تاریخچه ی:
ماتریس
تفاوت با نگارش: 2
| | ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
| |
| |
|
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | ||@#16:در ریاضیات ماتریس عبارت است یک جدول مستطیلی از اعداد و یا به صورت ساخت یافته‌تر: ماتریس مجموعه‌ای از اشیای هم نوع است که به تعدادی گروه با اعضای یکسان تقسیم بندی شده است. ماتریسها ریاضیات مناسبی برای ثبت و ذخیره داده‌هایی هستند که مقادیر آنها به دو کمیت بستگی دارد. از این جهت چون در اکثر علوم با چنین داده‌هایی روبرو می‌شویم. بنابراین کاربرد وسیع ماتریسها در اکثر شاخه‌های علوم مهندسی می‌شود.#@|| | | ||@#16:در ریاضیات ماتریس عبارت است یک جدول مستطیلی از اعداد و یا به صورت ساخت یافته‌تر: ماتریس مجموعه‌ای از اشیای هم نوع است که به تعدادی گروه با اعضای یکسان تقسیم بندی شده است. ماتریسها ریاضیات مناسبی برای ثبت و ذخیره داده‌هایی هستند که مقادیر آنها به دو کمیت بستگی دارد. از این جهت چون در اکثر علوم با چنین داده‌هایی روبرو می‌شویم. بنابراین کاربرد وسیع ماتریسها در اکثر شاخه‌های علوم مهندسی می‌شود.#@|| |
| | | | |
| | | | |
| | | | | |
|
| |
| |
|
| | ^@#16: | | ^@#16: |
| | !ماتریس | | !ماتریس |
| | ماتریس عبارت است از آرایشی (آرایه‌ای) مستطیل شکل از ((اعداد مختلط)) به طوری که عناصر این آرایه را درایه می‌نامیم و عنصر واقع در سطر {TEX()} {i} {TEX} ام و ستون {TEX()} {j} {TEX} ام را با نماد {TEX()} {a_{ij}} {TEX} نشان می‌دهیم. | | ماتریس عبارت است از آرایشی (آرایه‌ای) مستطیل شکل از ((اعداد مختلط)) به طوری که عناصر این آرایه را درایه می‌نامیم و عنصر واقع در سطر {TEX()} {i} {TEX} ام و ستون {TEX()} {j} {TEX} ام را با نماد {TEX()} {a_{ij}} {TEX} نشان می‌دهیم. |
| | ماتریسی که دارای {TEX()} {m} {TEX} سطر و {TEX()} {n} {TEX} ستون باشد را ماتریس از مرتبه {TEX()} {m} {TEX} در {TEX()} {n} {TEX} می‌نامیم.( {TEX()} {m \times n} {TEX} ) | | ماتریسی که دارای {TEX()} {m} {TEX} سطر و {TEX()} {n} {TEX} ستون باشد را ماتریس از مرتبه {TEX()} {m} {TEX} در {TEX()} {n} {TEX} می‌نامیم.( {TEX()} {m \times n} {TEX} ) |
| | !!نکته | | !!نکته |
| | هرگاه {TEX()} {m=n} {TEX} آنگاه ماتریس را مربع از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} می‌نامیم. | | هرگاه {TEX()} {m=n} {TEX} آنگاه ماتریس را مربع از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} می‌نامیم. |
| | یک ماتریس {TEX()} {m \times n} {TEX} را بصورت {TEX()} {A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} نمایش می‌دهیم. | | یک ماتریس {TEX()} {m \times n} {TEX} را بصورت {TEX()} {A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} نمایش می‌دهیم. |
| | --- | | --- |
| | !تاریخچه | | !تاریخچه |
