قضیه لاگرانژ:
اگر
یک گروه متناهی و
باشد و
که
آنگاه
.
اثبات:
می دانیم تعداد اعضای همدسته های چپ زیرگروه
، با یکدیگر برابر است. یعنی :
همچنین می دانیم گروه
توسط همدسته های دو به دو متمایز
، افراز میشود ، لذا:
با توجه به اینکه
؛ پس تعداد متناهی همدسته چپ
، مثلاً
تا وجود دارند که :
بطوریکه اشتراک
ها
است
بنابراین:
شاخص:
عدد
که در قضیه لاگرانژ مطرح شد، تعداد همدسته های چپ متمایز
در
را معرفی می نماید .
را اندیس (شاخص یا نشان )
در
می نامند و آن را با نماد
نمایش میدهند.
لازم به ذکر است که این تعریف برای همدسته های راست متمایز نیز درست است.
نتیجه:
1 . اگر
و
گروه متناهی باشد ، آنگاه
2 . مرتبه هر عضو گروه متناهی
، مانند
، مرتبه
را عاد میکند. یعنی
3 . هر گاه
گروه متناهی باشد ، بطوریکه
و
عددی اول باشد ، آنگاه
یک گروه دوری است و زیرگروه محض نا بدیهی ندارد. (تنها زیرگروه محض آن ، تولید شده توسط عنصر خنثی ، یعنی
است)
نکته :
عکس قضیه لاگرانژ همواره درست نیست.
قضیه :
اگر
یک گروه و
باشند ، بطوریکه
و همچنین
متناهی باشند ، آنگاه
متناهی است و داریم :
اثبات:
فرض می کنیم
باشند. آنگاه تعداد همدسته های راست متمایز
در
برابر
و تعداد همدسته های راست متمایز
در
نیز برابر
است.
فرض می کنیم
بطوریکه
ها دو به دو و
ها نیز دوبه دو متمایزند. بنابراین :
با توجه به اینکه
، بنابراین
و
همدسته راست
در
است . از اینکه حداکثر تغییرات
به ترتیب
است ، لذا تعداد همدسته های
در
حداکثر
تا است . بنابراین :
اکنون ثابت میکنیم تعداد همدسته های راست
در
، دقیقاً
تا است :
جهت این کار کافیست نشان دهیم
در
با یکدیگر متمایزند:
فرض می کنیم
. و می دانیم
، بنابراین
، در نتیجه:
لذا خواهیم داشت :
زیرا
همدسته های راست متمایز در
می باشند .
از
هم نتیجه میشود
، همچنین متمایز بودن همدسته های راست
در
نتیجه می دهد
لذا همدسته های راست
در
متمایزند . بنابراین تعداد آنها دقیقاً
تا است. یعنی :