تاریخچه ی:
مرکز گروه
تفاوت با نگارش: 1
| - | مرکز گروه: |
+ | ||V{maketoc}||
^@#16:
!مرکز گروه: |
| | فرض کنید{TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است. مجموعه {TEX()} {Z(G) } {TEX} به صورت زیر تعریف می شود: | | فرض کنید{TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است. مجموعه {TEX()} {Z(G) } {TEX} به صورت زیر تعریف می شود: |
| - | {TEX()} {Z(G)={z \in G | \forall g \in G : g*z=z*g } {TEX}
{TEX()} {Z(G) } {TEX} را مرکز گروه مینامند .مرکز گروه را با {TEX()} {C(G) } {TEX} نیز نمایش میدهند.
نکته:
مرکز یک گروه شامل عناصری از گروه است که با تمام اعضای گروه جابجا می شوند. لذا مرکز هر گروه همیشه شامل عنصر خنثی گروه است. بنابراین مرکز هر گروه ، حداقل یک عضو دارد. لذا مرکز گروه همیشه مخالف {TEX()} {\varnothing } {TEX} است.
نتیجه: |
+ | @@{TEX()} {Z(G)=\{z \in G | \forall g \in G : g*z=z*g\} } {TEX}@@
{TEX()} {Z(G) } {TEX} را مرکز گروه منامند .مرکز گروه را با {TEX()} {C(G) } {TEX} نیز نمایش مدهند.
!!نکته:
مرکز یک گروه شامل عناصری از ((گروه)) است که با تمام اعضای گروه جابجا می‌شوند. لذا مرکز هر گروه همیشه شامل ((عمل دوتایی|عنصر خنثی)) گروه است. بنابراین مرکز هر گروه ، حداقل یک عضو دارد. لذا مرکز گروه همیشه مخالف {TEX()} {\emptyset } {TEX} است.
---
!!نتیجه: |
| | اگر{TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه باشد ، {TEX()} {Z(G)=G} {TEX} اگر و فقط اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه جابجایی باشد. | | اگر{TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه باشد ، {TEX()} {Z(G)=G} {TEX} اگر و فقط اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه جابجایی باشد. |
| - | اثبات:
ابتدا فرض میکنیم {TEX()} {G } {TEX} گروه جابجایی باشد ، ثابت میکنیم {TEX()} {Z(G)=G} {TEX}: |
+ |
__اثبات:__
ابتدا فرض مکنیم {TEX()} {G } {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد ، ثابت مکنیم {TEX()} {Z(G)=G} {TEX}: |
| | طبق تعریف {TEX()} {Z(G) } {TEX} همواره{TEX()} {Z(G) \subseteq G} {TEX}بنابراین کافیست نشان دهیم {TEX()} {G \subseteq Z(G)} {TEX}: | | طبق تعریف {TEX()} {Z(G) } {TEX} همواره{TEX()} {Z(G) \subseteq G} {TEX}بنابراین کافیست نشان دهیم {TEX()} {G \subseteq Z(G)} {TEX}: |
| - | فرض میکنیم {TEX()} {a \in G } {TEX} ، در این صورت با توجه به این که {TEX()} {G} {TEX} جابجایی است ، لذا برای هر {TEX()} { g \in G} {TEX} داریم : |
+ | فرض مکنیم {TEX()} {a \in G } {TEX} ، در این صورت با توجه به این که {TEX()} {G} {TEX} جابجایی است ، لذا برای هر {TEX()} { g \in G} {TEX} داریم : |
| | {TEX()} {a*g=g*a } {TEX} .یعنی {TEX()} {a \in Z(G) } {TEX}. پس {TEX()} {G \subseteq Z(G)} {TEX}.در نتیجه {TEX()} {Z(G)=G} {TEX} خواهد شد. | | {TEX()} {a*g=g*a } {TEX} .یعنی {TEX()} {a \in Z(G) } {TEX}. پس {TEX()} {G \subseteq Z(G)} {TEX}.در نتیجه {TEX()} {Z(G)=G} {TEX} خواهد شد. |
| - | حال فرض میکنیم {TEX()} {Z(G)=G} {TEX}. ثابت میکنیم {TEX()} {G } {TEX} جابجایی است: |
+ | حال فرض مکنیم {TEX()} {Z(G)=G} {TEX}. ثابت مکنیم {TEX()} {G } {TEX} جابجایی است: |
| | برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} چون{TEX()} {Z(G)=G} {TEX} پس {TEX()} {a,b \in Z(G) } {TEX} .طبق تعریف {TEX()} {Z(G) } {TEX} داریم: | | برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} چون{TEX()} {Z(G)=G} {TEX} پس {TEX()} {a,b \in Z(G) } {TEX} .طبق تعریف {TEX()} {Z(G) } {TEX} داریم: |
| - | {TEX()} {a*b=b*a} {TEX}
قضیه:
مرکز هر گروه ، زیرگروه است.
