| | اگر یک منحنی کاملا بر یک ((کره)) واقع باشد این کره ، کره بوسان منحنی در هر نقطه از آن است . در نتیجه شعاع کره بوسان به عنوان ((تابع))ی از پارامتر ثابت است و به همین ترتیب بردار موضع مرکز کره نیز چنین است | | اگر یک منحنی کاملا بر یک ((کره)) واقع باشد این کره ، کره بوسان منحنی در هر نقطه از آن است . در نتیجه شعاع کره بوسان به عنوان ((تابع))ی از پارامتر ثابت است و به همین ترتیب بردار موضع مرکز کره نیز چنین است |
| | بلعکس اگر تمام کرات بوسان یک منحنی در تمام نقاط یکی باشند آن منحنی بر روی یک کره واقع است. | | بلعکس اگر تمام کرات بوسان یک منحنی در تمام نقاط یکی باشند آن منحنی بر روی یک کره واقع است. |
| | دو منحنی پارامتری {TEX()} {N_1} {TEX} و {TEX()} {N_2} {TEX} با نقطه مشترک {TEX()} {p_0} {TEX} را در نظر میگیریم(شکل زیر). فرض کنیم {TEX()} {p'} {TEX} نقطه ای از {TEX()} {N_1} {TEX} و {TEX()} {\ddot{p}} {TEX} نقطه ای از {TEX()} {N_2} {TEX} باشد بطوریکه تفاضل مقادیر پارامترهای طبیعی {TEX()} {p'} {TEX} و {TEX()} {p_0} {TEX} بر{TEX()} {N_1} {TEX} ، و تفاضل مقادیر پارامترهای طبیعی {TEX()} {\ddot{p}} {TEX} و {TEX()} {p_0} {TEX} بر {TEX()} {N_2} {TEX} ، هر دو مساوی h باشند. این یعنی قوس ها دارای طول h اند و {TEX()} {p'} {TEX} و {TEX()} {\ddot{p}} {TEX} هر دو نسبت به {TEX()} {p_0} {TEX} در جهت افزایش پارامتر بر منحنی های نظیر واقع اند. اگر h>0، یا در جهت کاهش پارامتر قرار دارند اگر h<0 . | | دو منحنی پارامتری {TEX()} {N_1} {TEX} و {TEX()} {N_2} {TEX} با نقطه مشترک {TEX()} {p_0} {TEX} را در نظر میگیریم(شکل زیر). فرض کنیم {TEX()} {p'} {TEX} نقطه ای از {TEX()} {N_1} {TEX} و {TEX()} {\ddot{p}} {TEX} نقطه ای از {TEX()} {N_2} {TEX} باشد بطوریکه تفاضل مقادیر پارامترهای طبیعی {TEX()} {p'} {TEX} و {TEX()} {p_0} {TEX} بر{TEX()} {N_1} {TEX} ، و تفاضل مقادیر پارامترهای طبیعی {TEX()} {\ddot{p}} {TEX} و {TEX()} {p_0} {TEX} بر {TEX()} {N_2} {TEX} ، هر دو مساوی h باشند. این یعنی قوس ها دارای طول h اند و {TEX()} {p'} {TEX} و {TEX()} {\ddot{p}} {TEX} هر دو نسبت به {TEX()} {p_0} {TEX} در جهت افزایش پارامتر بر منحنی های نظیر واقع اند. اگر h>0، یا در جهت کاهش پارامتر قرار دارند اگر h<0 . |
| - | میگوییم دو منحنی دارای تماس از مرتبه n اند اگر {TEX()} {o(\ddot{h}} {TEX} ={TEX()} { \overline {p'p}} {TEX}
قضیه: دو منحنی پارامتری {TEX()} {N_1} {TEX} و {TEX()} {N_2} {TEX} منتظم از کلاس {TEX()} {c_n+1} {TEX} دارای تماس از مرتبه n در نقطه نامنفرد {TEX()} {p_0} {TEX} اند اگر و فقط اگر، برای نمایشهای طبیعی {TEX()} {r=r_2(\alpha)} {TEX},{TEX()} {r=r_1(S)} {TEX} آنها روابط زیر در برقرار باشند: |
+ | میگوییم دو منحنی دارای تماس از مرتبه n اند اگر
::{TEX()} {o(\ddot{h})} {TEX} ={TEX()} { \overline {p'p}} {TEX} ::
!قضیه:
دو منحنی پارامتری {TEX()} {N_1} {TEX} و {TEX()} {N_2} {TEX} منتظم از کلاس {TEX()} {c_n+1} {TEX} دارای تماس از مرتبه n در نقطه نامنفرد {TEX()} {p_0} {TEX} اند اگر و فقط اگر، برای نمایشهای طبیعی {TEX()} {r=r_2(\alpha)} {TEX},{TEX()} {r=r_1(S)} {TEX} آنها روابط زیر در برقرار باشند: |
| | {TEX()} {r_1} {TEX}={TEX()} {r_2} {TEX} , {TEX()} {r'_1} {TEX}={TEX()} {r'_2} {TEX} , ...... | | {TEX()} {r_1} {TEX}={TEX()} {r_2} {TEX} , {TEX()} {r'_1} {TEX}={TEX()} {r'_2} {TEX} , ...... |
| | توجه کنید که از دیدگاه ما یک ((منحنی پارامتری)) و قرینه اش، با اینکه مجموعه های نظیر از نقاط آنها بر هم منطق اند ، با هم تماس ندارند. برای آنکه دو منحنی پارامتری تماس داشته باشند، تماس مجموعه های نظیر در یک نقطه کافی نیست. بلکه باید جهت منحنی ها که بوسیله پارامتری سازی ها در نقطه تماس معین می شود نیز یکی باشد. اگر ما به تماس دو منحنی {TEX()} {N_2} {TEX} ,{TEX()} {N_1} {TEX} و به عنوان مجموعه هایی از نقاط علاقهمند باشیم، میتوانیم آن را تماس {TEX()} {N_1} {TEX} و {TEX()} {N_2} {TEX} یا تماس {TEX()} {N_1} {TEX} و قرینه {TEX()} {N_2} {TEX} تعریف کنیم. | | توجه کنید که از دیدگاه ما یک ((منحنی پارامتری)) و قرینه اش، با اینکه مجموعه های نظیر از نقاط آنها بر هم منطق اند ، با هم تماس ندارند. برای آنکه دو منحنی پارامتری تماس داشته باشند، تماس مجموعه های نظیر در یک نقطه کافی نیست. بلکه باید جهت منحنی ها که بوسیله پارامتری سازی ها در نقطه تماس معین می شود نیز یکی باشد. اگر ما به تماس دو منحنی {TEX()} {N_2} {TEX} ,{TEX()} {N_1} {TEX} و به عنوان مجموعه هایی از نقاط علاقهمند باشیم، میتوانیم آن را تماس {TEX()} {N_1} {TEX} و {TEX()} {N_2} {TEX} یا تماس {TEX()} {N_1} {TEX} و قرینه {TEX()} {N_2} {TEX} تعریف کنیم. |