| | مطالعه روی انواع خاصی از ماتریسها مانند ((مربعهای جادویی)) و ((مربعهای لاتین)) ، به تاریخ قبل از میلاد نسبت داده شده است. معرفی و تکامل نمایش ماتریسها به عنوان شاخه‌ای از ((جبر خطی)) در نتیجه مطلعه روی ضرایب سیستم معادلات خطی و الگوها و روشهای حل آنها بوجود آمد. __لایب نیتس__ به عنوان یکی از پایه گذاران علم حسابان در سال 1693، دترمینان ماتریسها را معرفی کرد. | | مطالعه روی انواع خاصی از ماتریسها مانند ((مربعهای جادویی)) و ((مربعهای لاتین)) ، به تاریخ قبل از میلاد نسبت داده شده است. معرفی و تکامل نمایش ماتریسها به عنوان شاخه‌ای از ((جبر خطی)) در نتیجه مطلعه روی ضرایب سیستم معادلات خطی و الگوها و روشهای حل آنها بوجود آمد. __لایب نیتس__ به عنوان یکی از پایه گذاران علم حسابان در سال 1693، دترمینان ماتریسها را معرفی کرد. |
| | در ادامه __کرامر__ روش خود را برای حل دستگاه معادلات خطی بر اساس دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه معرفی کرد. این روش که به روش کرامر مرسوم است، بر اساس استفاده صریح از دترمینان ماتریس ضرایب معرفی گردیده است. در مقابل اولین استفاده ضمنی از ماتریسها توسط ((لاگرانژ)) برای تعیین ماکزیمم و مینیمم ((توابع چند مقداری)) مورد استفاده قرار گرفت. در ادامه ((گاوس)) روش حذفی خود را برای حل مسائل کمترین مربعات که کاربردهای بسیار وسیعی در ((علم ستاره شناسی|علوم سماوی)) و ((ژئودوزی)) دارد را معرفی کرد. | | در ادامه __کرامر__ روش خود را برای حل دستگاه معادلات خطی بر اساس دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه معرفی کرد. این روش که به روش کرامر مرسوم است، بر اساس استفاده صریح از دترمینان ماتریس ضرایب معرفی گردیده است. در مقابل اولین استفاده ضمنی از ماتریسها توسط ((لاگرانژ)) برای تعیین ماکزیمم و مینیمم ((توابع چند مقداری)) مورد استفاده قرار گرفت. در ادامه ((گاوس)) روش حذفی خود را برای حل مسائل کمترین مربعات که کاربردهای بسیار وسیعی در ((علم ستاره شناسی|علوم سماوی)) و ((ژئودوزی)) دارد را معرفی کرد. |
| | --- | | --- |
| | !روابط بین ماتریسها | | !روابط بین ماتریسها |
| | !!تساوی دو ماتریس | | !!تساوی دو ماتریس |
| | دو ماتریس {TEX()} {A={[a_{ij}]_{m \times n}} {TEX} و{TEX()} {B={[b_{ij}]_{p \times q}} {TEX} مساوی اند اگر و فقط اگر {TEX()} {m=p , n=q} {TEX}(هم مرتبه باشند) و{TEX()} {a_{ij}=b_{ij}} {TEX} | | دو ماتریس {TEX()} {A={[a_{ij}]_{m \times n}} {TEX} و{TEX()} {B={[b_{ij}]_{p \times q}} {TEX} مساوی اند اگر و فقط اگر {TEX()} {m=p , n=q} {TEX}(هم مرتبه باشند) و{TEX()} {a_{ij}=b_{ij}} {TEX} |
| | !!جمع دو ماتریس | | !!جمع دو ماتریس |
| | اگر{TEX()} {A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} و{TEX()} {{B={[b_{ij}]}_{m \times n} {TEX} آنگاه {TEX()} {{A+B={[a_{ij}+b_{ij}]}_{m \times n} {TEX} | | اگر{TEX()} {A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} و{TEX()} {{B={[b_{ij}]}_{m \times n} {TEX} آنگاه {TEX()} {{A+B={[a_{ij}+b_{ij}]}_{m \times n} {TEX} |
| | !!قرینه ماتریس | | !!قرینه ماتریس |
| | اگر {TEX()} {{A={[a_{ij}]}_{m \times n} {TEX} آنگاه قرینه {TEX()} {A} {TEX} را بصورت زیر تعریف می‌کنیم: | | اگر {TEX()} {{A={[a_{ij}]}_{m \times n} {TEX} آنگاه قرینه {TEX()} {A} {TEX} را بصورت زیر تعریف می‌کنیم: |
| | @@ {TEX()} {{-A={[-a_{ij}]}_{m \times n} {TEX}@@ | | @@ {TEX()} {{-A={[-a_{ij}]}_{m \times n} {TEX}@@ |