اثبات:
فرض میکنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است. باید نشان دهیم {TEX()} {Z(G) \le G} {TEX}: |
+ | @@{TEX()} {a*b=b*a} {TEX}@@
---
!قضیه 1.
مرکز هر گروه ، ((زیرگروه)) است.
__اثبات:__
فرض مکنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است. باید نشان دهیم {TEX()} {Z(G) \le G} {TEX}: |
| | اما اولاً {TEX()} {\varnothing \neq Z(G) \subseteq G} {TEX} زیرا {TEX()} {e \in Z(G) } {TEX}. | | اما اولاً {TEX()} {\varnothing \neq Z(G) \subseteq G} {TEX} زیرا {TEX()} {e \in Z(G) } {TEX}. |
| - | حال فرض میکنیم {TEX()} {a,b \in Z(G)} {TEX} دلخواه باشند. نشان میدهیم {TEX()} {a*b^\prime \in Z(G)} {TEX}. در این صورت {TEX()} {Z(G) \le G} {TEX} خواهد بود:
فرض میکنیم{TEX()} {x\in G} {TEX} عنصری دلخواه باشد.کافیست ثابت کنیم:
{TEX()} {(a*b^\prime)*x=x*(a*b^\prime)} {TEX} |
+ | حال فرض مکنیم {TEX()} {a,b \in Z(G)} {TEX} دلخواه باشند. نشان مدهیم {TEX()} {a*b^\prime \in Z(G)} {TEX}. در این صورت {TEX()} {Z(G) \le G} {TEX} خواهد بود:
فرض مکنیم{TEX()} {x\in G} {TEX} عنصری دلخواه باشد.کافیست ثابت کنیم:
@@{TEX()} {(a*b^\prime)*x=x*(a*b^\prime)} {TEX}@@ |
| | اما: | | اما: |
| - | {TEX()} {(a*b^\prime)*x= } {TEX}
{TEX()} { a*(b^\prime*x)=} {TEX}
{TEX()} { a*(x^\prime*b)^\prime=} {TEX}
{TEX()} {a*(b*x^\prime)^\prime=} {TEX}
{TEX()} {a*(x*b^\prime)=} {TEX}
{TEX()} {(a*x)*b^\prime=} {TEX}
{TEX()} {(x*a)*b^\prime=} {TEX}
{TEX()} { x*(a*b^\prime)} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {(a*b^\prime)*x=a*(b^\prime*x)=a*(x^\prime*b)^\prime= a*(b*x^\prime)^\prime=a*(x*b^\prime)=(a*x)*b^\prime=(x*a)*b^\prime=x*(a*b^\prime)} {TEX}@@ |
| | پس {TEX()} {Z(G) \le G} {TEX}. | | پس {TEX()} {Z(G) \le G} {TEX}. |
| - | قضیه: |
+ | ---
!قضیه2. |
| | اگر {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه باشد ، و {TEX()} {H_1,H_2 \le G} {TEX} آنگاه {TEX()} {H_1 \cap H_2 \le G} {TEX}. | | اگر {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه باشد ، و {TEX()} {H_1,H_2 \le G} {TEX} آنگاه {TEX()} {H_1 \cap H_2 \le G} {TEX}. |
| - | اثبات:
واضح است که {TEX()} {H_1 \cap H_2 \neq \varnothing} {TEX}.چرا که حداقل یک عضو مانند {TEX()} {e} {TEX} در هر دو زیرگروه وجود دارد..
