مرکز گروه:
فرض کنید یک گروه است. مجموعه به صورت زیر تعریف می شود:

را مرکز گروه مینامند .مرکز گروه را با نیز نمایش میدهند.
نکته:
مرکز یک گروه شامل عناصری از گروه است که با تمام اعضای گروه جابجا می شوند. لذا مرکز هر گروه همیشه شامل عنصر خنثی گروه است. بنابراین مرکز هر گروه ، حداقل یک عضو دارد. لذا مرکز گروه همیشه مخالف است.
نتیجه:
اگر یک گروه باشد ، اگر و فقط اگر گروه جابجایی باشد.
اثبات:
ابتدا فرض میکنیم گروه جابجایی باشد ، ثابت میکنیم :
طبق تعریف هموارهبنابراین کافیست نشان دهیم :
فرض میکنیم ، در این صورت با توجه به این که جابجایی است ، لذا برای هر داریم :
.یعنی . پس .در نتیجه خواهد شد.
حال فرض میکنیم . ثابت میکنیم جابجایی است:
برای هر چون پس .طبق تعریف داریم:

قضیه:
مرکز هر گروه ، زیرگروه است.
اثبات:
فرض میکنیم یک گروه است. باید نشان دهیم :
اما اولاً زیرا .
حال فرض میکنیم دلخواه باشند. نشان میدهیم . در این صورت خواهد بود:
فرض میکنیم عنصری دلخواه باشد.کافیست ثابت کنیم:

اما:








پس .
قضیه:
اگر یک گروه باشد ، و آنگاه .
اثبات:
واضح است که .چرا که حداقل یک عضو مانند در هر دو زیرگروه وجود دارد..
حال فرض میکنیم دلخواه باشند . بنابراین:
و همچنین . پس:
و همچنین .لذا:
که معادل است با .
نتیجه:
اگر یک گروه و خانواده ای از زیر گروه های آنگاه برای هر داریم .
تمرین:
فرض کنیم دو مجموعه باشند و .اگر یک گروه باشد و ثابت کنید:

حل:
ابتدا فرض میکنیم نشان میدهیم :
برای این منظور ابتدا نشان میدهیم :
ابتدا عضوی از مانند را در نظر میگیریم. نشان میدهیم :
.در نظر میگیریم .لذا .پس .
اما حال فرض میکنیم .
از اینکه نتیجه میگیریم .
و چون میتوان نتیجه گرفت :
لذا .
بنابراین .
حال فرض میکنیم باشد نشان میدهیم :
چون پس .یعنی .
حال فرض میکنیم دلخواه باشند.. ثابت میکنیم .اما:

بنابراین:

اما:

در نتیجه:

قضیه:
فرض کنید یک گروه و باشد ،آنگاه زیرگروهی از است. این زیرگروه کوچکترین زیرگروه میباشد که شامل است. به عبارت دیگر هر زیرگروه که شامل باشد، شامل نیز هست.
اثبات:
بدیهی است که است .زیرا .
حال فرض میکنیم دلخواه باشند ، لذا :

بنابراین:

تا اینجا ثابت کردیم . حال نشان میدهیم کوچکترین مجموعه با این خاصیت است:
فرض میکنیم ثابت میکنیم :
چون ، برای هر که داریم:
پس .
نکته:
اگر گروهی جمعی باشد و آنگاه .