منو
 صفحه های تصادفی
ویژگی های یاران حضرت مهدی « ع» - دوستی خدا
قطبیت پیوند
وصال شیرازی
دانشنامه:ساختاربندی مقالات
آزمایش زاویه بحرانی
امام زمان علیه السلام در قرآن- الغاشیه : 1
درس علم منظر و مرایا
اقیانوس آرام
فرمالدئید
معلومات فطری
 کاربر Online
1127 کاربر online
تاریخچه ی: نظریه چند جمله ای ها

||V{maketoc}||
||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وب‌سایت المپیاد رشد]موجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا))‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.:: #@~~__||
^@#16:
!نظریه چند جمله ای ها
!!مثال
ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} را در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} بیابید.
در قمست قبلی، قضیه دوجمله ای نیوتن را ثابت کردیم. حال در این بخش سعی می کنیم این قضیه را تعمیم دهیم تا بتوانیم ضرایب را در بسط حاصل ضرب {TEX()} {(x_1+x_2+\cdots +x_m)^n} {TEX} به دست آوریم.
__حل__
در بسط عبارت
@@{TEX()} {(x+y+z)^6=(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)} {TEX}@@
باید از هر یک از 6 عامل، {TEX()} {y,x} {TEX}یا {TEX()} {z} {TEX}را انتخاب کرد و باید به ازای هر حالتی که در آن از 3 تای آنها {TEX()} {x} {TEX}، یکی از آنها {TEX()} {y} {TEX}و 2 تای از آنها {TEX()} {z} {TEX}انتخاب می شود یک واحد به ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} اضافه کنیم. حال ما یک تناظر یک به یک بین ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} و تعداد کلمات 6 حرفی که با 3 تا {TEX()} {x} {TEX}، یکی {TEX()} {y} {TEX}و 2 تا {TEX()} {z} {TEX}ساخته می شوند برقرار می کنیم.
به ازای هر راه انتخاب {TEX()} {x} {TEX}، {TEX()} {y} {TEX}یا {TEX()} {z} {TEX}از هر عامل یک کلمه ی 6 حرفی به این شکل می سازیم که اگر از عامل {TEX()} {i} {TEX}ام {TEX()} {(1\le i \le 6)} {TEX} {TEX()} {x} {TEX}انتخاب شده باشد، حرف {TEX()} {i} {TEX}ام این کلمه را {TEX()} {x} {TEX}و اگر {TEX()} {y} {TEX}انتخاب شده باشد، {TEX()} {y} {TEX}و اگر {TEX()} {z} {TEX}انتخاب شده باشد، {TEX()} {z} {TEX}می گذاریم. به عنوان مثال اگر ما از عامل های اول، دوم، سوم، چهارم، پنجم و ششم به ترتیب {TEX()} {x.z.x.z.y.x} {TEX} را انتخاب کنیم معادل کلمه ی{TEX()} { xyzxzx } {TEX} است. هم چنین کلمه ی{TEX()} { xxyxzz } {TEX} ، متناظر با حالتی است که از عامل های اول، دوم، سوم، چهارم، پنجم و ششم به ترتیب{TEX()} {z,z,x,y,x,x} {TEX} را انتخاب کنیم.
واضح است که این یک تناظر یک به یک بین ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} و تعداد دنباله های به طول 6 با 3 عدد {TEX()} {x} {TEX}، 2 عدد {TEX()} {z} {TEX}و یک عدد {TEX()} {y} {TEX}می باشد که برابر است با @@{TEX()} {{6\choose {3,2,1}}=\frac{6!}{3!1!2!}=60} {TEX}.@@
---
!!مثال
__الف.__ضریب{TEX()} {a^5b^3c^7d^2e^5} {TEX} را در عبارت{TEX()} {G(a+b+c+d+e)^22 {TEX} بیابید.
__ب.__ضریب{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} را در عبارت{TEX()} {\big(2x-y+5\sqrt{z}+\frac{1}{7w^2} \big)^{12}} {TEX} بیابید.
__حل__
__الف.__طبق قضیه ی چند جمله ای ضریب{TEX()} {a^5b^3c^7d^2e^5} {TEX} در عبارت{TEX()} {(a+b+c+d+e)^{22}} {TEX} برابر است با {TEX()} {{{22}\choose {5,3,7,2,5}}=\frac{22!}{5!3!7!2!5!}} {TEX}.
__ب.__فرض کنید {TEX()} { A = 2x } {TEX} ،{TEX()} { B = -y } {TEX} ،{TEX()} {C=5\sqrt{z}} {TEX} و{TEX()} {D=\frac{1}{7w^2}} {TEX}. تنها جمله ای که در عبارت{TEX()} {(A+B+C+D)^12} {TEX} شامل جمله ی{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} می باشد، جمله ی{TEX()} {A^3BC^5D^3} {TEX} می باشد. چون طبق قضیه ی چند جمله ای ضریب {TEX()} {A^3BC^5D^3} {TEX} در عبارت{TEX()} {(A+B+C+D)^{12}} {TEX} برابر{TEX()} {{{12}\choose {3,1,5,3}}=\frac{12!}{3!1!5!3!}} {TEX} است، پس ضریب{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} در عبارت{TEX()} {\big(2x-y+5\sqrt{z}-\frac{1}{7w^2} \big)} {TEX} برابر است با{TEX()} {-\frac{2^3 \times 5^5}{7^3} {{12}\choose {3,1,5,3}}} {TEX}
---
!!مثال
__الف.__بسط عبارت{TEX()} {(x+y)^6} {TEX} چند جمله دارد؟
__ب.__بسط عبارت{TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX} چند جمله دارد؟
__حل__
__الف.__هر جمله ی عبارت{TEX()} {(x+y)^6} {TEX} به صورت{TEX()} {x^ky^{6-k}} {TEX} است و چون{TEX()} {0\le k \le 6} {TEX}، پس این عبارت 7 جمله دارد.
__ب.__می دانیم هر جمله از بسط عبارت{TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX}، به صورت{TEX()} {a^{n_1}b^{n_2}c^{n_3}d^{n_4}} {TEX} می باشد که در آن {TEX()} {(1 \le i \le 4) \ n_i \ge 0} {TEX} و{TEX()} {n_1+n_2+n_3+n_4=9} {TEX}. بنابراین یک تناظر یک به یک بین جملات بسط {TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX} و جواب های صحیح نامنفی معادله‌ی{TEX()} {(n_1+n_2+n_3+n_4=9} {TEX} برقرار است. در نتیجه تعداد جملات این عبارت برابر است با{TEX()} {{12}\choose 3} {TEX}.
---
! پیوند های خارجی
[http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0055.pdf]

#@^







تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 یکشنبه 14 آبان 1385 [12:15 ]   4   زینب معزی      جاری 
 یکشنبه 19 شهریور 1385 [10:07 ]   3   زینب معزی      v  c  d  s 
 یکشنبه 19 شهریور 1385 [10:06 ]   2   زینب معزی      v  c  d  s 
 پنج شنبه 16 شهریور 1385 [08:01 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..