||V{maketoc}||
^@#16:
||@#16:فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} { K,H \triangleleft G , H \triangleleft K } {TEX} . در این صورت :
@@{TEX()} {G/K \cong \frac{G/H}{K/H} , \frac{K}{H} \triangleleft \frac{G}{H}} {TEX}@@#@||

__اثبات:__
چون {TEX()} { K,H \triangleleft G } {TEX}می‌باشند ، لذا {TEX()} {G/H , G/K} {TEX} تعریف شده هستند و همچنین {TEX()} {K/H} {TEX} نیز تعریف شده است.
{TEX()} { f : G/H \rightarrow G/K } {TEX} را با ضابطه {TEX()} {f(gH)=gK} {TEX} در نظر می‌گیریم. ثابت می‌کنیم {TEX()} {f} {TEX} یک اپی‌مورفیسم است . که در این صورت با اثبات {TEX()} {ker f=K/H} {TEX} ، بنا به ((قضیه اول یکریختی گروه‌ها|قضیه اول یک‌ریختی گروه‌ها ))خواهیم داشت:
@@{TEX()} {\frac{G/H}{K/H} \cong G/K} {TEX}@@
اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوش‌تعریف)) است . چرا که:
@@{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : aH=bH \Rightarrow ab^{-1} \in H \subseteq K \Rightarrow ab^{-1} \in K \Rightarrow aK=bK \Rightarrow f(aH)=f(bH)} {TEX}@@
همچنین {TEX()} {f} {TEX} یک ((همریختی|هم‌ریختی)) است .زیرا :
@@{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : f(aH \cdot bH)=f(abH)=abK=aK \cdot bK=f(aH) \cdot f(bH)} {TEX}@@
اکنون به بررسی خاصیت پوشا بودن {TEX()} {f} {TEX} می‌پردازیم :
@@{TEX()} {\forall gK \in G/K : f(gH)=gK} {TEX}@@
بنابراین طبق قضیه اول ((یکریختی|یک‌ریختی)) گروه‌ها داریم:
@@{TEX()} {\frac{G/H}{ker f} \cong G/K} {TEX}@@
کافیست نشان دهیم {TEX()} {ker f=K/H} {TEX}
اما
@@{TEX()} {ker f=\{gH \in G/H | f(gH)=e_{G/K}\}=\{gH \in G/H | f(gH)=K\}=\{gH \in G/H |gK=K\}=\{gH \in G/H |g \in K\}=K/H } {TEX}@@
چون {TEX()} {ker f \triangleleft G/H } {TEX} است ، بنابراین {TEX()} {K/H \triangleleft G/H} {TEX}
---
!همچنین ببینید
* ((قضیه اول یکریختی گروه‌ها|قضیه اول یک‌ریختی گروه‌ها))
*((قضیه دوم یکریختی گروه‌ها|قضیه دوم یک‌ریختی گروه‌ها))
*((همریختی|قضیه اساسی هم‌ریختی گروه‌ها))


#@^