| | !!ضرب اسکالر در ماتریس | | !!ضرب اسکالر در ماتریس |
| | اگر {TEX()} {A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} و{TEX()} {\alpha} {TEX} یک اسکالر باشد آنگاه{TEX()} {\alpha A={[\alpha a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} | | اگر {TEX()} {A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} و{TEX()} {\alpha} {TEX} یک اسکالر باشد آنگاه{TEX()} {\alpha A={[\alpha a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} |
| | در ضرب اسکالر یک عدد در یک ماتریس ضرب می‌شود. در این نوع ضرب تمامی عناصر ماتریس در آن عدد ضرب می‌شوند به عنوان مثال: | | در ضرب اسکالر یک عدد در یک ماتریس ضرب می‌شود. در این نوع ضرب تمامی عناصر ماتریس در آن عدد ضرب می‌شوند به عنوان مثال: |
| | و نمایش ریاضی آن به صورت زیر می باشد: | | و نمایش ریاضی آن به صورت زیر می باشد: |
| | ::~~green:__ cA)ij = c(A)ij)__~~:: | | ::~~green:__ cA)ij = c(A)ij)__~~:: |
| | !!ضرب ماتریسها | | !!ضرب ماتریسها |
| | اگر {TEX()} {A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} و {TEX()} {B={[b_{ij}]}_{n \times p}} {TEX} آنگاه ضرب دو ماتریس را با علامت {TEX()} {AB} {TEX} نمایش داده و بصورت زیر تعریف خواهیم کرد: | | اگر {TEX()} {A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} و {TEX()} {B={[b_{ij}]}_{n \times p}} {TEX} آنگاه ضرب دو ماتریس را با علامت {TEX()} {AB} {TEX} نمایش داده و بصورت زیر تعریف خواهیم کرد: |
| | @@{TEX()} {AB={[c_{ij}]_{m \times p} \ ; \ c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {AB={[c_{ij}]_{m \times p} \ ; \ c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}} {TEX}@@ |
| | در این نوع هر دو ضرب شونده و ضرب کننده از نوع ماتریس می‌باشند. بطور مشابه ضرب دو ماتریس نیز باید یک جنبه خوش تعریفی داشته باشد. ضرب دو ماتریس داده شده A و B زمانی خوش تعریف است که تعداد ستونهای ماتریس ضرب کننده با تعداد سطرهای ماتریس ضرب شونده برابر باشند. بر این ضرب دو ماتریس که شرایط قابل ضرب بودن را داشته باشند به صورت زیر بیان می‌شود: | | در این نوع هر دو ضرب شونده و ضرب کننده از نوع ماتریس می‌باشند. بطور مشابه ضرب دو ماتریس نیز باید یک جنبه خوش تعریفی داشته باشد. ضرب دو ماتریس داده شده A و B زمانی خوش تعریف است که تعداد ستونهای ماتریس ضرب کننده با تعداد سطرهای ماتریس ضرب شونده برابر باشند. بر این ضرب دو ماتریس که شرایط قابل ضرب بودن را داشته باشند به صورت زیر بیان می‌شود: |
| | برای بدست آوردن عنصر روی سطر iام و ستون y ام ماتریس خاصل ضرب عناصر روی سطر iام ماتریس ضرب کننده و عناصر روی ستون j ام ماتریس ضرب شونده را در نظر گرفته و آنها در هم ضرب و جمع می کنیم. به صورت ریاضی حاصلضرب دو ماتریس بصورت زیر نمایش داده می شود: | | برای بدست آوردن عنصر روی سطر iام و ستون y ام ماتریس خاصل ضرب عناصر روی سطر iام ماتریس ضرب کننده و عناصر روی ستون j ام ماتریس ضرب شونده را در نظر گرفته و آنها در هم ضرب و جمع می کنیم. به صورت ریاضی حاصلضرب دو ماتریس بصورت زیر نمایش داده می شود: |
