منو
 کاربر Online
1007 کاربر online
تاریخچه ی: قضیه لاگرانژ

تفاوت با نگارش: 3

Lines: 1-41Lines: 1-55
-قضیه لاگرانژ:
اگر{TEX()} {G} {TEX} یک گروه متناهی و {TEX()} {|G|=n} {TEX} باشد و {TEX()} {H \le G} {TEX} که {TEX()} {|H|=m} {TEX} آنگاه {TEX()} {m|n} {TEX}.
اثبات:
می دانیم تعداد اعضای همدسته های چپ زیرگروه {TEX()} {H} {TEX} ، با یکدیگر برابر است. یعنی :
{TEX()} {\forall g \in G : |gH|=|H|} {TEX}
همچنین می دانیم گروه {TEX()} {G} {TEX} توسط همدسته های دو به دو متمایز {TEX()} {H} {TEX} ، افراز میشود ، لذا:
{TEX()} {G= \bigcup_{\forall g\in G}gH} {TEX}
+||V{maketoc}||

^@#16:
!
قضیه لاگرانژ.
اگر{TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) متناهی و {TEX()} {|G|=n} {TEX} باشد و {TEX()} {H \le G} {TEX} که {TEX()} {|H|=m} {TEX} آنگاه {TEX()} {m|n} {TEX}.

__
اثبات:__
می دانیم تعداد اعضای ((گروه همدسته‌ها|همدسته‌های چپ)) زیرگروه {TEX()} {H} {TEX} ، با یکدیگر برابر است. یعنی :
@@{TEX()} {\forall g \in G : |gH|=|H|} {TEX}@@
همچنین میدانیم گروه {TEX()} {G} {TEX} توسط همدستههای دو به دو متمایز {TEX()} {H} {TEX} ، افراز میشود ، لذا:
@@{TEX()} {G= \bigcup_{\forall g\in G}gH} {TEX}@@
 با توجه به اینکه {TEX()} {|G|=n < \infty } {TEX} ؛ پس تعداد متناهی همدسته چپ {TEX()} { H} {TEX} ، مثلاً {TEX()} {k} {TEX} تا وجود دارند که : با توجه به اینکه {TEX()} {|G|=n < \infty } {TEX} ؛ پس تعداد متناهی همدسته چپ {TEX()} { H} {TEX} ، مثلاً {TEX()} {k} {TEX} تا وجود دارند که :
-{TEX()} { G= \bigcup_{i=1}^{k}g_iH \Rightarrow | G|= |\bigcup_{i=1}^{k}g_iH| \Rightarrow G=g_1H \cup g_2H \cup \ldots \cup g_kH } {TEX}
بطوریکه اشتراک {TEX()} {g_iH} {TEX} ها است
+@@{TEX()} { G= \bigcup_{i=1}^{k}g_iH \Rightarrow | G|= |\bigcup_{i=1}^{k}g_iH| \Rightarrow G=g_1H \cup g_2H \cup \ldots \cup g_kH } {TEX}@@
بطوریکه اشتراک {TEX()} {g_iH} {TEX} ها{TEX()} {\emptyset} {TEX} است
 بنابراین: بنابراین:
-{TEX()} {|G|=|g_1H|+|g_2H|+ \ldots +|g_kH| \Rightarrow |G|=km \Rightarrow n=km \Rightarrow m|n} {TEX}
شاخص:
عدد {TEX()} {k} {TEX} که در قضیه لاگرانژ مطرح شد، تعداد همدسته های چپ متمایز {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را معرفی می نماید . {TEX()} {k} {TEX} را اندیس (شاخص یا نشان ) {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} می نامند و آن را با نماد {TEX()} {[G : H]} {TEX} نمایش میدهند.
لازم به ذکر است که این تعریف برای همدسته های راست متمایز نیز درست است.
نتیجه:
1 . اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه {TEX()} {|G|=[G : H] \cdot |H|} {TEX}
2 . مرتبه هر عضو گروه متناهی {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {x} {TEX}، مرتبه {TEX()} {G} {TEX} را عاد میکند. یعنی {TEX()} {o(x)| |G|} {TEX}
3 . هر گاه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، بطوریکه {TEX()} {|G|=p} {TEX} و{TEX()} {p} {TEX} عددی اول باشد ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه دوری است و زیرگروه محض نا بدیهی ندارد. (تنها زیرگروه محض آن ، تولید شده توسط عنصر خنثی ، یعنی {TEX()} {{e}} {TEX} است)
نکته :
+@@{TEX()} {|G|=|g_1H|+|g_2H|+ \ldots +|g_kH| \Rightarrow |G|=km \Rightarrow n=km \Rightarrow m|n} {TEX}@@

