تاریخچه ی:
معادلات دیفرانسیل معمولی
تفاوت با نگارش: 3
| | + | V{maketoc} |
| | + |
| | + | | |
| | + | | |
| | + | |
| | + | ::__شکل زمین ودیفرانسیل کامل__:: |
| | + | |
| | + | |
| | + |
|
| | + | در قرن هیجدهم، دو نظر متضاد درباره شکل ((زمین)) وجود داشت. یکی که توسط طرفداران ((دکارت)) ابراز می شد این بود که زمین در دو قطب کشیدگی دارد. دیگری که از آن طرفداران ((نیوتن)) بود این بود که زمین در دو قطب پهن و مسطح است. ((ریاضیدان|ریاضیدانان)) بسیاری به طرفداری از یکی از این دو گروه وارد معرکه شدند. در 1736 ریاضیدان جوان ((فرانسه|فرانسوی)) موسوم به ((الکی کلور)) به یک هیات اعزامی که سرپرست آن ((پیر دوموپرتویی)) بود ملحق شد تا به ((لاپلند)) برود و با اندازه گیری ((طول جغرافیایی)) آنجا به ماجرا خاتمه دهد. نتیجه کاراو،نظرطرفداران نیوتن را تایید کرد. کلرو حاصل مطالعات خود درباره شکل زمین را در 1743 در مقاله ای منتشر کرد و در آنجا به بحث درباره تعادل سیالات و جاذبه گرانشی ((بیضیوارهای دورانی)) نیز پرداخت. در این اثر و نیز در آثار قبلیش برای نخستین بار محک ((مشتق جزئی)) برای کامل بودن یک صورت ((دیفرانسیل))ی Mdx+Ndyذکر شده است. |
| | + | |
| | + | |
| | + | | |
| | ((معادلات دیفرانسیل)) توصیف کننده حرکت ((سیاره|سیارات))، که از ((قانون دوم نیوتن|قانون دوم حرکت نیوتن)) به دست می آیند، هم شامل ((شتاب)) و هم شامل ((سرعت)) می شوند. در مورد حرکت ((موشک|موشکها)) در نزدیکی سطح ((زمین)) و در ((فضا))، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند. برای حل آنها از روشهای عددی به کمک ((کامپیوتر))های سریع و پیشرفته استفاده می کنند. همچنین کامپیوتر به موتور موشک دستور می دهد که چگونه و درچه زمان کار خود را آغاز کند تا موشک در مدار مناسب قرار گیرد. لزوم سرعت و دقت در این گونه کاربردهای کامپیوتری، انگیزه ای قوی برای پژوهش در زمینه ((سخت افزار)) و ((نرم افزار)) کامپیوتر به منظور تولید کامپیوترهای سریعتر و قابل اعتمادتر بوده هست. | | ((معادلات دیفرانسیل)) توصیف کننده حرکت ((سیاره|سیارات))، که از ((قانون دوم نیوتن|قانون دوم حرکت نیوتن)) به دست می آیند، هم شامل ((شتاب)) و هم شامل ((سرعت)) می شوند. در مورد حرکت ((موشک|موشکها)) در نزدیکی سطح ((زمین)) و در ((فضا))، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند. برای حل آنها از روشهای عددی به کمک ((کامپیوتر))های سریع و پیشرفته استفاده می کنند. همچنین کامپیوتر به موتور موشک دستور می دهد که چگونه و درچه زمان کار خود را آغاز کند تا موشک در مدار مناسب قرار گیرد. لزوم سرعت و دقت در این گونه کاربردهای کامپیوتری، انگیزه ای قوی برای پژوهش در زمینه ((سخت افزار)) و ((نرم افزار)) کامپیوتر به منظور تولید کامپیوترهای سریعتر و قابل اعتمادتر بوده هست. |
| | معادله دیفرانسیل معادله ای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد. | | معادله دیفرانسیل معادله ای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد. |
| | !رده بندی معادلات دیفرانسیل | | !رده بندی معادلات دیفرانسیل |
| | معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگی های زیر رده بندی می شوند | | معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگی های زیر رده بندی می شوند |
| - | الف) __نوع__ (عادی یا جزئی)
ب) __مرتبه__ (که عبارت است از مرتبه ((مشتق|مشتقی)) که بالاترین مرتبه را در معادله دارد)؛ و
پ) __درجه__ (نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و ((رادیکال|رادیکالهای)) مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش). |
+ | * __نوع__ (عادی یا جزئی)
* __مرتبه__ (که عبارت است از مرتبه ((مشتق|مشتقی)) که بالاترین مرتبه را در معادله دارد)؛
*__درجه__ (نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و ((رادیکال|رادیکالهای)) مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش). |
| | وقتی متغیر وابسته،مانند y تابعی از تنها یک متغیر مستقل مانند x باشد، فقط مشتقات «عادی» در معادله ظاهر می شوند. | | وقتی متغیر وابسته،مانند y تابعی از تنها یک متغیر مستقل مانند x باشد، فقط مشتقات «عادی» در معادله ظاهر می شوند. |
| - | !کاربردها | |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| - | {picture file=img/daneshnameh_up/moadele.jpg} |
+ | {picture=fanar.jpg} |
| | | | |
| | | | |
| | | | | |
|
| - | یکی از مهمترین کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مطالعه ارتعاش است که مثال معروف آن حرکت فنر است. در شکل مقابل فنری به طول طبیعی L را بوسیله وزنه W به اندازه s واحد میکشیم.سپس فنر رابه اندازه a واحد دیگر میکشانیم وآنرا رها میکنیم تابه ارتعاش در آیدوضعیت وزنه در هر زمان پس از آن با />یک معادله دیفرانسیل توصیف میشود. |
+ | !کاربردها
یکی از مهمترین کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مطالعه ارتعاش است که مثال معروف آن حرکت فنر است. در شکل مقابل فنری به طول طبیعی L را بوسیله وزنه W به اندازه s واحد میکشیم.سپس فنر رابه اندازه a واحد دیگر میکشانیم وآنرا رها میکنیم تابه ارتعاش در آیدوضعیت وزنه در هر زمان پس از آن با یک معادله دیفرانسیل توصیف میشود. |
| | البته مسائل ((فیزیک|فیزیکی)) زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می شوند به عنوان مثالی دیگر دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر ((حرکت پرتابه)) ای را (بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا) توصیف می کند: | | البته مسائل ((فیزیک|فیزیکی)) زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می شوند به عنوان مثالی دیگر دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر ((حرکت پرتابه)) ای را (بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا) توصیف می کند: |
| | {TEX()} {m x^{\prime\prime}(t)=0 , m y^{\prime\prime}=-mg} {TEX} | | {TEX()} {m x^{\prime\prime}(t)=0 , m y^{\prime\prime}=-mg} {TEX} |
| | در واقع، یکی از منابع عمده معادلات دیفرانسیل در مکانیک قانون دوم نیوتن است که در آن Fبرایند نیروهای وارد بر جسمی به جرم mو سرعت V است: | | در واقع، یکی از منابع عمده معادلات دیفرانسیل در مکانیک قانون دوم نیوتن است که در آن Fبرایند نیروهای وارد بر جسمی به جرم mو سرعت V است: |
