تاریخچه ی:
قضیه دوم یکریختی گروهها
تفاوت با نگارش: 2
| | ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
| | + | {DYNAMICMENU()} |
| | + | __واژه‌نامه__ |
| | + | *((واژگان جبر)) |
| | + | __مقالات مرتبط__ |
| | + | *((معادله)) |
| | + | *((استقرا)) |
| | + | *((اتحاد)) |
| | + | *((تجزیه)) |
| | + | *((ماتریس)) |
| | + | *((گروه)) |
| | + | *((حلقه)) |
| | + | *((میدان)) |
| | + | *((یکریختی)) |
| | + | *((فضای برداری)) |
| | + | __کتابهای مرتبط__ |
| | + | *((کتابهای جبر)) |
| | + | __[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__ |
| | + | __سایتهای مرتبط__ |
| | + | *سایتهای داخلی |
| | + | **[http://www.tebyan.net/|تبیان] |
| | + | **[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی] |
| | + | *سایتهای خارجی |
| | + | **[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش جبر] |
| | + | **[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم جبری] |
| | + | **[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|راهنمای مطالعه جبر] |
| | + | **[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل جبری] |
| | + | **[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع جبری] |
| | + | __گالری تصویر__ |
| | + | *[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم] |
| | + | body= |
| | + | |~| |
| | + | {DYNAMICMENU} |
| | ^@#16: | | ^@#16: |
| - | !قضیه دوم یکریختی گروهها:
اگر {TEX()} {H,K} {TEX} دو زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشند ، بطوریکه {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {H \cap K} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) در {TEX()} {K} {TEX} است و: |
+ | !قضیه دوم یکریختی گروهها
اگر {TEX()} {H,K} {TEX} دو زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشند ، به‌طورکه {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {H \cap K} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) در {TEX()} {K} {TEX} است و: |
| | @@{TEX()} {K/{H \cap K} \cong KH/H} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {K/{H \cap K} \cong KH/H} {TEX}@@ |
| | __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| | چون {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX}، بنابراین {TEX()} {HK=KH} {TEX}که معادل است با {TEX()} {KH \le G} {TEX}. | | چون {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX}، بنابراین {TEX()} {HK=KH} {TEX}که معادل است با {TEX()} {KH \le G} {TEX}. |
| - | بدیهی است {TEX()} {H \triangleleft HK=KH } {TEX}. زیرا {TEX()} {H=eH \subseteq KH} {TEX} .بنابراین ((گروه خارج‌قسمتی )){TEX()} {KH/H} {TEX} تعریف شده می‌باشد. |
+ | بدیهی است {TEX()} {H \triangleleft HK=KH } {TEX}. زیرا {TEX()} {H=eH \subseteq KH} {TEX} .بنابراین ((زیرگروه خارج‌قسمتی|گروه خارج‌قسمتی )){TEX()} {KH/H} {TEX} تعریف شده می‌باشد. |
| | حال نشان می‌دهیم {TEX()} {f : K \rightarrow KH/H} {TEX} با ضابطۀ زیر یک اپی‌مورفیسم است: | | حال نشان می‌دهیم {TEX()} {f : K \rightarrow KH/H} {TEX} با ضابطۀ زیر یک اپی‌مورفیسم است: |
| | {TEX()} {\forall k \in K : f(k)=kH} {TEX} | | {TEX()} {\forall k \in K : f(k)=kH} {TEX} |
| | اما{TEX()} {f} {TEX} ((خوش‌تعریف)) است .زیرا: | | اما{TEX()} {f} {TEX} ((خوش‌تعریف)) است .زیرا: |
