منو
 کاربر Online
1136 کاربر online
تاریخچه ی: نظریه چند جمله ای ها

تفاوت با نگارش: 2

Lines: 1-41Lines: 1-34
 ||V{maketoc}|| ||V{maketoc}||
-||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد یی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وب‌سایت المپیاد رشد]موجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا))‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.:: #@~~__|| +||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد کمپیو رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وب‌سایت المپیاد رشد]موجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا))‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.:: #@~~__||
 ^@#16: ^@#16:
 !نظریه چند جمله ای ها !نظریه چند جمله ای ها
 !!مثال !!مثال
  ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} را در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} بیابید.  ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} را در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} بیابید.
  در قمست قبلی، قضیه دوجمله ای نیوتن را ثابت کردیم. حال در این بخش سعی می کنیم این قضیه را تعمیم دهیم تا بتوانیم ضرایب را در بسط حاصل ضرب {TEX()} {(x_1+x_2+\cdots +x_m)^n} {TEX} به دست آوریم.   در قمست قبلی، قضیه دوجمله ای نیوتن را ثابت کردیم. حال در این بخش سعی می کنیم این قضیه را تعمیم دهیم تا بتوانیم ضرایب را در بسط حاصل ضرب {TEX()} {(x_1+x_2+\cdots +x_m)^n} {TEX} به دست آوریم.
 __حل__ __حل__
  در بسط عبارت  در بسط عبارت
 @@{TEX()} {(x+y+z)^6=(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)} {TEX}@@ @@{TEX()} {(x+y+z)^6=(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)} {TEX}@@
 باید از هر یک از 6 عامل، {TEX()} {y,x} {TEX}یا {TEX()} {z} {TEX}را انتخاب کرد و باید به ازای هر حالتی که در آن از 3 تای آنها {TEX()} {x} {TEX}، یکی از آنها {TEX()} {y} {TEX}و 2 تای از آنها {TEX()} {z} {TEX}انتخاب می شود یک واحد به ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} اضافه کنیم. حال ما یک ((تناظر یک به یک)) بین ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} و تعداد کلمات 6 حرفی که با 3 تا {TEX()} {x} {TEX}، یکی {TEX()} {y} {TEX}و 2 تا {TEX()} {z} {TEX}ساخته می شوند برقرار می کنیم.  باید از هر یک از 6 عامل، {TEX()} {y,x} {TEX}یا {TEX()} {z} {TEX}را انتخاب کرد و باید به ازای هر حالتی که در آن از 3 تای آنها {TEX()} {x} {TEX}، یکی از آنها {TEX()} {y} {TEX}و 2 تای از آنها {TEX()} {z} {TEX}انتخاب می شود یک واحد به ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} اضافه کنیم. حال ما یک ((تناظر یک به یک)) بین ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} و تعداد کلمات 6 حرفی که با 3 تا {TEX()} {x} {TEX}، یکی {TEX()} {y} {TEX}و 2 تا {TEX()} {z} {TEX}ساخته می شوند برقرار می کنیم.
 به ازای هر راه انتخاب {TEX()} {x} {TEX}، {TEX()} {y} {TEX}یا {TEX()} {z} {TEX}از هر عامل یک کلمه ی 6 حرفی به این شکل می سازیم که اگر از عامل {TEX()} {i} {TEX}ام {TEX()} {(1\le i \le 6)} {TEX} {TEX()} {x} {TEX}انتخاب شده باشد، حرف {TEX()} {i} {TEX}ام این کلمه را {TEX()} {x} {TEX}و اگر {TEX()} {y} {TEX}انتخاب شده باشد، {TEX()} {y} {TEX}و اگر {TEX()} {z} {TEX}انتخاب شده باشد، {TEX()} {z} {TEX}می گذاریم. به عنوان مثال اگر ما از عامل های اول، دوم، سوم، چهارم، پنجم و ششم به ترتیب {TEX()} {x.z.x.z.y.x} {TEX} را انتخاب کنیم معادل کلمه ی{TEX()} { xyzxzx } {TEX} است. هم چنین کلمه ی{TEX()} { xxyxzz } {TEX} ، متناظر با حالتی است که از عامل های اول، دوم، سوم، چهارم، پنجم و ششم به ترتیب{TEX()} {z,z,x,y,x,x} {TEX} را انتخاب کنیم. به ازای هر راه انتخاب {TEX()} {x} {TEX}، {TEX()} {y} {TEX}یا {TEX()} {z} {TEX}از هر عامل یک کلمه ی 6 حرفی به این شکل می سازیم که اگر از عامل {TEX()} {i} {TEX}ام {TEX()} {(1\le i \le 6)} {TEX} {TEX()} {x} {TEX}انتخاب شده باشد، حرف {TEX()} {i} {TEX}ام این کلمه را {TEX()} {x} {TEX}و اگر {TEX()} {y} {TEX}انتخاب شده باشد، {TEX()} {y} {TEX}و اگر {TEX()} {z} {TEX}انتخاب شده باشد، {TEX()} {z} {TEX}می گذاریم. به عنوان مثال اگر ما از عامل های اول، دوم، سوم، چهارم، پنجم و ششم به ترتیب {TEX()} {x.z.x.z.y.x} {TEX} را انتخاب کنیم معادل کلمه ی{TEX()} { xyzxzx } {TEX} است. هم چنین کلمه ی{TEX()} { xxyxzz } {TEX} ، متناظر با حالتی است که از عامل های اول، دوم، سوم، چهارم، پنجم و ششم به ترتیب{TEX()} {z,z,x,y,x,x} {TEX} را انتخاب کنیم.
 واضح است که این یک تناظر یک به یک بین ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} و تعداد دنباله های به طول 6 با 3 عدد {TEX()} {x} {TEX}، 2 عدد {TEX()} {z} {TEX}و یک عدد {TEX()} {y} {TEX}می باشد که برابر است با @@{TEX()} {{6\choose {3,2,1}}=\frac{6!}{3!1!2!}=60} {TEX}.@@ واضح است که این یک تناظر یک به یک بین ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} و تعداد دنباله های به طول 6 با 3 عدد {TEX()} {x} {TEX}، 2 عدد {TEX()} {z} {TEX}و یک عدد {TEX()} {y} {TEX}می باشد که برابر است با @@{TEX()} {{6\choose {3,2,1}}=\frac{6!}{3!1!2!}=60} {TEX}.@@
 --- ---
 !!مثال !!مثال
 __الف.__ضریب{TEX()} {a^5b^3c^7d^2e^5} {TEX} را در عبارت{TEX()} {G(a+b+c+d+e)^22 {TEX} بیابید. __الف.__ضریب{TEX()} {a^5b^3c^7d^2e^5} {TEX} را در عبارت{TEX()} {G(a+b+c+d+e)^22 {TEX} بیابید.
 __ب.__ضریب{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} را در عبارت{TEX()} {\big(2x-y+5\sqrt{z}+\frac{1}{7w^2} \big)^{12}} {TEX} بیابید. __ب.__ضریب{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} را در عبارت{TEX()} {\big(2x-y+5\sqrt{z}+\frac{1}{7w^2} \big)^{12}} {TEX} بیابید.
 __حل__ __حل__
 __الف.__طبق قضیه ی چند جمله ای ضریب{TEX()} {a^5b^3c^7d^2e^5} {TEX} در عبارت{TEX()} {(a+b+c+d+e)^{22}} {TEX} برابر است با {TEX()} {{{22}\choose {5,3,7,2,5}}=\frac{22!}{5!3!7!2!5!}} {TEX}. __الف.__طبق قضیه ی چند جمله ای ضریب{TEX()} {a^5b^3c^7d^2e^5} {TEX} در عبارت{TEX()} {(a+b+c+d+e)^{22}} {TEX} برابر است با {TEX()} {{{22}\choose {5,3,7,2,5}}=\frac{22!}{5!3!7!2!5!}} {TEX}.
