضو متمایز G هیچوقت نمی توانند معکوس های برابری داشته باشند و در نتیجه اعضای متفاوت x, معکوس های متفاوتی همچون y خواهند داشت. |
| | + | همچنین مناسب است تاکید کنیم فرض ما این نیست که * یک عمل ((جابجائی)) است. گروههایی که عمل آنها ((جابجائی|خاصیت جابجایی|خاصیت جابجایی)) است __گروههای آبلی__ نام دارند. این نامگذاری به افتخار ریاضیدان ((نروژ))ی ((آبل|نیلز هنریک آبل)) (1829 ـ 1802) صورت گرفته است.گروههایی را که آبلی نیستند ، گروههای ناآبلی گویند. |
| | + | مفهوم مجرد گروه زمانی شکل گرفت که مردم متوجه شدند بسیاری از موضوعاتی که مطالعه می کردند دارای مشخصه های ساختاری مشترک هستند و این فکر در آنها قوت گرفت که شاید بتوان با مطالعه مجرد این ویژگیهای مشترک (نه هر کدام بصورت تک تک و جداگانه) به نوعی صرفه جوئی در وقت و دست یافت. در تحلیل پیشرفتهای این موضوع اریک تمپل بل یادآور شده است که هرزمان گروهها خود را ظاهر می سازند و یا می توان آنها را معرفی کرد، سادگی و وضوح از لابلای دریختگی ها درخشش می یابد. |
| | + | --- |
| | + | !مثال‌هایی از گروهها |
| | + | *مجموعه ((اعداد صحیح)) با عمل جمع یک ((گروه آبلی)) است. |
| | + | *مجموعه ((اعداد حقیقی)) با حذف عدد صفر با عمل ضرب یک ((گروه آبلی)) است. |
| | + | *مجموعه تقارن‌های هر ((چند وجهی)) تشکیل یک گروه ناآبلی می‌دهد. |
| | + | *به ازای هر ((عدد طبیعی)) n ، ((دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانه n)) با جمع ، گروه است. |
| | + | --- |
| | + | !همچنین ببینید: |
| | + | *((گالوا|اواریست گالوا)) |
| | + | *((نظریه گروهها)) |
| | + | *((گروه دوری)) |
| | + | *((جبر)) |
| | + | *((زیر گروه)) |
| | + | *((گروه متقارن)) |
| | + | *((حلقه ««جبر»»|حلقه)) |
| | + | --- |
| | + | !پیوندهای خارجی |
| | + | [http://mathworld.wolfram.com/Group.html] |
| | + | [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html] |
| | + | [http://members.tripod.com/~dogschool/groups.html] |