| | @@{TEX()} {\forall a,b \in K : a=b \Rightarrow aH=bH \Rightarrow f(a)=f(b)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall a,b \in K : a=b \Rightarrow aH=bH \Rightarrow f(a)=f(b)} {TEX}@@ |
| - | {TEX()} {f} {TEX} ((همریختی)) نیز می‌باشد. چرا که: |
+ | {TEX()} {f} {TEX} ((همریختی گروه|همریختی)) نیز می‌باشد. چرا که: |
| | @@{TEX()} {\forall a,b \in k : f(ab)=abH=aH \cdot bH=f(a) \cdot f(b)} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall a,b \in k : f(ab)=abH=aH \cdot bH=f(a) \cdot f(b)} {TEX}@@ |
| | اکنون به بررسی پوشا بودن {TEX()} {f} {TEX} می‌پردازیم : | | اکنون به بررسی پوشا بودن {TEX()} {f} {TEX} می‌پردازیم : |
| | @@{TEX()} {\forall kH \in KH/H : \exists k \in K ; f(k)=kH} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall kH \in KH/H : \exists k \in K ; f(k)=kH} {TEX}@@ |
| | در نتیجه {TEX()} {f} {TEX} یک اپی‌مورفیسم است. بنابراین طبق ((قضیه اول یکریختی گروهها)) داریم : | | در نتیجه {TEX()} {f} {TEX} یک اپی‌مورفیسم است. بنابراین طبق ((قضیه اول یکریختی گروهها)) داریم : |
| | @@{TEX()} {K/{ker f} \cong KH/H} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {K/{ker f} \cong KH/H} {TEX}@@ |
| | حال کافیست نشان دهیم {TEX()} {ker f=K \cap H} {TEX} . اما : | | حال کافیست نشان دهیم {TEX()} {ker f=K \cap H} {TEX} . اما : |
| | @@{TEX()} {ker f=\{a \in K | f(a)=e_{KH/H}\}=\{a \in K | aH=H\}=\{a \in K | a \in H\}=K \cap H} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {ker f=\{a \in K | f(a)=e_{KH/H}\}=\{a \in K | aH=H\}=\{a \in K | a \in H\}=K \cap H} {TEX}@@ |
| | اما می دانیم {TEX()} {ker f \triangleleft K } {TEX} است . بنابراین {TEX()} {K \cap H \triangleleft K } {TEX}و {TEX()} {K/{K \cap H} \cong K} {TEX}. | | اما می دانیم {TEX()} {ker f \triangleleft K } {TEX} است . بنابراین {TEX()} {K \cap H \triangleleft K } {TEX}و {TEX()} {K/{K \cap H} \cong K} {TEX}. |
| | --- | | --- |
| | !نتیجه: | | !نتیجه: |
| | اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) متناهی و {TEX()} {K,H \le G} {TEX} باشند و {TEX()} {K \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه : | | اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) متناهی و {TEX()} {K,H \le G} {TEX} باشند و {TEX()} {K \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه : |
| | {TEX()} { |HK|=\frac {|H| \cdot |K|}{|H \cap K|} } {TEX} | | {TEX()} { |HK|=\frac {|H| \cdot |K|}{|H \cap K|} } {TEX} |
| | __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| | طبق قضیه دوم یکریختی گروهها: | | طبق قضیه دوم یکریختی گروهها: |
| | @@{TEX()} {\frac{HK}{K} \cong \frac{H}{H \cap K} \Rightarrow \frac{|HK|}{|K|}=\frac{|H|}{|H \cap K|} \Rightarrow |HK|=\frac {|H| \cdot |K|}{|H \cap K|} } {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\frac{HK}{K} \cong \frac{H}{H \cap K} \Rightarrow \frac{|HK|}{|K|}=\frac{|H|}{|H \cap K|} \Rightarrow |HK|=\frac {|H| \cdot |K|}{|H \cap K|} } {TEX}@@ |
| | --- | | --- |
| | !همچنین ببینید | | !همچنین ببینید |
| | *((قضیه اول یکریختی گروهها)) | | *((قضیه اول یکریختی گروهها)) |
| | *((قضیه سوم یکریختی گروهها)) | | *((قضیه سوم یکریختی گروهها)) |
| - | *((همریختی گروهها))
|
+ | *((همریختی گروه))
---
!پوندهای خارجی
[http://mathworld.wolfram.com/SecondGroupIsomorphismTheorem.html] |
| | #@^ | | #@^ |
