مقدمه
بنابر
نظریه مولکولی ماده ، هر قطعه از یک جسم مجموعه‌ای از مولکولهاست و در نتیجه جرم آن مجموع جرمهای مولکوهای سازنده آن است. ولی اکثر اجسام فیزیکی که به آنها سروکار داریم از تعداد بسیار زیادی مولکول تشکیل شده‌اند و محاسبه مجموع جرمهای این مولکولها حتی توسط کامپیوترهای جدید غیر ممکن است. قبلا در
انتگرال یک‌گانه ، با استفاده از انتگرال
توابع یک‌متغیره ، جرم ،
مرکز جرم و
گشتاورها یک ورق مسطحه را که جرم آن بطور یکنواخت یا همگن در سراسر آن توزیع شده باشد، مورد مطالعه قرار دادیم. با استفاده از
انتگرالهای دوگانه و سه‌گانه می‌توان این مفاهیم را به اجسام ناهمگن مسطحه و فضایی تعمیم داد.
جرم یک ورق مسطحه
فرض کنیم جرم جسم در سراسر R توزیع شده است. در اینصورت تابع چگالی که توسط
تعریف می‌شود در R پیوسته (و مثبت) است و در نتیجه
جرم یک جسم فضایی
فرض کنیم یک جسم فضایی به ناحیه D محدود باشد. اگر جرم جسم در سراسر آن به طور یکنواخت توزیع شده باشد، تابع چگالی
در D پیوسته (و مثبت) می‌شود. در نتیجه داریم
گشتاور (اول) و مرکز جرم ورق مسطحه
اگر ورق مسطحه R را افراز کنیم، آنگاه گشتاور (دقیقتر بگوییم، گشتاور اول) نقطه نسبت به محور x برابر است با
. بنابراین ، گشتاور R نسبت به محور x برابر است با
به همین ترتیب ، گشتاور R نسبت به محور y برابر است با
در نتیجه ، مرکز جرم ورق مسطحه R به جرم m ، نقطه
است، که در آن
گشتاور دوم (یا ماند) ورق مسطحه
گشتاورهای دوم یا
گشتاورهای ماند ورق مسطحه R حول محورهای y,x به ترتیب برابرند با
به همین ترتیب ، گشتاور R نسبت به مبدا مختصات یا
گشتاور قطبی R برابر است با
ملاحظه می‌کنیم که
. توجه کنید که چون
مثبت هستند. پس گشتاورهای دوم یک جسم همواره مثبت اند. در حالی که این مطلب در مورد گشتاورهای اول صادق نیست.
گشتاور (اول) و مرکز جرم یک جسم فضایی
فرض کنیم چگالی هر نقطه یک جسم محدود به ناحیه فضایی D برابر است با
. در اینصورت گشتاورهای (اول) این جسم حول صفحه‌های xy ، xz و yz به ترتیب برابرند با
اگر m نمایش جرم این جسم باشد، مختصات مرکز جرم آن عبارتند از
گشتاور ماند یک جسم فضایی
گشتاورهای دوم یک جسم محدود به ناحیه فضایی D حول محورهای z,y,x به ترتیب برابرند با
مباحث مرتبط با عنوان
