تاریخچه ی:
قضیه اول یکریختی گروهها
تفاوت با نگارش: 1
| - | قضایای اساسی ایزومورفیسم گروهها:
یاد آوری:
فرض کنید {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX}یک همومورفیم است. آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
1 . اگر {TEX()} {K \le G^\prime} {TEX} ، آنگاه مجموعه {TEX()} {f^{-1}(K)={x \in G |f(x) \in K}} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است.
2 . اگر {TEX()} {K \triangleleft G^\prime } {TEX}، آنگاه {TEX()} {f^{-1}(K) \triangleleft G } {TEX}
3 . {TEX()} {{1_{G^\prime}}} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G^\prime} {TEX} و {TEX()} {ker f} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G} {TEX} است.
4 . اگر {TEX()} {f} {TEX} پوشا و {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {f(H) \triangleleft G^\prime } {TEX}
اکنون به بررسی قضایایی می پردازیم که می توان آنها را توسط قضیه اساسی همومورفیسم اثبات نمود و در مبحث گروهها اهمیت زیادی دارد:
قضیه اول یوموفیسم گروهها:
اگر {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX} یک همومورفیم اشد ، آنگاه {TEX()} {G/{ker f}} {TEX} با زیر گروهی از {TEX()} { G^\prime} {TEX} ایزمورف ست . به ویژه اگر {TEX()} {f} {TEX} یک همومورفیسم پوشا باشد ، آنگاه {TEX()} {G/{ker f} \cong G^\prime } {TEX} />اثبات: />فض می یم {TEX()} {ker f=K} {TEX} .نگه {TEX()} {\varphi : G/K \rightarrow Im(f)} {TEX} با ضابطۀ
{TEX()} {\forall gK \in G/K : \varphi (gK)=f(g)} {TEX}
تعریف میکنم. بق قضیه اسی همومورفیسم ،{TEX()} {\varphi} {TEX} یک ازومورفیم است . لا {TEX()} {G/K \cong Im(f)} {TEX} که {TEX()} {Im(f) \le G^\prime} {TEX}
در صورتیه {TEX()} {f} {TEX} همومورفیسم پوشا باشد ، آناه {TEX()} {f(G)=Im(f)=G^\prime} {TEX}. ر نتیجه {TEX()} {G/K \cong G^\prime } {TEX}
نتیجه:
اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی و {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX} یک هومورفیم پوشا (اپی مورفیسم) باشد ، آنگاه :
{TEX()} {|G^\prime| | |G|} {TEX}
اثبات:
طبق قضیه فوق:
{TEX()} { G/{ker f} \cong G^\prime } {TEX}. بنابراین :
{TEX()} { |G/{ker f}| = |G^\prime| \Rightarrow |G|=|ker f| |G^\prime| \Rightarrow |G^\prime| | |G|} {TEX}. |
+ | ||V{maketoc}|| />^@#16:
!یاد آوری:
فرض کنید {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX}یک هم‌ریتی است. آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
* اگر {TEX()} {K \le G^\prime} {TEX} ، آنگاه مجموعه {TEX()} {f^{-1}(K)=\{x \in G |f(x) \in K\}} {TEX} ((زیرگروه)) {TEX()} {G} {TEX} است.
* اگر {TEX()} {K \triangleleft G^\prime } {TEX}، آنگاه {TEX()} {f^{-1}(K) \triangleleft G } {TEX}
*{TEX()} {\{1_{G^\prime}\}} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G^\prime} {TEX} و {TEX()} {ker f} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G} {TEX} است.
* اگر {TEX()} {f} {TEX} پوشا و {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {f(H) \triangleleft G^\prime } {TEX}
---
!قضیه اول یکیی گروهها:
اگر {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX} یک ((هم‌ریی گروه|م‌ریتی)) باشد ، آنگاه {TEX()} {G/{ker f}} {TEX} با یر رهی {TEX()} { G^\prime} {TEX} ((یکیی|یکریت)) است . ه ویه اگر {TEX()} {f} {TEX} یک هم‌ریتی پوشا باشد ، آنگاه {TEX()} {G/{ker f} \cong G^\prime } {TEX} |
| | + | __اثبات:__ |
| | + | فرض می‌کنیم {TEX()} {ker f=K} {TEX} .آنگاه {TEX()} {\varphi : G/K \rightarrow Im(f)} {TEX} با ضابطۀ |
| | + | @@{TEX()} {\forall gK \in G/K : \varphi (gK)=f(g)} {TEX}@@ |
| | + | تعریف می‌کنیم. طبق ((هم‌ریختی گروه|قضیه اساسی هم‌ریختی)) ،{TEX()} {\varphi} {TEX} یک یکریختی است . لذا {TEX()} {G/K \cong Im(f)} {TEX} که {TEX()} {Im(f) \le G^\prime} {TEX} |
| | + | در صورتیکه {TEX()} {f} {TEX} هم‌ریختی پوشا باشد ، آنگاه {TEX()} {f(G)=Im(f)=G^\prime} {TEX}. در نتیجه {TEX()} {G/K \cong G^\prime } {TEX} |
| | + | --- |
| | + | !نتیجه: |
| | + | اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی و {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX} یک هم‌ریختی پوشا (اپی‌مورفیسم) باشد ، آنگاه : |
| | + | @@{TEX()} {|G^\prime| | |G|} {TEX}@@ |
| | + | __اثبات:__ |
| | + | طبق قضیه فوق: |
| | + | {TEX()} { G/{ker f} \cong G^\prime } {TEX} بنابراین : |
| | + | @@ {TEX()} { |G/{ker f}| = |G^\prime \left| \Rightarrow |G|=|ker f| |G^\prime| \Rightarrow |G^\prime| | |G|} {TEX}@@ |
| | + | --- |
| | + | !همچنین ببینید |
| | + | *((یکریختی گروه)) |
| | + | *((قضیه دوم یکریختی گروهها|قضیه دوم یکریختی گروهها)) |
| | + | *((قضیه سوم یکریختی گروهها)) |
| | + | *((هم‌ریختی گروه|قضیه اساسی هم‌ریختی گروهها)) |
| | + | --- |
| | + | !پیوندهای خارجی |
| | + | [http://mathworld.wolfram.com/FirstGroupIsomorphismTheorem.html] |
| | + | #@^ |