!!
شاخص.
عدد {TEX()} {k} {TEX} که در قضیه لاگرانژ مطرح شد، تعداد همدسته های چپ متمایز {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را معرفی مینماید . {TEX()} {k} {TEX} را اندیس (شاخص یا نشان ) {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} مینامند و آن را با نماد {TEX()} {[G : H]} {TEX} نمایش مدهند.
لازم به ذکر است که این تعریف برای ((گروه همدسته‌ها|همدسته‌های راست)) متمایز نیز درست است.

!!
نتیجه.
# اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه {TEX()} {|G|=[G : H] \cdot |H|} {TEX}
# مرتبه هر عضو گروه متناهی {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {x} {TEX}، مرتبه {TEX()} {G} {TEX} را عاد میکند. یعنی {TEX()} {o(x)| |G|} {TEX}
# هر گاه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، بطوریکه {TEX()} {|G|=p} {TEX} و{TEX()} {p} {TEX} عددی اول باشد ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه دوری)) است و ((زیرگروه|زیرگروه محض نابدیهی)) ندارد. (تنها ((زیرگروه|زیرگروه محض ))آن ، تولید شده توسط عنصر خنثی ، یعنی {TEX()} {\{e\}} {TEX} است)
!!نکته.
  عکس قضیه لاگرانژ همواره درست نیست.  عکس قضیه لاگرانژ همواره درست نیست.
-قضیه : +---
!
قضیه .
 اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {K,H \le G} {TEX} باشند ، بطوریکه {TEX()} {H \subseteq K} {TEX} و همچنین {TEX()} {[G : K] , [K : H]} {TEX} متناهی باشند ، آنگاه {TEX()} {[G : H]} {TEX} متناهی است و داریم : اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {K,H \le G} {TEX} باشند ، بطوریکه {TEX()} {H \subseteq K} {TEX} و همچنین {TEX()} {[G : K] , [K : H]} {TEX} متناهی باشند ، آنگاه {TEX()} {[G : H]} {TEX} متناهی است و داریم :
- {TEX()} {[G : H]=[G : K][K : H]} {TEX}
اثبات:
فرض می کنیم {TEX()} {[G : K]=m , [K : H]=n} {TEX}باشند. آنگاه تعداد همدسته های راست متمایز {TEX()} {K} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX}برابر {TEX()} {m} {TEX} و تعداد همدسته های راست متمایز {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {K} {TEX} نیز برابر {TEX()} {n} {TEX} است.
فرض می کنیم {TEX()} {G= \bigcup_{i=1}^{m} Kb_i , K= \bigcup_{i=1}^{n}Ha_i } {TEX} بطوریکه {TEX()} {Ha_i} {TEX} ها دو به دو و {TEX()} {Kb_i} {TEX} ها نیز دوبه دو متمایزند. بنابراین :
{TEX()} {G=\bigcup_{i=1}^{m}(\bigcup_{j=1}^{n}Ha_j)b_i = \bigcup_{i=1}^{m}\bigcup_{j=1}^{n}Ha_jb_i} {TEX}
+@@ {TEX()} {[G : H]=[G : K][K : H]} {TEX}@@

