قضیه دوم ایزومورفیسم گروهها:
اگر
دو زیر گروه
باشند ، بطوریکه
نرمال در
باشد ، آنگاه
زیرگروه نرمال در
است و :
اثبات:
چون
، بنابراین
که معادل است با
.
بدیهی است
. زیرا
.بنابراین گروه خارج قسمتی
تعریف شده می باشد.
حال نشان میدهیم
با ضابطۀ زیر یک اپی مورفیسم است:
اما
خوشتعریف است .زیرا:
همومورفیسم نیز می باشد. چرا که:
اکنون به بررسی پوشا بودن
می پردازیم :
در نتیجه
یک اپی مورفیسم است. بنابراین طبق قضیه اول ایزومورفیسم گروه ها داریم :
حال کافیست نشان دهیم
. اما :
اما می دانیم
است . بنابراین
و
.
نتیجه:
اگر
یک گروه متناهی و
باشند و
، آنگاه :
اثبات:
طبق قضیه دوم ایزومورفیسم گروهها: