منو
 کاربر Online
1229 کاربر online
تاریخچه ی: نظریه مجموعه‌ها

!دید کلی
نظریه مجموعه‌ها ، سنگ اساسی بنای ((ریاضیات جدید)) است. تعریفهای دقیق جمیع مفاهیم ریاضی ، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. گذشته از این ((روشهای استنتاج ریاضی)) ، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها ، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.
!تاریخچه نظریه مجموعه‌ها
موسس نظریه مجموعه‌ها ((جرج کانتور)) (1845- 1918) است. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدی‌اش ، تقریبا در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تاثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید. در واقع توسعه بعضی از نظامهای ریاضی ، از قبیل ((توپولوژی)) ، اساسا به ابزار نظریه مجموعه‌ها وابسته است. از اینها مهمتر ، نظریه مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌های ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها ، وضوح و دقتی تازه بخشیده است.
!مفهوم مجموعه
عبارت مجموعه در کاربرد محاوره‌ای ، معمولا به معنای دسته‌ای از اشیا در نظر گرفته شده است که به مفهومی وابسته به یکدیگر یا شبیه هم باشند. اگر شی a عنصری از مجموعه s می‌نویسیم (a متعلق به s) و در صورتی که a عنصری از s نباشد، می‌نویسیم a متعلق به s نیست. فرض می‌کنیم s مجموعه‌ای از عناصر باشد اگر s تنها شامل یک عنصر باشد آنگاه s را تک عنصری می‌نامیم. و اگر شامل دو عنصر متمایز باشد، آنگاه s را جفت نامرتب می‌نامیم.
!مفهوم زیرمجموعه
T، زیر مجموعه هر مجموعه s است هر گاه جمع عناصر T متعلق به S باشد، این موضوع را با SﮯTنشان می‌دهیم. زیر مجموعه T‌ای از S که با خود S متمایزند، به زیر مجموعه سره S موسومند. در این حالت می‌نویسیم SﮯT .
!((مجموعه تهی))
مجموعه‌ای است که اصلا عنصری ندارد. معرفی این مجموعه برای گرد کردن گزاره‌ها و استدلالهای نظریه مجموعه‌ها مناسب به نظر رسیده است. درست همان طور که عدد 0 گزاره‌ها محاسبه‌های حساب را گرد می‌کند. نماد معمول مجموعه تهی Φ است.
!خانواده یا دستگاه
مجموعه‌هایی که عنصرهای آن خود مجموعه‌اند، به خانواده یا دستگاه موسومند. به عنوان مثال ، یک قوم یا ملت ، مجموعه‌ای از اشخاص است و خود عنصری از خانواده اقوام یا ملتهاست. یکی از دستگاههای بسیار مهم ، مجموعه جمیع زیر مجموعه‌های یک مجموعه S است. این دستگاه به مجموعه توانی موسوم است که با (P(S نشان داده می‌شود.
!اصول اساسی مشترک دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها
با توجه به اصل موضوعی مجموعه‌ها {به ازای هر yεN و xεN| x = y2} جمیع دستگاههای اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها ، که در نیمه قرن بیستم میلادی توسعه یافتند چهار اصل اساسی مشترک دارند.
!!اصل توسیع پذیری
اصل توسیع پذیری بر این است که اگر دو مجموعه دارای عنصرهای یکسان (یعنی دو مجموعه که با یک توسیع باشند)، همانندند.
!!اصل ساخت
اصل ساخت بر این است که انواع محدود خاصی از گزاره‌ها مجموعه‌ها را تعریف می‌کنند. یکی از محدودیتهای معمول این است که گزاره تنها شامل نمادهای شیئی ، نمادهای منطقی و نماد ε است.
!!اصل وجود مجموعه‌های نامتناهی
وجود مجموعه‌های نامتناهی بیانگر همین مطلب است. البته معنای نامتناهی را باید دقیق کنیم. مشکل است که این اصل با استفاده از ارجاع مستقیم علت را انگیزه موضوعی شود، اما بدون آن قسمت اعظم ریاضیات و علوم نظری از قبیل دیفرانسیل و انتگرال و مکانیک کلاسیک ، بی‌معنا خواهد شد. بی‌آن حتی نمی‌توان اساس مجموعه نظری اعداد طبیعی را بدست آورد.
!!اصل انتخاب
اگر s دستگاهی از مجموعه‌های ناتهی باشد، آن گاه مجموعه Aای موجود است که بطور دقیق یک عنصر مشترک با هر مجموعه S از S دارد.
!اعمال اساسی مجموعه‌ها
*__اجتماع:__ اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. اجتماع B,A برابر است با هم اعضایی که یا در A یا در B و یا در هر دو آنها باشند و آن را به صورت AUB نشان می‌دهیم.
*__اشتراک:__ اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند آنگاه اشتراک آنها برابر است با همه اعضایی که هم در A و هم در B هستند و آن را به صورت A∩B نشان می‌دهند.
*تفاضل: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند. آنگاه A-B یعنی مجموعه هم اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند.
*__متمم:__ اگر S یک مجموعه باشد و A زیر مجموعه‌ای از آن باشد. آن متمم A مجموعه تمام اعضایی از S است که در A نباشد و آن را با Ā یا Á نشان می‌دهند.
!خواص اعمال مجموعه‌ای
اعمال مجموعه‌ای که عبارتند از اجتماع ، اشتراک ، تفاضل و متمم دارای خواص زیرند.
*دارای خاصیت جابجایی‌اند. AUB = BUA و A∩B = B∩A
*شرکت پذیرند. (AUB)UC = AU(BUC)
*توزیع پذیرند. (A∩(BUC) = (A∩B) U (A∩C و یا (AU(B∩C) = (AUB) ∩ (AUC
*متمم متمم هر مجموعه مساوی خود آن مجموعه است.
*اگر S یک مجموعه باشد انگاه اجتماع S با هر زیرمجموعه‌اش برابر S و اشتراک آنها برابر با آن زیر مجموعه است.
*اشتراک هر مجموعه با متممش برابر تهی است و اجتماع آنها باهم برابر مجموعه عناصر (S) می‌باشد.
*((قوانین دمورگان)) (´AUB)´ = (A´∩B) و یا (´A∩B)´ = (A´UB)
*تفاضل دو مجموعه برابر است با متمم اشتراک انها.
*دو مجموعه را ناسازگار می‌گویند هرگاه اشتراک این دو مجموعه تهی باشد.
!مباحث مرتبط با عنوان
*((اجتماع مجموعه‌ها))
*((اشتراک مجموعه‌ها))
*((اصل موضوعی نظریه مجموعه‌ها))
*((اعمال مجموعه‌ای))
*((تفاضل مجموعه‌ها))
*((زیر مجموعه‌ها))
*((قوانین دمورگان))
*((متمم مجموعه‌ها))
*((مجموعه تهی))
*((مجموعه‌ها))

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 یکشنبه 20 خرداد 1386 [14:36 ]   2   حسین خادم      جاری 
 پنج شنبه 25 اسفند 1384 [06:50 ]   1   حسین خادم      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..