مرتبه گروه:
اگر
یک گروه متناهی باشد ، مرتبه گروه را با نماد
نشان میدهیم که عبارت است از تعداد اعضای گروه
.اگر
گروه نا متناهی باشد ،آنگاه
.
مرتبه عضو:
اگر
، آنگاه مرتبه عضو
کوچکترین عدد طبیعی چون
است که
.اگر هیچ عددی یافت نشود ، گوییم
از مرتبه نا متناهی است.ضمناً مرتبه
را با
نشان میدهیم.
قضیه:
فرض کنید
گروه ضربی و دوری است. آنگاه:
1 . اگر
آنگاه به ازای هر
داریم
.
2 . اگر
به ازای هر دو عدد صحیح
داریم:
اثبات:
1 . برای اثبات این قسمت از برهان خلف استفاده میکنیم و فرض میکنیم
و
.اما
گروه است .لذا:
که این با
متناقض است . چرا که
عددی طبیعی است.
2 . فرض میکنیم
.آنگاه با شرط
نتیجه میشود
. با توجه به تعریف
خواهیم داشت:
حال اگر
آنگاه
خواهد شد.
از اینکه
نتیجه میشود
. بنابراین
و
که معادل است با
.
قضیه:
فرض کنید
گروه ضربی باشد و
. در این صورت اگر
و
که
عدد طبیعی است ،آنگاه
.
اثبات:
ابتدا نشان میدهیم
:
حال ثابت میکنیم
کوچکترین عدد طبیعی است که
. (چون
)
فرض خلف:
فرض میکنیم عدد طبیعی مانند k باشرط
یافت شود که
.بنا به قضیۀ فوق وبا توجه به اینکه
نتیجه میشود:
بنابراین
که این با فرض ما متناقض است.
قضیه:
فرض کنید
گروه ضربی و دوری است و
.آنگاه گزاره های زیر برقرارند.
1 .
برای هر عدد طبیعی
، دارای زیرگروهی از مرتبه
است ، اگر و فقط اگر
.
2 . اگر
که
، آنگاه
فقط یک زیر گروه از مرتبه
دارد.
3 . اگر
اعداد صحیح باشند ، آنگاه
اگر و فقط اگر
.
اثبات:
1 . فرض میکنیم
زیر گروه
از مرتبه
باشد. دو حالت برای
در نظر میگیریم :
اگر
آنگاه
و حکم ثابت شده است.
در حالتی که
،
دوری است . زیرا
گروه دوری است.
بنابراین کوچکترین عدد طبیعی مانند
یافت می شود که
.اما:
لذا:
حال فرض میکنیم
. آنگاه
میتواند زیرگروه مورد نظر باشد زیرا :
2 . با توجه به قسمت قبل زیرگروهی از مرتبه
موجود است. کافیست نشان دهیم این زیرگروه یکتاست :
فرض میکنیم
زیرگروههایی از
هستند ، به طوریکه
.بدیهی است
دوری اند.لذا کوچکترین اعداد طبیعی مانند
یافت میشوند بطوریکه
. در این صورت:
لذا:
در نتیجه
خواهد شد. زیرا
کوچکترین عدد طبیعی است که
. لذا طبق الگوریتم تقسیم :
اما
است. بنابراین :
برای
تنها انتخاب
ممکن است ، بنابراین :
مشابهاً
. بنابراین
و
خواهد شد.
3 .