تاریخچه ی:
قضیه سوم یکریختی گروهها
تفاوت با نگارش: 3
| ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
| + | {DYNAMICMENU()} |
| + | __واژهنامه__ |
| + | *((واژگان جبر)) |
| + | __مقالات مرتبط__ |
| + | *((معادله)) |
| + | *((استقرا)) |
| + | *((اتحاد)) |
| + | *((تجزیه)) |
| + | *((ماتریس)) |
| + | *((گروه)) |
| + | *((حلقه)) |
| + | *((میدان)) |
| + | *((فضای برداری)) |
| + | __کتابهای مرتبط__ |
| + | *((کتابهای جبر)) |
| + | __[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__ |
| + | __سایتهای مرتبط__ |
| + | *سایتهای داخلی |
| + | **[http://www.tebyan.net/|تبیان] |
| + | **[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی] |
| + | *سایتهای خارجی |
| + | **[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش جبر] |
| + | **[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم جبری] |
| + | **[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|راهنمای مطالعه جبر] |
| + | **[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل جبری] |
| + | **[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع جبری] |
| + | __گالری تصویر__ |
| + | *[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم] |
| + | body= |
| + | |~| |
| + | {DYNAMICMENU} |
| ::||@#16:فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} { K,H \triangleleft G , H \triangleleft K } {TEX} . در این صورت :{TEX()} {G/K \cong \frac{G/H}{K/H} , \frac{K}{H} \triangleleft \frac{G}{H}} {TEX}#@||:: | | ::||@#16:فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} { K,H \triangleleft G , H \triangleleft K } {TEX} . در این صورت :{TEX()} {G/K \cong \frac{G/H}{K/H} , \frac{K}{H} \triangleleft \frac{G}{H}} {TEX}#@||:: |
| ^@#16: | | ^@#16: |
| !اثبات: | | !اثبات: |
| چون {TEX()} { K,H \triangleleft G } {TEX}میباشند ، لذا {TEX()} {G/H , G/K} {TEX} تعریف شده هستند و همچنین {TEX()} {K/H} {TEX} نیز تعریف شده است. | | چون {TEX()} { K,H \triangleleft G } {TEX}میباشند ، لذا {TEX()} {G/H , G/K} {TEX} تعریف شده هستند و همچنین {TEX()} {K/H} {TEX} نیز تعریف شده است. |
| {TEX()} { f : G/H \rightarrow G/K } {TEX} را با ضابطه {TEX()} {f(gH)=gK} {TEX} در نظر میگیریم. ثابت میکنیم {TEX()} {f} {TEX} یک اپیمورفیسم است . که در این صورت با اثبات {TEX()} {ker f=K/H} {TEX} ، بنا به ((قضیه اول یکریختی گروهها|قضیه اول یکریختی گروهها ))خواهیم داشت: | | {TEX()} { f : G/H \rightarrow G/K } {TEX} را با ضابطه {TEX()} {f(gH)=gK} {TEX} در نظر میگیریم. ثابت میکنیم {TEX()} {f} {TEX} یک اپیمورفیسم است . که در این صورت با اثبات {TEX()} {ker f=K/H} {TEX} ، بنا به ((قضیه اول یکریختی گروهها|قضیه اول یکریختی گروهها ))خواهیم داشت: |
| @@{TEX()} {\frac{G/H}{K/H} \cong G/K} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\frac{G/H}{K/H} \cong G/K} {TEX}@@ |
| اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوشتعریف)) است . چرا که: | | اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوشتعریف)) است . چرا که: |
| @@{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : aH=bH \Rightarrow ab^{-1} \in H \subseteq K \Rightarrow ab^{-1} \in K \Rightarrow aK=bK \Rightarrow f(aH)=f(bH)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : aH=bH \Rightarrow ab^{-1} \in H \subseteq K \Rightarrow ab^{-1} \in K \Rightarrow aK=bK \Rightarrow f(aH)=f(bH)} {TEX}@@ |
| همچنین {TEX()} {f} {TEX} یک ((همریختی|همریختی)) است .زیرا : | | همچنین {TEX()} {f} {TEX} یک ((همریختی|همریختی)) است .زیرا : |
| @@{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : f(aH \cdot bH)=f(abH)=abK=aK \cdot bK=f(aH) \cdot f(bH)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : f(aH \cdot bH)=f(abH)=abK=aK \cdot bK=f(aH) \cdot f(bH)} {TEX}@@ |
| اکنون به بررسی خاصیت پوشا بودن {TEX()} {f} {TEX} میپردازیم : | | اکنون به بررسی خاصیت پوشا بودن {TEX()} {f} {TEX} میپردازیم : |
| @@{TEX()} {\forall gK \in G/K : f(gH)=gK} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall gK \in G/K : f(gH)=gK} {TEX}@@ |
| بنابراین طبق قضیه اول ((یکریختی|یکریختی)) گروهها داریم: | | بنابراین طبق قضیه اول ((یکریختی|یکریختی)) گروهها داریم: |
| @@{TEX()} {\frac{G/H}{ker f} \cong G/K} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\frac{G/H}{ker f} \cong G/K} {TEX}@@ |
| کافیست نشان دهیم {TEX()} {ker f=K/H} {TEX} | | کافیست نشان دهیم {TEX()} {ker f=K/H} {TEX} |
| اما | | اما |
| @@{TEX()} {ker f=\{gH \in G/H | f(gH)=e_{G/K}\}=\{gH \in G/H | f(gH)=K\}=\{gH \in G/H |gK=K\}=\{gH \in G/H |g \in K\}=K/H } {TEX}@@ | | @@{TEX()} {ker f=\{gH \in G/H | f(gH)=e_{G/K}\}=\{gH \in G/H | f(gH)=K\}=\{gH \in G/H |gK=K\}=\{gH \in G/H |g \in K\}=K/H } {TEX}@@ |
| چون {TEX()} {ker f \triangleleft G/H } {TEX} است ، بنابراین {TEX()} {K/H \triangleleft G/H} {TEX} | | چون {TEX()} {ker f \triangleleft G/H } {TEX} است ، بنابراین {TEX()} {K/H \triangleleft G/H} {TEX} |
| --- | | --- |
| !همچنین ببینید | | !همچنین ببینید |
| * ((قضیه اول یکریختی گروهها|قضیه اول یکریختی گروهها)) | | * ((قضیه اول یکریختی گروهها|قضیه اول یکریختی گروهها)) |
| *((قضیه دوم یکریختی گروهها|قضیه دوم یکریختی گروهها)) | | *((قضیه دوم یکریختی گروهها|قضیه دوم یکریختی گروهها)) |
| *((همریختی|قضیه اساسی همریختی گروهها)) | | *((همریختی|قضیه اساسی همریختی گروهها)) |
| --- | | --- |
| !پیوندهای خارجی | | !پیوندهای خارجی |
| [http://mathworld.wolfram.com/ThirdGroupIsomorphismTheorem.html] | | [http://mathworld.wolfram.com/ThirdGroupIsomorphismTheorem.html] |
| #@^ | | #@^ |