| | ::~~green:__A × B)ij = (A)i1(B)1j + (A)i2(B)2j + ... + (A)in(B)nj)__~~:: | | ::~~green:__A × B)ij = (A)i1(B)1j + (A)i2(B)2j + ... + (A)in(B)nj)__~~:: |
| | بطور ساده‌تر می‌توان ماتریس ضرب کننده را به صورت مجموعه ای از بردارهای نظری و ماتریس ضرب شونده را به صورت مجموعه‌ای بردارهای ستونی در نظر گرفت. | | بطور ساده‌تر می‌توان ماتریس ضرب کننده را به صورت مجموعه ای از بردارهای نظری و ماتریس ضرب شونده را به صورت مجموعه‌ای بردارهای ستونی در نظر گرفت. |
| | --- | | --- |
| | !انواع ماتریس | | !انواع ماتریس |
| | !!ماتریس صفر | | !!ماتریس صفر |
| | ماتریسی که تمام درایه های آن صفر باشد را ماتریس صفر نامیده و ماتریس صفر از مرتبه {TEX()} {m \times n} {TEX} را با نماد {TEX()} {O_{m \times n}} {TEX} نمایش می‌دهیم و داریم {TEX()} {O_{m \times n}={[0]}_{m \times n}} {TEX} | | ماتریسی که تمام درایه های آن صفر باشد را ماتریس صفر نامیده و ماتریس صفر از مرتبه {TEX()} {m \times n} {TEX} را با نماد {TEX()} {O_{m \times n}} {TEX} نمایش می‌دهیم و داریم {TEX()} {O_{m \times n}={[0]}_{m \times n}} {TEX} |
| | !!ماتریس همانی | | !!ماتریس همانی |
| | ماتریس مربع {TEX()} {I_n} {TEX} از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} را همانی گوییم هرگاه{TEX()} {a_{ii}=1} {TEX} وبه ازای هر {TEX()} {i \neq j} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {a_{ij}=0} {TEX} | | ماتریس مربع {TEX()} {I_n} {TEX} از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} را همانی گوییم هرگاه{TEX()} {a_{ii}=1} {TEX} وبه ازای هر {TEX()} {i \neq j} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {a_{ij}=0} {TEX} |
| | !!ماتریس اسکالر | | !!ماتریس اسکالر |
| | اگر {TEX()} {\alpha} {TEX} یک اسکالر و {TEX()} {I_n} {TEX} ماتریس همانی از مرتبه{TEX()} {n} {TEX} باشد آنگاه {TEX()} {\alpha I_n} {TEX} را ماتریس اسکالر می‌نامیم. | | اگر {TEX()} {\alpha} {TEX} یک اسکالر و {TEX()} {I_n} {TEX} ماتریس همانی از مرتبه{TEX()} {n} {TEX} باشد آنگاه {TEX()} {\alpha I_n} {TEX} را ماتریس اسکالر می‌نامیم. |
| | !!ماتریس وارون پذیر | | !!ماتریس وارون پذیر |
| | ماتریس مربع {TEX()} {A_{n \times n}} {TEX} را وارون پذیر می‌نامیم هرگاه ماتریس مربع {TEX()} {B_{n \times n}} {TEX} یافت شود به طوری که {TEX()} {AB=BA=I_n} {TEX} .دراین صورت {TEX()} {B} {TEX} را وارون {TEX()} {A} {TEX} می‌نامیم. | | ماتریس مربع {TEX()} {A_{n \times n}} {TEX} را وارون پذیر می‌نامیم هرگاه ماتریس مربع {TEX()} {B_{n \times n}} {TEX} یافت شود به طوری که {TEX()} {AB=BA=I_n} {TEX} .دراین صورت {TEX()} {B} {TEX} را وارون {TEX()} {A} {TEX} می‌نامیم. |
| | !!ماتریس قطری | | !!ماتریس قطری |
| | ماتریس مربعی {TEX()} {A} {TEX} را قطری نامیم هرگاه عناصر روی قطر اصلی همگی غیر صفر باشند و عناصر غیر از قطر اصلی صفر باشند. | | ماتریس مربعی {TEX()} {A} {TEX} را قطری نامیم هرگاه عناصر روی قطر اصلی همگی غیر صفر باشند و عناصر غیر از قطر اصلی صفر باشند. |
| | --- | | --- |