حال فرض میکنیم {TEX()} {a,b \in H_1 \cap H_2} {TEX} دلخواه باشند . بنابراین: |
+ |
__اثبات:__
واضح است که {TEX()} {H_1 \cap H_2 \neq \emptyset} {TEX}.چرا که حداقل یک عضو مانند {TEX()} {e} {TEX} در هر دو ((زیرگروه)) وجود دارد..
حال فرض مکنیم {TEX()} {a,b \in H_1 \cap H_2} {TEX} دلخواه باشند . بنابراین: |
| | {TEX()} {a,b \in H_1 } {TEX} و همچنین {TEX()} {a,b \in H_2 } {TEX} . پس: | | {TEX()} {a,b \in H_1 } {TEX} و همچنین {TEX()} {a,b \in H_2 } {TEX} . پس: |
| | {TEX()} {a*b^\prime \in H_1 } {TEX} و همچنین {TEX()} {a*b^\prime \in H_2 } {TEX} .لذا: | | {TEX()} {a*b^\prime \in H_1 } {TEX} و همچنین {TEX()} {a*b^\prime \in H_2 } {TEX} .لذا: |
| | {TEX()} {a*b^\prime \in H_1\cap H_2 } {TEX} که معادل است با {TEX()} {(H_1 \cap H_2 ) \le G} {TEX}. | | {TEX()} {a*b^\prime \in H_1\cap H_2 } {TEX} که معادل است با {TEX()} {(H_1 \cap H_2 ) \le G} {TEX}. |
| - | نتیجه:
اگر {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه و {TEX()} {\big{H_i\big}_{i \in I}} {TEX} خانواده ای از زیر گروه های {TEX()} {G} {TEX} آنگاه برای هر {TEX()} {i \in I } {TEX} داریم {TEX()} {\bigcap H_i \le G } {TEX}.
تمرین:
فرض کنیم {TEX()} {H,K } {TEX} دو مجموعه باشند و {TEX()} {HK={hk|h \in H , k \inK } {TEX}.اگر{TEX()} {G} {TEX} یک گروه باشد و {TEX()} {H,K \le G } {TEX} ثابت کنید:
{TEX()} {HK \le G \Rightleftarrow HK=KH } {TEX}
حل:
ابتدا فرض میکنیم {TEX()} {HK \le G } {TEX} نشان میدهیم {TEX()} {HK=KH } {TEX}:
برای این منظور ابتدا نشان میدهیم {TEX()} {HK \subseteq KH } {TEX}:
ابتدا عضوی از {TEX()} {HK } {TEX} مانند {TEX()} {x } {TEX} را در نظر میگیریم. نشان میدهیم{TEX()} {x \in HK } {TEX} :
{TEX()} {x \in HK , HK \leG \Rightarrow x^-1 \in HK } {TEX}.در نظر میگیریم{TEX()} {x^-1=hk } {TEX} .لذا {TEX()} {x=(x^-1)^-1=(hk)^-1=k^-1h^-1 \in KH} {TEX} .پس {TEX()} {HK \subseteq KH } {TEX}.
اما حال فرض میکنیم {TEX()} {x=kh \inKH } {TEX}.
از اینکه {TEX()} {h \in H , k \in K } {TEX} نتیجه میگیریم {TEX()} {h^-1 \in H , k^-1 \in K} {TEX}. |
+ | ---
!!نتیجه:
اگر {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه و {TEX()} {\{H_i\}_{i \in I}} {TEX} خانواده ای از زیرگروه‌های {TEX()} {G} {TEX} آنگاه برای هر {TEX()} {i \in I } {TEX} داریم {TEX()} {\bigcap H_i \le G } {TEX}.
---
!!تمرین:
فرض کنیم {TEX()} {H,K } {TEX} دو ((مجموعه)) باشند و {TEX()} {HK={hk|h \in H , k \inK } {TEX}.اگر{TEX()} {G} {TEX} یک(( گروه)) باشد و {TEX()} {H,K \le G } {TEX} ثابت کنید:
@@{TEX()} {HK \le G \Leftrightarrow HK=KH } {TEX}@@
__حل:__
ابتدا فرض مکنیم {TEX()} {HK \le G } {TEX} نشان مدهیم {TEX()} {HK=KH } {TEX}:
برای این منظور ابتدا نشان مدهیم {TEX()} {HK \subseteq KH } {TEX}:
ابتدا عضوی از {TEX()} {HK } {TEX} مانند {TEX()} {x } {TEX} را در نظر مگیریم. نشان مدهیم{TEX()} {x \in KH } {TEX} :
اما:
@@{TEX()} {x \in HK , HK \le G \Rightarrow x^{-1} \in HK } {TEX}.@@
در نظر مگیریم{TEX()} {x^{-1}=hk } {TEX} .لذا {TEX()} {x=(x^{-1})^{-1}=(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1} \in KH} {TEX} .پس {TEX()} {HK \subseteq KH } {TEX}.
