: نمودار ون

!معرفی

::{picture=venn2.jpg}::

نمودارهای ون، مدلهایی شهودی در ((نظریه مجموعه‌ها)) هستند که برای نمایش روابط منطقی و ریاضی بین دو ((مجموعه)) به کار می‌روند. یک نمودار ون همه روابط منطقی بین مجموعه‌ها را نشان می‌دهد. این نمودارها نخستین بار توسط ((ون|جان ون)){img src=img/daneshnameh_up/4/4a/Biography.jpg}، فیلسوف و ریاضیدان انگلیسی در سال 1881 معرفی شدند. در این نمودارها مجموعه‌ها به صورت منحنی‌های بسته مشخص می‌شوند. در شکل‌ها زیر نمودار ون را برای دو و سه مجموعه مشاهده می‌کنید. به تعداد منحنی‌های بسته‌ای که در نمودار ون به کار می‌رود مرتبه نمودار ون می‌گوییم.

::{picture=VennDiagram_900.gif}::

در شکل سمت چپ دو رایره صفحه را به چهار ناحیه افراز کرده اند و در شکل سمت راست سه دایره صفحه را به هشت ناحیه افراز کرده‌اند. به طور کلی یک نمودار ون از مرتبه n نموداری است شامل n منحنی بسته که دارای این ویژگی‌ها باشند:

*n منحنی صفحه را به {TEX()} {2^n} {TEX} ناحیه تقسیم کنند.

*هر زیرمجموعه چون S از {TEX()} {{1,2,3,...,n}} {TEX} به یک ناحیه از شکل که از تقاطع (اشتراک) n منحنی بوجود آمده‌اند متناظر شود.

پس چون {TEX()} {n\choose k} {TEX} حالت برای برداشتن k عض از عضو مجموعه فوق وجود دارد، تعداد ناحیه‌ها در نمودار ون از مرتبه n برابر است با:

::{TEX()} {N={n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+...+{n\choose n}=2^n} {TEX}::

که در آن ناحیه خارج از منحنی‌ها نیز محسوب شده است.

به شکل سمت راست دقت کنید. ناحیه‌های {TEX()} {A\cap B \cap C} {TEX} و{TEX()} {A\cap B ,A\cap C, B\cap C} {TEX} یک شکل هندسی را با نام ((مثلث ریلوکس))

(Reuleaux triangle) می‌سازند. ون تلاش کرد تا با افزایش تعداد دایره‌ها روش خود را بهبود ببخشد و در ادامه کارهای او چارلز داگسون

(Charles Dodgson) که در سالهای بین 1832-1898 می زیست باعث شد آنچه امروز به عنوان مجموعه مرجع در نظر گرفته می‌شود در نمودار ون وارد شود. در نمودار ون برای نمایش مجموعه مرجع از یک مستطیل استفاده می‌شود و برای اینکه نشان دهیم همه مجموعه‌ها ((زیرمجموعه))‌ای از ان هستند همه دایره‌ها را در داخل یک مستطیل رسم می‌کنیم.

!یک مثال

::{picture=venn1.jpg}::

فرض کنید مجموعه A مجموعه‌ همه موجودات زنده باشد که دو پا هستند و مجموعه B مجموعه همه موجودات زنده باشد که قادر به پرواز هستند. در اینجا همانطور که در نمودار فوق می‌بینید ناحیه‌ای وجود دارد که هم به رنگ نارنجی و هم به رنگ آبی است و در واقع بین دو مجموعه مشترک است که به این ناحیه اشتراک دو مجموعه A وB می‌گوییم.

این ناحیه شامل تمامی موجودات زنده‌ای می‌باشند که ضمن اینکه دارای دو پا هستند، قادر به پرواز نیز می‌باشند. به عنوان مثال طوطی در این ناحیه قرار دارد. همچنین توجه کنید هر عضو مجموعه به عنوان نقطه‌ای در ناحیه مربوط به خود در نظر گرفته می‌شود. انسان‌ها و پنگوئن‌ها در ناحیه کاملاً نارنجی قرار دارند. پشه که دارای شش پا است و قادر به پرواز است در قسمت کاملاً آبی قرار دارد. همچنین تمامی موجوداتی که دوپا ندارند و قادر به پرواز نیز نیستند، مانند نهنگ‌ها، در نقطه ای خارج از دو دایره قرار دارند. در واقع این شکل رابطه بین دو مجموعه را به خوبی بیان می‌کند.

به گردایه همه عضو‌های دو مجموعه A,B اجتماع دو مجموعه A,B می‌گوییم. اجتماع این دو مجموعه در واقع مجموعه‌ای است که شامل همه موجوداتی می‌شود که یا قادر به پروازند یا دارای دو پا یا هردو ویژگی را دارا هستند.

همانطور که قبلا بررسی کردیم ناحیه مشترک بین دو مجموعه A,B را به نام اشتراک دو مجموعه A,B می‌گوییم. این مجموعه شامل موجوداتی است که دو ویژگی را با هم دارند یعنی هم دو پا دارند و هم قادر به پروازند. گاهی نیز یک مستطیل که مجموعه مرجع نامیده می‌شود، به دور شکل فوق کشیده می‌شود که مجموعه عالم سخن را مشخص کند. مثلا یک نهنگ نیز که در نقطه‌ای خارج از شکل است ، یعنی در اجتماع دو مجموعه قرار ندارد، می‌تواند جز بحث باشد و در داخل این مستطیل قرار دارد. به عبارت دیگر در این مثال(( مجموعه مرجع))(عالم سخن) یا همان مستطیل مجموعه همه موجودات زنده می‌باشد.

!نمودار اویلر

::{picture=venn3.jpg}::

نمودارهای اویلر، همانند نمودارهای ون هستند ولی با این تفاوت که ممکن است همه روابط ممکن بین مجموعه‌ها را نشان ندهد. به عبارت دیگر در نمودار اویلر مجموعه‌ها می‌توانند جدا از هم باشند.

به عنوان مثال فرض کنید، A مجموعه همه انواع پنیرهای موجود در جهان باشد و B مجموعه همه مواد خوراکی در جهان باشند. با توجه به نمودار شما می‌توانید متوجه شوید همه پنیرها جز مواد خوراکی محسوب می‌شوند. بعلاوه مجموعه C را به عنوان مجموعه همه اشیای فلزی تعریف می‌کنیم. به این تعریف C هیچ عضو مشترکی با A,B ندارد. از این رابطه منطقی متوجه می‌شویم مواد خوراکی اشیای فلزی نمی‌باشند. به زبان ریاضی A زیرمجموعه محض B است، {TEX()} {A\subset B} {TEX} و اشتراک C با مجموعه B تهی است:

::{TEX()} {C\cap B=\phi} {TEX}::

::{TEX()} {(A\subset B)\land (c\cap B=\phi)} {TEX}::

!همچنین ببینید

*((نمودار اویلر))

*((نظریه مجموعه‌ها))

*((جان ون))