| | !چند خاصیت از ماتریس ها | | !چند خاصیت از ماتریس ها |
| | اگر{TEX()} {C,B,A} {TEX} سه ماتریس {TEX()} {m \times n} {TEX} و{TEX()} {\beta , \alpha} {TEX} دو اسکالر باشند آنگاه: | | اگر{TEX()} {C,B,A} {TEX} سه ماتریس {TEX()} {m \times n} {TEX} و{TEX()} {\beta , \alpha} {TEX} دو اسکالر باشند آنگاه: |
| | @@{TEX()} {A+B=B+A} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {A+B=B+A} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {A+(B+C)=(A+B)+C} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {A+(B+C)=(A+B)+C} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {A+O_{m \times n}=A} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {A+O_{m \times n}=A} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {A+(-A)=O_{m \times n}} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {A+(-A)=O_{m \times n}} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {(\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {(\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A)} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B}{TEX}@@ | | @@{TEX()} {\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B}{TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {\alpha(\beta A)=(\alpha \beta)A} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\alpha(\beta A)=(\alpha \beta)A} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {1.A=A} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {1.A=A} {TEX}@@ |
| | اگر {TEX()} {C={[c_{ij}]}_{p \times q},B={[b_{ij}]}_{n \times p},A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} آنگاه {TEX()} {A(BC)=(AB)C} {TEX} | | اگر {TEX()} {C={[c_{ij}]}_{p \times q},B={[b_{ij}]}_{n \times p},A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} آنگاه {TEX()} {A(BC)=(AB)C} {TEX} |
| | اگر {TEX()} {C={[c_{ij}]}_{n \times p},B={[b_{ij}]}_{n \times p},A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} آنگاه {TEX()} {A(B+C)=AB+AC} {TEX} | | اگر {TEX()} {C={[c_{ij}]}_{n \times p},B={[b_{ij}]}_{n \times p},A={[a_{ij}]}_{m \times n}} {TEX} آنگاه {TEX()} {A(B+C)=AB+AC} {TEX} |
| | اگر {TEX()} {A={[a_{ij}]}_{n \times n}} {TEX} انگاه {TEX()} {AI_n=I_nA=A} {TEX} | | اگر {TEX()} {A={[a_{ij}]}_{n \times n}} {TEX} انگاه {TEX()} {AI_n=I_nA=A} {TEX} |
| | در حالت کلی ضرب ماتریسها خاصیت جابجایی ندارد.(حتی اگر {TEX()} {BA,AB} {TEX} تعریف شده باشند و این در حالتی ممکن است که{TEX()} {B,A} {TEX} دو مربع هم مرتبه باشند.) | | در حالت کلی ضرب ماتریسها خاصیت جابجایی ندارد.(حتی اگر {TEX()} {BA,AB} {TEX} تعریف شده باشند و این در حالتی ممکن است که{TEX()} {B,A} {TEX} دو مربع هم مرتبه باشند.) |
| | --- | | --- |
| | !همچنین ببینید | | !همچنین ببینید |
| - | *((دترمینان)) |
+ | *((انواع ماتریسها))
*((دترمینان ماتریس)) |
| | *((فضای برداری)) | | *((فضای برداری)) |
| - |
#@^ |
+ | #@^ |
