منو
 صفحه های تصادفی
رده بندی سنگهای آهکی
چین خوردگی
اپی سپال
ساختارگرایی اجتماعی
امر خداوند به دوستی حسنین
تثبیت دامنه‌های سنگی
اقدامات فرهنگی - گسترش عدالت
اسید سیتریک
مواد بین ستاره‌ای
استحباب نام جعفر و حمزه
 کاربر Online
892 کاربر online
تاریخچه ی: قضیه سوم یک‌ریختی گروه‌ها

||V{maketoc}||
::||@#16:فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} { K,H \triangleleft G , H \triangleleft K } {TEX} . در این صورت :{TEX()} {G/K \cong \frac{G/H}{K/H} , \frac{K}{H} \triangleleft \frac{G}{H}} {TEX}#@||::
^@#16:
!اثبات:
چون {TEX()} { K,H \triangleleft G } {TEX}می‌باشند ، لذا {TEX()} {G/H , G/K} {TEX} تعریف شده هستند و همچنین {TEX()} {K/H} {TEX} نیز تعریف شده است.
{TEX()} { f : G/H \rightarrow G/K } {TEX} را با ضابطه {TEX()} {f(gH)=gK} {TEX} در نظر می‌گیریم. ثابت می‌کنیم {TEX()} {f} {TEX} یک اپی‌مورفیسم است . که در این صورت با اثبات {TEX()} {ker f=K/H} {TEX} ، بنا به ((قضیه اول یکریختی گروه‌ها|قضیه اول یک‌ریختی گروه‌ها ))خواهیم داشت:
@@{TEX()} {\frac{G/H}{K/H} \cong G/K} {TEX}@@
اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوش‌تعریف)) است . چرا که:
@@{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : aH=bH \Rightarrow ab^{-1} \in H \subseteq K \Rightarrow ab^{-1} \in K \Rightarrow aK=bK \Rightarrow f(aH)=f(bH)} {TEX}@@
همچنین {TEX()} {f} {TEX} یک ((همریختی|هم‌ریختی)) است .زیرا :
@@{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : f(aH \cdot bH)=f(abH)=abK=aK \cdot bK=f(aH) \cdot f(bH)} {TEX}@@
اکنون به بررسی خاصیت پوشا بودن {TEX()} {f} {TEX} می‌پردازیم :
@@{TEX()} {\forall gK \in G/K : f(gH)=gK} {TEX}@@
بنابراین طبق قضیه اول ((یکریختی|یک‌ریختی)) گروه‌ها داریم:
@@{TEX()} {\frac{G/H}{ker f} \cong G/K} {TEX}@@
کافیست نشان دهیم {TEX()} {ker f=K/H} {TEX}
اما
@@{TEX()} {ker f=\{gH \in G/H | f(gH)=e_{G/K}\}=\{gH \in G/H | f(gH)=K\}=\{gH \in G/H |gK=K\}=\{gH \in G/H |g \in K\}=K/H } {TEX}@@
چون {TEX()} {ker f \triangleleft G/H } {TEX} است ، بنابراین {TEX()} {K/H \triangleleft G/H} {TEX}
---
!همچنین ببینید
* ((قضیه اول یکریختی گروه‌ها|قضیه اول یک‌ریختی گروه‌ها))
*((قضیه دوم یکریختی گروه‌ها|قضیه دوم یک‌ریختی گروه‌ها))
*((همریختی|قضیه اساسی هم‌ریختی گروه‌ها))
---
!پیوندهای خارجی
[http://mathworld.wolfram.com/ThirdGroupIsomorphismTheorem.html]
#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [11:16 ]   4   علی هادی      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [08:53 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [08:42 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [08:32 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..