 __ب.__فرض کنید {TEX()} { A = 2x } {TEX} ،{TEX()} { B = -y } {TEX} ،{TEX()} {C=5\sqrt{z}} {TEX} و{TEX()} {D=\frac{1}{7w^2}} {TEX}. تنها جمله ای که در عبارت{TEX()} {(A+B+C+D)^12} {TEX} شامل جمله ی{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} می باشد، جمله ی{TEX()} {A^3BC^5D^3} {TEX} می باشد. چون طبق قضیه ی چند جمله ای ضریب {TEX()} {A^3BC^5D^3} {TEX} در عبارت{TEX()} {(A+B+C+D)^{12}} {TEX} برابر{TEX()} {{{12}\choose {3,1,5,3}}=\frac{12!}{3!1!5!3!}} {TEX} است، پس ضریب{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} در عبارت{TEX()} {\big(2x-y+5\sqrt{z}-\frac{1}{7w^2} \big)} {TEX} برابر است با{TEX()} {-\frac{2^3 \times 5^5}{7^3} {{12}\choose {3,1,5,3}}} {TEX} __ب.__فرض کنید {TEX()} { A = 2x } {TEX} ،{TEX()} { B = -y } {TEX} ،{TEX()} {C=5\sqrt{z}} {TEX} و{TEX()} {D=\frac{1}{7w^2}} {TEX}. تنها جمله ای که در عبارت{TEX()} {(A+B+C+D)^12} {TEX} شامل جمله ی{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} می باشد، جمله ی{TEX()} {A^3BC^5D^3} {TEX} می باشد. چون طبق قضیه ی چند جمله ای ضریب {TEX()} {A^3BC^5D^3} {TEX} در عبارت{TEX()} {(A+B+C+D)^{12}} {TEX} برابر{TEX()} {{{12}\choose {3,1,5,3}}=\frac{12!}{3!1!5!3!}} {TEX} است، پس ضریب{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} در عبارت{TEX()} {\big(2x-y+5\sqrt{z}-\frac{1}{7w^2} \big)} {TEX} برابر است با{TEX()} {-\frac{2^3 \times 5^5}{7^3} {{12}\choose {3,1,5,3}}} {TEX}
 --- ---
 !!مثال !!مثال
 __الف.__بسط عبارت{TEX()} {(x+y)^6} {TEX} چند جمله دارد؟ __الف.__بسط عبارت{TEX()} {(x+y)^6} {TEX} چند جمله دارد؟
 __ب.__((بسط)) عبارت{TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX} چند جمله دارد؟ __ب.__((بسط)) عبارت{TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX} چند جمله دارد؟
 __حل__ __حل__
 __الف.__هر جمله ی عبارت{TEX()} {(x+y)^6} {TEX} به صورت{TEX()} {x^ky^{6-k}} {TEX} است و چون{TEX()} {0\le k \le 6} {TEX}، پس این عبارت 7 جمله دارد. __الف.__هر جمله ی عبارت{TEX()} {(x+y)^6} {TEX} به صورت{TEX()} {x^ky^{6-k}} {TEX} است و چون{TEX()} {0\le k \le 6} {TEX}، پس این عبارت 7 جمله دارد.
 __ب.__می دانیم هر جمله از بسط عبارت{TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX}، به صورت{TEX()} {a^{n_1}b^{n_2}c^{n_3}d^{n_4}} {TEX} می باشد که در آن {TEX()} {(1 \le i \le 4) \ n_i \ge 0} {TEX} و{TEX()} {n_1+n_2+n_3+n_4=9} {TEX}. بنابراین یک تناظر یک به یک بین جملات بسط {TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX} و جواب های صحیح نامنفی معادله‌ی{TEX()} {(n_1+n_2+n_3+n_4=9} {TEX} برقرار است. در نتیجه تعداد جملات این عبارت برابر است با{TEX()} {{12}\choose 3} {TEX}. __ب.__می دانیم هر جمله از بسط عبارت{TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX}، به صورت{TEX()} {a^{n_1}b^{n_2}c^{n_3}d^{n_4}} {TEX} می باشد که در آن {TEX()} {(1 \le i \le 4) \ n_i \ge 0} {TEX} و{TEX()} {n_1+n_2+n_3+n_4=9} {TEX}. بنابراین یک تناظر یک به یک بین جملات بسط {TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX} و جواب های صحیح نامنفی معادله‌ی{TEX()} {(n_1+n_2+n_3+n_4=9} {TEX} برقرار است. در نتیجه تعداد جملات این عبارت برابر است با{TEX()} {{12}\choose 3} {TEX}.
 --- ---
 ! پیوند های خارجی ! پیوند های خارجی
 [http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0055.pdf] [http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0055.pdf]
 --- ---
 !همچنین ببینید !همچنین ببینید
 *((نظریه دو جمله ای ها )) *((نظریه دو جمله ای ها ))
 #@^ #@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 یکشنبه 14 آبان 1385 [12:15 ]   4   زینب معزی      جاری 
 یکشنبه 19 شهریور 1385 [10:07 ]   3   زینب معزی      v  c  d  s 
 یکشنبه 19 شهریور 1385 [10:06 ]   2   زینب معزی      v  c  d  s 
 پنج شنبه 16 شهریور 1385 [08:01 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..