اما حال فرض مکنیم {TEX()} {x=kh \in KH } {TEX}.
از اینکه {TEX()} {h \in H , k \in K } {TEX} نتیجه مگیریم {TEX()} {h^{-1} \in H , k^{-1} \in K} {TEX}. |
| | و چون {TEX()} {HK \le G } {TEX} میتوان نتیجه گرفت : | | و چون {TEX()} {HK \le G } {TEX} میتوان نتیجه گرفت : |
| - | {TEX()} {kh=(h^-1k^-1)^-1 \in HK} {TEX} لذا {TEX()} {KH \subseteq HK } {TEX}. |
+ | {TEX()} {kh=(h^{-1}k^{-1})^-1 \in HK} {TEX} لذا {TEX()} {KH \subseteq HK } {TEX}. |
| | بنابراین {TEX()} {HK = KH } {TEX}. | | بنابراین {TEX()} {HK = KH } {TEX}. |
| - | حال فرض میکنیم {TEX()} {HK = KH } {TEX} باشد نشان میدهیم {TEX()} {HK \le G } {TEX}:
چون {TEX()} {H,K \le G } {TEX} پس {TEX()} {e \in H,K} {TEX} .یعنی {TEX()} {e=ee \in HK \neq \varnothing} {TEX}.
حال فرض میکنیم {TEX()} {x,y \in HK} {TEX} دلخواه باشند.. ثابت میکنیم {TEX()} {xy^-1 \in HK} {TEX}.اما:
{TEX()} {x,y \in HK \Rightarrow \exists h_1,h_2 \in H ,\exists k_1,k_2 \in K : x=h_1k_1 , y=h_2k_2} {TEX} |
+ | حال فرض مکنیم {TEX()} {HK = KH } {TEX} باشد نشان مدهیم {TEX()} {HK \le G } {TEX}:
چون {TEX()} {H,K \le G } {TEX} پس {TEX()} {e \in H,K} {TEX} .یعنی {TEX()} {e=ee \in HK \neq \emptyset} {TEX}.
حال فرض مکنیم {TEX()} {x,y \in HK} {TEX} دلخواه باشند.. ثابت مکنیم {TEX()} {xy^{-1} \in HK} {TEX}.اما:
@@{TEX()} {x,y \in HK \Rightarrow \exists h_1,h_2 \in H ,\exists k_1,k_2 \in K : x=h_1k_1 , y=h_2k_2} {TEX}@@ |
| | بنابراین: | | بنابراین: |
| - | {TEX()} {xy^-1=h_1k_1(h_2k_2)^-1=h_1(k_1k_2^-1)h_2^-1=h_1(kh_2) ; k=k_1k_2^-1 \inK} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {xy^{-1}=h_1k_1(h_2k_2)^{-1}=h_1(k_1k_2^-1)h_2^{-1}=h_1(kh_2) ; k=k_1k_2^{-1} \in K} {TEX}@@ |
| | اما: | | اما: |
| - | {TEX()} {kh_2 \in KH , KH=HK \Rightarrow \exists k^\prime \in K , \exists h^\prime \in H ; kh_2=h^\primek^\prime} {TEX} |
+ | @@ {TEX()} {kh_2 \in KH , KH=HK \Rightarrow \exists k^\prime \in K , \exists h^\prime \in H ; kh_2=h^\prime k^\prime} {TEX}@@ |
| | در نتیجه: | | در نتیجه: |
| - | {TEX()} {xy^-1=h_1(h^\primek^\prime)=hk^\prime \in HK ; h=h_1h^\prime \Rightarrow HK \le G} {TEX}
قضیه:
فرض کنید{TEX()} {(G,.)} {TEX} یک گروه و{TEX()} {a \in G} {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {H={a^n|n \in Z } {TEX} زیرگروهی از {TEX()} {G } {TEX} است. این زیرگروه کوچکترین زیرگروه {TEX()} {G } {TEX} میباشد که شامل {TEX()} {a } {TEX} است. به عبارت دیگر هر زیرگروه {TEX()} {G } {TEX} که شامل {TEX()} {a } {TEX} باشد، شامل {TEX()} {H } {TEX} نیز هست.
اثبات:
بدیهی است که {TEX()} {\varnothing \neq H \subseteq G} {TEX} است .زیرا {TEX()} {e=a^0 \in H} {TEX}.
حال فرض میکنیم {TEX()} {x,y \in H} {TEX} دلخواه باشند ، لذا :
{TEX()} {\exists n,m \in Z ; x=a^n , y=a^m } {TEX} |
+ | @@{TEX()} {xy^{-1}=h_1(h^\prime k^\prime)=hk^\prime \in HK ; h=h_1h^\prime \Rightarrow HK \le G} {TEX}@@
---
!قضیه 3.
فرض کنید{TEX()} {(G,.)} {TEX} یک گروه و{TEX()} {a \in G} {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {H={a^n|n \in Z } {TEX} زیرگروهی از {TEX()} {G } {TEX} است. این زیرگروه کوچکترین ((زیرگروه)) {TEX()} {G } {TEX} مباشد که شامل {TEX()} {a } {TEX} است. به عبارت دیگر هر زیرگروه {TEX()} {G } {TEX} که شامل {TEX()} {a } {TEX} باشد، شامل {TEX()} {H } {TEX} نیز هست.
__اثبات:__
بدیهی است که {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} است .زیرا {TEX()} {e=a^0 \in H} {TEX}.
حال فرض مکنیم {TEX()} {x,y \in H} {TEX} دلخواه باشند ، لذا :
@@{TEX()} {\exists n,m \in Z ; x=a^n , y=a^m } {TEX}@@ |
| | بنابراین: | | بنابراین: |
| - | {TEX()} {xy^-1 =a^n(a^m)^-1=a^{n-m} , n-m \in Z \Rightarrow a^{n-m} \in H } {TEX}
تا اینجا ثابت کردیم {TEX()} {H \le G } {TEX}. حال نشان میدهیم {TEX()} {H } {TEX} کوچکترین مجموعه با این خاصیت است:
فرض میکنیم {TEX()} {K \le G ,a \in K } {TEX} ثابت میکنیم {TEX()} {H \subseteq K} {TEX}: |
+ | @@{TEX()} {xy^{-1} =a^n(a^m)^{-1}=a^{n-m} , n-m \in Z \Rightarrow a^{n-m} \in H } {TEX}@@
تا اینجا ثابت کردیم {TEX()} {H \le G } {TEX}. حال نشان مدهیم {TEX()} {H } {TEX} کوچکترین مجموعه با این خاصیت است:
فرض مکنیم {TEX()} {K \le G ,a \in K } {TEX} ثابت مکنیم {TEX()} {H \subseteq K} {TEX}: |
| | چون {TEX()} {K \le G } {TEX} ، برای هر {TEX()} {x \in H ; x=a^n } {TEX} که{TEX()} {n \in Z } {TEX} داریم: | | چون {TEX()} {K \le G } {TEX} ، برای هر {TEX()} {x \in H ; x=a^n } {TEX} که{TEX()} {n \in Z } {TEX} داریم: |
| | {TEX()} {x=a^n=aa \cdots a \in K} {TEX} پس {TEX()} {H \subseteq K } {TEX}. | | {TEX()} {x=a^n=aa \cdots a \in K} {TEX} پس {TEX()} {H \subseteq K } {TEX}. |
| - | نکته:
اگر {TEX()} {G } {TEX} گروهی جمعی باشد و {TEX()} {a \in G } {TEX} آنگاه {TEX()} {H={na| n \in Z} \le G} {TEX} . |
+ | !!نکته:
اگر {TEX()} {G } {TEX} گروهی جمعی باشد و {TEX()} {a \in G } {TEX} آنگاه {TEX()} {H=\{na| n \in Z\} \le G} {TEX} .
!همچنین ببینید:
*((گروه همدسته‌ها))
*((گروه دوری))
*((گروه جابجایی))
#@^ |
