منو
 کاربر Online
767 کاربر online
تاریخچه ی: مرتبه گروه

نگارش: 2

مرتبه گروه:
اگر یک گروه متناهی باشد ، مرتبه گروه را با نماد نشان میدهیم که عبارت است از تعداد اعضای گروه .اگر گروه نا متناهی باشد ،آنگاه .
مرتبه عضو:
اگر ، آنگاه مرتبه عضو کوچکترین عدد طبیعی چون است که .اگر هیچ عددی یافت نشود ، گوییم از مرتبه نا متناهی است.ضمناً مرتبه را با نشان میدهیم.
قضیه:
فرض کنید گروه ضربی و دوری است. آنگاه:
1 . اگر آنگاه به ازای هر داریم .
2 . اگر به ازای هر دو عدد صحیح داریم:

اثبات:
1 . برای اثبات این قسمت از برهان خلف استفاده میکنیم و فرض میکنیم و.اما گروه است .لذا:

که این با متناقض است . چرا که عددی طبیعی است.
2 . فرض میکنیم .آنگاه با شرط نتیجه میشود . با توجه به تعریف خواهیم داشت:

حال اگر آنگاه خواهد شد.
از اینکه نتیجه میشود . بنابراین و که معادل است با .
قضیه:
فرض کنید گروه ضربی باشد و . در این صورت اگر و که عدد طبیعی است ،آنگاه .
اثبات:
ابتدا نشان میدهیم :

حال ثابت میکنیم کوچکترین عدد طبیعی است که . (چون)
فرض خلف:
فرض میکنیم عدد طبیعی مانند k باشرط یافت شود که .بنا به قضیۀ فوق وبا توجه به اینکه نتیجه میشود:

بنابراین
که این با فرض ما متناقض است.
قضیه:
فرض کنید گروه ضربی و دوری است و .آنگاه گزاره های زیر برقرارند.
1 . برای هر عدد طبیعی ، دارای زیرگروهی از مرتبه است ، اگر و فقط اگر .
2 . اگر که ، آنگاه فقط یک زیر گروه از مرتبه دارد.
3 . اگر اعداد صحیح باشند ، آنگاه اگر و فقط اگر .
اثبات:
1 . فرض میکنیم زیر گروه از مرتبه باشد. دو حالت برای در نظر میگیریم :
اگر آنگاه و حکم ثابت شده است.
در حالتی که ، دوری است . زیرا گروه دوری است.
بنابراین کوچکترین عدد طبیعی مانند یافت می شود که .اما:

لذا:

حال فرض میکنیم . آنگاه میتواند زیرگروه مورد نظر باشد زیرا :

2 . با توجه به قسمت قبل زیرگروهی از مرتبه موجود است. کافیست نشان دهیم این زیرگروه یکتاست :
فرض میکنیم زیرگروههایی از هستند ، به طوریکه .بدیهی است دوری اند.لذا کوچکترین اعداد طبیعی مانند یافت میشوند بطوریکه . در این صورت:

لذا:

در نتیجه خواهد شد. زیرا کوچکترین عدد طبیعی است که . لذا طبق الگوریتم تقسیم :

اما است. بنابراین :

برای تنها انتخاب ممکن است ، بنابراین :

مشابهاً . بنابراین و خواهد شد.
3 .



تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 شنبه 02 اردیبهشت 1385 [07:04 ]   3   زینب معزی      جاری 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:53 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:32 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..