منو
 کاربر Online
779 کاربر online
تاریخچه ی: قضیه سوم یکرختی گروه‌ها

قضیه سوم ایزومورفیسم گروهها:
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} { K,H \triangleleft G , H \triangleleft K } {TEX} . در این صورت :
{TEX()} {G/K \cong \frac{G/H}{K/H} & \frac{K}{H} \triangleleft \frac{G}{H}} {TEX}
اثبات:
چون {TEX()} { K,H \triangleleft G } {TEX}می باشند ، لذا {TEX()} {G/H , G/K} {TEX} تعریف شده هستند و همچنین {TEX()} {K/H} {TEX} نیز تعریف شده است.
{TEX()} { f : G/H \rightarrow G/K } {TEX} را با ضابطه {TEX()} {f(gH)=gK} {TEX} در نظر می گیریم. ثابت می کنیم {TEX()} {f} {TEX} یک اپی مورفیسم است . که در این صورت با اثبات {TEX()} {ker f=K/H} {TEX} ، بنا به قضیه اول ایزومورفیسم خواهیم داشت:
{TEX()} {\frac{G/H}{K/H} \cong G/K} {TEX}
اما {TEX()} {f} {TEX} خوشتعریف است . چرا که:
{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : aH=bH \Rightarrow ab^{-1} \in H \subseteq K \Rightarrow ab^{-1} \in K \Rightarrow aK=bK \Rightarrow f(aH)=f(bH)} {TEX}
همچنین {TEX()} {f} {TEX} یک همومورفیسم است .زیرا :
{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : f(aH \cdot bH)=f(abH)=abK=aK \cdot bK=f(aH) \cdot f(bH)} {TEX}
اکنون به بررسی خاصیت پوشا بودن {TEX()} {f} {TEX} می پردازیم :
{TEX()} {\forall gK \in G/K : f(gH)=gK} {TEX}
بنابراین طبق قضیه اول ایزومورفیسم گروهها داریم:
{TEX()} {\frac{G/H}{ker f} \cong G/K} {TEX}
کافیست نشان دهیم {TEX()} {ker f=K/H} {TEX}
اما
{TEX()} {ker f={gH \in G/H | f(gH)=e_{G/K}}={gH \in G/H | f(gH)=K}={gH \in G/H |gK=K}={gH \in G/H |g \in K}=K/H } {TEX}
چون {TEX()} {ker f \triangleleft G/H } {TEX} است ، بنابراین {TEX()} {K/H \triangleleft G/H} {TEX}




تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 شنبه 02 اردیبهشت 1385 [03:56 ]   3   زینب معزی      جاری 
 شنبه 26 فروردین 1385 [14:02 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:45 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..