| | {TEX()} {F=\frac{d}{dt}(mV)} {TEX} | | {TEX()} {F=\frac{d}{dt}(mV)} {TEX} |
| - | مثالی از رشته ((سینتیک شیمیایی)) واکنش دهنده ای چون است که در تبدیلاتی موازی با سرعتهایی متناسب با مقدار موجود در لحظه به دو فراورده تبدیل می شود. |
+ | مثالی از رشته ((سینتیک شیمیایی)) واکنش دهنده ای چون Aاست که در تبدیلاتی موازی با سرعتهایی متناسب با مقدار A موجود در لحظه tبه دو فراورده BوC تبدیل می شود.اگرx، y ،z مقادیرA، B،C در لحظه t باشند،آنگاه معادلات دیفرانسیلی که این فرایند را توصیف میکنند عبارتند از:
{picture=hadi-400.jpg}
|
واکنش دهندهA باآهنگهایی متناسب با مقدار
موجود A ،فراورده هایBو C را تولید میکند
|
::{TEX()} {\frac{dy}{dt}=k_1x } {TEX} ::
::{TEX()} { \frac{dz}{dt}=k_2x } {TEX}::
::{TEX()} {\frac{dx}{dt}=-(k_1 + k_2)x} {TEX}:: |
| | !جواب معادله | | !جواب معادله |
| - | تابعی چون {TEX()} {y=f(x)} {TEX} راجواب معادله دیفرانسیل نامند اگر چنانچه در معادله دیفرانسیل مزبور y را به جای (f(x قرار دهیم و به جای مشتقات مربوط به y ،مشتقات متناظر (f(x را قرار دهیم،معادله برقرار بماند. مثلا اگر{TEX()} {c_1} {TEX} و {TEX()} {c_2} {TEX} مقادیر ثابتی باشند،آنگاه |
+ |
تابعی چون {TEX()} {y=f(x)} {TEX} راجواب معادله دیفرانسیل نامند اگر چنانچه
در معادله دیفرانسیل مزبور y را به جای (f(x قرار دهیم و به جای مشتقات مربوط به y ،مشتقات متناظر (f(x را قرار دهیم،معادله برقرار بماند. مثلا اگر{TEX()} {c_1} {TEX} و {TEX()} {c_2} {TEX} مقادیر ثابتی باشند،آنگاه |
| | {TEX()} {y=c_1cosx + c_2sinx} {TEX} | | {TEX()} {y=c_1cosx + c_2sinx} {TEX} |
| | | | |
| | جوابی برای معادله دیفرانسیل زیر است: | | جوابی برای معادله دیفرانسیل زیر است: |
| | {TEX()} { y^{\prime\prime}+y=0} {TEX} | | {TEX()} { y^{\prime\prime}+y=0} {TEX} |
| | مساله ای فیزیکی به صورت یک معادله دیفرانسیل در می آید، معمولا شامل شرایطی اضافی هم هست که به وسیله خود معادله دیفرانسیل بیان نمی شوند. مثلاً، در مکانیک معمولا هم مکان و سرعت اولیه جسم متحرک و هم نیروها به طور جداگانه مشخص می شوند. معادله یا معادلات دیفرانسیل حرکت، معمولا جوابهایی دارند و ثابتهای دلخواهی را در برمیگیرند. از این رو به این ثابتهای دلخواه مقادیر خاصی نسبت می دهند تا شرایط اولیه توصیف شده برآورده شوند. | | مساله ای فیزیکی به صورت یک معادله دیفرانسیل در می آید، معمولا شامل شرایطی اضافی هم هست که به وسیله خود معادله دیفرانسیل بیان نمی شوند. مثلاً، در مکانیک معمولا هم مکان و سرعت اولیه جسم متحرک و هم نیروها به طور جداگانه مشخص می شوند. معادله یا معادلات دیفرانسیل حرکت، معمولا جوابهایی دارند و ثابتهای دلخواهی را در برمیگیرند. از این رو به این ثابتهای دلخواه مقادیر خاصی نسبت می دهند تا شرایط اولیه توصیف شده برآورده شوند. |
| | + | !تقسیم بندی |
| | + | *((معادله دیفرانسیل مرتبه اول)) |
| | + | *((معادله دیفرانسیل مرتبه دوم)) |
| | + | !همچنین ببینید: |
| | + | ((حل عددی معادله دیفرانسیل)) |
| | + | ((حل معادله دیفرانسیل بوسیله سری)) |
