تاریخچه ی:
قضیه لاگرانژ
قضیه لاگرانژ:
اگر{TEX()} {G} {TEX} یک گروه متناهی و {TEX()} {|G|=n} {TEX} باشد و {TEX()} {H \le G} {TEX} که {TEX()} {|H|=m} {TEX} آنگاه {TEX()} {m|n} {TEX}.
اثبات:
می دانیم تعداد اعضای همدسته های چپ زیرگروه {TEX()} {H} {TEX} ، با یکدیگر برابر است. یعنی :
{TEX()} {\forall g \in G : |gH|=|H|} {TEX}
همچنین می دانیم گروه {TEX()} {G} {TEX} توسط همدسته های دو به دو متمایز {TEX()} {H} {TEX} ، افراز میشود ، لذا:
{TEX()} {G= \bigcup_{\forall g\in G}gH} {TEX}
با توجه به اینکه {TEX()} {|G|=n < \infty } {TEX} ؛ پس تعداد متناهی همدسته چپ {TEX()} { H} {TEX} ، مثلاً {TEX()} {k} {TEX} تا وجود دارند که :
{TEX()} { G= \bigcup_{i=1}^{k}g_iH \Rightarrow | G|= |\bigcup_{i=1}^{k}g_iH| \Rightarrow G=g_1H \cup g_2H \cup \ldots \cup g_kH } {TEX}
بطوریکه اشتراک {TEX()} {g_iH} {TEX} ها {TEX()} {\varnothing} {TEX} است
بنابراین:
{TEX()} {|G|=|g_1H|+|g_2H|+ \ldots +|g_kH| \Rightarrow |G|=km \Rightarrow n=km \Rightarrow m|n} {TEX}
شاخص:
عدد {TEX()} {k} {TEX} که در قضیه لاگرانژ مطرح شد، تعداد همدسته های چپ متمایز {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را معرفی می نماید . {TEX()} {k} {TEX} را اندیس (شاخص یا نشان ) {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} می نامند و آن را با نماد {TEX()} {[G : H]} {TEX} نمایش میدهند.
لازم به ذکر است که این تعریف برای همدسته های راست متمایز نیز درست است.
نتیجه:
1 . اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه {TEX()} {|G|=[G : H] \cdot |H|} {TEX}
2 . مرتبه هر عضو گروه متناهی {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {x} {TEX}، مرتبه {TEX()} {G} {TEX} را عاد میکند. یعنی {TEX()} {o(x)| |G|} {TEX}
3 . هر گاه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، بطوریکه {TEX()} {|G|=p} {TEX} و{TEX()} {p} {TEX} عددی اول باشد ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه دوری است و زیرگروه محض نا بدیهی ندارد. (تنها زیرگروه محض آن ، تولید شده توسط عنصر خنثی ، یعنی {TEX()} {{e}} {TEX} است)
نکته :
عکس قضیه لاگرانژ همواره درست نیست.
قضیه :
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {K,H \le G} {TEX} باشند ، بطوریکه {TEX()} {H \subseteq K} {TEX} و همچنین {TEX()} {[G : K] , [K : H]} {TEX} متناهی باشند ، آنگاه {TEX()} {[G : H]} {TEX} متناهی است و داریم :
{TEX()} {[G : H]=[G : K][K : H]} {TEX}
اثبات:
فرض می کنیم {TEX()} {[G : K]=m , [K : H]=n} {TEX}باشند. آنگاه تعداد همدسته های راست متمایز {TEX()} {K} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX}برابر {TEX()} {m} {TEX} و تعداد همدسته های راست متمایز {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {K} {TEX} نیز برابر {TEX()} {n} {TEX} است.
فرض می کنیم {TEX()} {G= \bigcup_{i=1}^{m} Kb_i , K= \bigcup_{i=1}^{n}Ha_i } {TEX} بطوریکه {TEX()} {Ha_i} {TEX} ها دو به دو و {TEX()} {Kb_i} {TEX} ها نیز دوبه دو متمایزند. بنابراین :
{TEX()} {G=\bigcup_{i=1}^{m}(\bigcup_{j=1}^{n}Ha_j)b_i = \bigcup_{i=1}^{m}\bigcup_{j=1}^{n}Ha_jb_i} {TEX}
با توجه به اینکه {TEX()} {a_j , b_i \in G} {TEX} ، بنابراین {TEX()} {a_jb_i \in G} {TEX} و {TEX()} {Ha_jb_i} {TEX} همدسته راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX}است . از اینکه حداکثر تغییرات {TEX()} {i,j} {TEX} به ترتیب {TEX()} {n,m} {TEX} است ، لذا تعداد همدسته های {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} حداکثر {TEX()} {mn} {TEX} تا است . بنابراین :
{TEX()} {[G : H] < \infty} {TEX}
اکنون ثابت میکنیم تعداد همدسته های راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} ، دقیقاً {TEX()} {mn} {TEX} تا است :
جهت این کار کافیست نشان دهیم {TEX()} {Ha_jb_i} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} با یکدیگر متمایزند:
فرض می کنیم {TEX()} {Ha_jb_i=Ha_sb_t} {TEX}. و می دانیم {TEX()} {Ha_j , Ha_s \subseteq K } {TEX} ، بنابراین {TEX()} {Ha_jb_i , Ha_sb_t \subseteq Kb_i} {TEX} ، در نتیجه:
{TEX()} {Kb_i \cap Kb_t \neq \varnothing} {TEX}
لذا خواهیم داشت :
{TEX()} {Kb_i=Kb_t \Rightarrow b_i=b_t} {TEX}
زیرا {TEX()} {Kb_i , Kb_t} {TEX} همدسته های راست متمایز در {TEX()} {G} {TEX} می باشند .
از {TEX()} {Ha_jb_i=Ha_sb_t} {TEX} هم نتیجه میشود {TEX()} {Ha_j=Ha_s} {TEX} ، همچنین متمایز بودن همدسته های راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {K} {TEX} نتیجه می دهد {TEX()} {a_j=a_s} {TEX}
لذا همدسته های راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} متمایزند . بنابراین تعداد آنها دقیقاً {TEX()} {mn} {TEX} تا است. یعنی :
{TEX()} {[G : H]=[G : K][K : H]} {TEX}