__
اثبات:__
فرض میکنیم {TEX()} {[G : K]=m , [K : H]=n} {TEX}باشند. آنگاه تعداد همدسته های راست متمایز {TEX()} {K} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX}برابر {TEX()} {m} {TEX} و تعداد همدسته های راست متمایز {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {K} {TEX} نیز برابر {TEX()} {n} {TEX} است.
فرض میکنیم {TEX()} {G= \bigcup_{i=1}^{m} Kb_i , K= \bigcup_{i=1}^{n}Ha_i } {TEX} بطوریکه {TEX()} {Ha_i} {TEX} ها دو به دو و {TEX()} {Kb_i} {TEX} ها نیز دوبه دو متمایزند. بنابراین :
@@{TEX()} {G=\bigcup_{i=1}^{m}(\bigcup_{j=1}^{n}Ha_j)b_i = \bigcup_{i=1}^{m}\bigcup_{j=1}^{n}Ha_jb_i} {TEX}@@
 با توجه به اینکه {TEX()} {a_j , b_i \in G} {TEX} ، بنابراین {TEX()} {a_jb_i \in G} {TEX} و {TEX()} {Ha_jb_i} {TEX} همدسته راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX}است . از اینکه حداکثر تغییرات {TEX()} {i,j} {TEX} به ترتیب {TEX()} {n,m} {TEX} است ، لذا تعداد همدسته های {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} حداکثر {TEX()} {mn} {TEX} تا است . بنابراین : با توجه به اینکه {TEX()} {a_j , b_i \in G} {TEX} ، بنابراین {TEX()} {a_jb_i \in G} {TEX} و {TEX()} {Ha_jb_i} {TEX} همدسته راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX}است . از اینکه حداکثر تغییرات {TEX()} {i,j} {TEX} به ترتیب {TEX()} {n,m} {TEX} است ، لذا تعداد همدسته های {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} حداکثر {TEX()} {mn} {TEX} تا است . بنابراین :
-{TEX()} {[G : H] < \infty} {TEX}
اکنون ثابت میکنیم تعداد همدسته های راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} ، دقیقاً {TEX()} {mn} {TEX} تا است :
+@@{TEX()} {[G : H] < \infty} {TEX}@@
اکنون ثابت مکنیم تعداد همدسته های راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} ، دقیقاً {TEX()} {mn} {TEX} تا است :
 جهت این کار کافیست نشان دهیم {TEX()} {Ha_jb_i} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} با یکدیگر متمایزند: جهت این کار کافیست نشان دهیم {TEX()} {Ha_jb_i} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} با یکدیگر متمایزند:
-فرض می کنیم {TEX()} {Ha_jb_i=Ha_sb_t} {TEX}. و می دانیم {TEX()} {Ha_j , Ha_s \subseteq K } {TEX} ، بنابراین {TEX()} {Ha_jb_i , Ha_sb_t \subseteq Kb_i} {TEX} ، در نتیجه:
{TEX()} {Kb_i \cap Kb_t \neq \varnothing} {TEX}
+فرض میکنیم {TEX()} {Ha_jb_i=Ha_sb_t} {TEX}. و میدانیم {TEX()} {Ha_j , Ha_s \subseteq K } {TEX} ، بنابراین {TEX()} {Ha_jb_i , Ha_sb_t \subseteq Kb_i} {TEX} ، در نتیجه:
@@{TEX()} {Kb_i \cap Kb_t \neq \varnothing} {TEX}@@
 لذا خواهیم داشت : لذا خواهیم داشت :
-{TEX()} {Kb_i=Kb_t \Rightarrow b_i=b_t} {TEX}
زیرا {TEX()} {Kb_i , Kb_t} {TEX} همدسته های راست متمایز در {TEX()} {G} {TEX} می باشند .
از {TEX()} {Ha_jb_i=Ha_sb_t} {TEX} هم نتیجه میشود {TEX()} {Ha_j=Ha_s} {TEX} ، همچنین متمایز بودن همدسته های راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {K} {TEX} نتیجه می دهد {TEX()} {a_j=a_s} {TEX}
+@@{TEX()} {Kb_i=Kb_t \Rightarrow b_i=b_t} {TEX}@@
زیرا {TEX()} {Kb_i , Kb_t} {TEX} همدسته های راست متمایز در {TEX()} {G} {TEX} میباشند .
از {TEX()} {Ha_jb_i=Ha_sb_t} {TEX} هم نتیجه مشود {TEX()} {Ha_j=Ha_s} {TEX} ، همچنین متمایز بودن همدسته های راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {K} {TEX} نتیجه میدهد {TEX()} {a_j=a_s} {TEX}
 لذا همدسته های راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} متمایزند . بنابراین تعداد آنها دقیقاً {TEX()} {mn} {TEX} تا است. یعنی : لذا همدسته های راست {TEX()} {H} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} متمایزند . بنابراین تعداد آنها دقیقاً {TEX()} {mn} {TEX} تا است. یعنی :
-{TEX()} {[G : H]=[G : K][K : H]} {TEX} +@@{TEX()} {[G : H]=[G : K][K : H]} {TEX}@@
---
!همچنین ببینید
*((زیرگروه خارج قسمتی|گروه خارج‌قسمتی))
*((گروه دوری))
*((گروه همدسته‌ها))
 +#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 شنبه 02 اردیبهشت 1385 [03:56 ]   4   زینب معزی      جاری 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [05:34 ]   3   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:54 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:34 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..