منو
 کاربر Online
593 کاربر online
تاریخچه ی: قضیه لاگرانژ

نگارش: 3

قضیه لاگرانژ:
اگر یک گروه متناهی و باشد و که آنگاه .
اثبات:
می دانیم تعداد اعضای همدسته های چپ زیرگروه ، با یکدیگر برابر است. یعنی :

همچنین می دانیم گروه توسط همدسته های دو به دو متمایز ، افراز میشود ، لذا:

با توجه به اینکه ؛ پس تعداد متناهی همدسته چپ ، مثلاً تا وجود دارند که :

بطوریکه اشتراک ها است
بنابراین:

شاخص:
عدد که در قضیه لاگرانژ مطرح شد، تعداد همدسته های چپ متمایز در را معرفی می نماید . را اندیس (شاخص یا نشان ) در می نامند و آن را با نماد نمایش میدهند.
لازم به ذکر است که این تعریف برای همدسته های راست متمایز نیز درست است.
نتیجه:
1 . اگر و گروه متناهی باشد ، آنگاه
2 . مرتبه هر عضو گروه متناهی ، مانند ، مرتبه را عاد میکند. یعنی
3 . هر گاه گروه متناهی باشد ، بطوریکه و عددی اول باشد ، آنگاه یک گروه دوری است و زیرگروه محض نا بدیهی ندارد. (تنها زیرگروه محض آن ، تولید شده توسط عنصر خنثی ، یعنی است)
نکته :
عکس قضیه لاگرانژ همواره درست نیست.
قضیه :
اگر یک گروه و باشند ، بطوریکه و همچنین متناهی باشند ، آنگاه متناهی است و داریم :

اثبات:
فرض می کنیم باشند. آنگاه تعداد همدسته های راست متمایز در برابر و تعداد همدسته های راست متمایز در نیز برابر است.
فرض می کنیم بطوریکه ها دو به دو و ها نیز دوبه دو متمایزند. بنابراین :

با توجه به اینکه ، بنابراین و همدسته راست در است . از اینکه حداکثر تغییرات به ترتیب است ، لذا تعداد همدسته های در حداکثر تا است . بنابراین :

اکنون ثابت میکنیم تعداد همدسته های راست در ، دقیقاً تا است :
جهت این کار کافیست نشان دهیم در با یکدیگر متمایزند:
فرض می کنیم . و می دانیم ، بنابراین ، در نتیجه:

لذا خواهیم داشت :

زیرا همدسته های راست متمایز در می باشند .
از هم نتیجه میشود ، همچنین متمایز بودن همدسته های راست در نتیجه می دهد
لذا همدسته های راست در متمایزند . بنابراین تعداد آنها دقیقاً تا است. یعنی :




تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 شنبه 02 اردیبهشت 1385 [03:56 ]   4   زینب معزی      جاری 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [05:34 ]   3   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:54 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:34 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..