تاریخچه ی:
قضیه سوم یکرختی گروهها
قضیه سوم ایزومورفیسم گروهها:
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} { K,H \triangleleft G , H \triangleleft K } {TEX} . در این صورت :
{TEX()} {G/K \cong \frac{G/H}{K/H} & \frac{K}{H} \triangleleft \frac{G}{H}} {TEX}
اثبات:
چون {TEX()} { K,H \triangleleft G } {TEX}می باشند ، لذا {TEX()} {G/H , G/K} {TEX} تعریف شده هستند و همچنین {TEX()} {K/H} {TEX} نیز تعریف شده است.
{TEX()} { f : G/H \rightarrow G/K } {TEX} را با ضابطه {TEX()} {f(gH)=gK} {TEX} در نظر می گیریم. ثابت می کنیم {TEX()} {f} {TEX} یک اپی مورفیسم است . که در این صورت با اثبات {TEX()} {ker f=K/H} {TEX} ، بنا به قضیه اول ایزومورفیسم خواهیم داشت:
{TEX()} {\frac{G/H}{K/H} \cong G/K} {TEX}
اما {TEX()} {f} {TEX} خوشتعریف است . چرا که:
{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : aH=bH \Rightarrow ab^{-1} \in H \subseteq K \Rightarrow ab^{-1} \in K \Rightarrow aK=bK \Rightarrow f(aH)=f(bH)} {TEX}
همچنین {TEX()} {f} {TEX} یک همومورفیسم است .زیرا :
{TEX()} {\forall aH,bH \in G/H : f(aH \cdot bH)=f(abH)=abK=aK \cdot bK=f(aH) \cdot f(bH)} {TEX}
اکنون به بررسی خاصیت پوشا بودن {TEX()} {f} {TEX} می پردازیم :
{TEX()} {\forall gK \in G/K : f(gH)=gK} {TEX}
بنابراین طبق قضیه اول ایزومورفیسم گروهها داریم:
{TEX()} {\frac{G/H}{ker f} \cong G/K} {TEX}
کافیست نشان دهیم {TEX()} {ker f=K/H} {TEX}
اما
{TEX()} {ker f={gH \in G/H | f(gH)=e_{G/K}}={gH \in G/H | f(gH)=K}={gH \in G/H |gK=K}={gH \in G/H |g \in K}=K/H } {TEX}
چون {TEX()} {ker f \triangleleft G/H } {TEX} است ، بنابراین {TEX()} {K/H \triangleleft G/H} {TEX}