: قضیه اساسی گالوا

||V{maketoc}||

^@#16:

!قضیه اساسی گالوا

اگر {TEX()} {E} {TEX}((توسیع گالوایی)) میدان {TEX()} {F} {TEX} باشد ، و {TEX()} {K} {TEX} میدانی باشد ، که {TEX()} {F \le K \le E} {TEX} ، آنگاه گزاره های زیر برقرارند:

1 . {TEX()} {K=\Gamma (E:K)} {TEX}

2 . اگر {TEX()} {H} {TEX} ((زیرگروه)) {TEX()} {\Gamma (E:F)} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {H=\Gamma (E, \overline H)} {TEX}

3 . ((تناظر یک به یک)) بین ((زیر میدان ))های {TEX()} {E} {TEX} مانند {TEX()} {K} {TEX} که شامل ((میدان)) {TEX()} {F} {TEX} هستند و زیرگروه‌های {TEX()} {\Gamma (E:K)} {TEX} وجود دارد.

4 .{TEX()} {[E:K]=| \Gamma (E:K)| \ ,\ [K:F]=[\Gamma (E:F):\Gamma (E:K)]} {TEX}

5 .{TEX()} {K} {TEX} ((توسیع نرمال )){TEX()} {F} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {\Gamma (E:K) \triangleleft \Gamma (E:F)} {TEX}

6 . اگر {TEX()} {K} {TEX} توسیع نرمال {TEX()} {F} {TEX} باشد ، آنگاه:

@@{TEX()} {\Gamma (K:F) \cong \frac{ \Gamma (E:F)}{ \Gamma (E:K)} } {TEX}@@

__اثبات__

1 . {TEX()} {E} {TEX} توسیع نرمال {TEX()} {F} {TEX} است و {TEX()} {F \le K \le E} {TEX}. بنابراین {TEX()} {E} {TEX} توسیع نرمال {TEX()} {K} {TEX} است.لذا :

@@{TEX()} {K= \overline{ \Gamma (E:K)}} {TEX}@@

2 . می‌دانیم که {TEX()} {[E: \overline H]=|H|} {TEX} و همچنین طبق فرض {TEX()} {|H| \le | \Gamma (E:F)|} {TEX}. همچنین با توجه به اینکه {TEX()} {F \le \oveline H \le E} {TEX}خواهیم داشت {TEX()} {H \le \Gamma (E: \overline H)} {TEX}. بنابراین :

@@{TEX()} {|H| \le | \Gamma (E: \overline H)| \ \Rightarrow \ |H| \le | \Gamma (E: \overline H)| \le [E: \overline H]=|H|} {TEX}@@

لذا :

3 . فرض می‌کنیم {TEX()} {K_1,K_2} {TEX} دو زیر میدان {TEX()} {E} {TEX} شامل {TEX()} {F} {TEX} باشند. {TEX()} {\varphi} {TEX} را از مجموعه زیرمیدان‌های {TEX()} {E} {TEX} که شامل {TEX()} {F} {TEX} هستند ، به ((مجموعه)) زیرگروه‌های {TEX()} {\Gamma (K:F)} {TEX} که {TEX()} {F \le K} {TEX}، در نظر می‌گیریم و نشان می‌دهیم که {TEX()} {\varphi} {TEX} یک تناظر یک به یک است:

{TEX()} {\varphi } {TEX} را طوری در نظر می‌گیریم که برای هر {TEX()} {F \le K \le E} {TEX} ، زیر‌گروهی از {TEX()} {\Gamma (K:F)} {TEX} را نسبت دهد. لذا :

@@{TEX()} {F \le K_1 , K_2 \le E \ ; \ \varphi (K_1)=\varphi (K_2) \ \Rightarrow \ \Gamma (E:K_1)=\Gamma (E:K_2)} {TEX}@@

بنابراین طبق 1 خواهیم داشت :

@@{TEX()} {K_1=\overline{\Gamma (E:K_1)} \ , \ K_2=\overline { \Gamma(E:K_2)} \ \Rightarrow \ K_1=K_2} {TEX}@@

یعنی {TEX()} {\varphi} {TEX} ((یک به یک)) است.

اما {TEX()} {\varphi} {TEX} ((پوشا)) نیز هست. چرا که :

@@{TEX()} {if \ { H \le \Gamma(E:F)} \ \Rightarrow \ F \le \overline H \le E \ , \ 2 \ \Rightarrow \ H=(E: \overline H) \ \Rightarrow \ \varphi ( \overline H)=H } {TEX}@@

4 . {TEX()} {E} {TEX} توسیع نرمال {TEX()} {K} {TEX} است. لذا:

@@{TEX()} {[E:K]=|\Gamma (E:K)|} {TEX}@@

و همچنین {TEX()} {E} {TEX} توسیع نرمال {TEX()} {F} {TEX} است . لذا :

@@{TEX()} {[E:F]=| \Gamma (E:F)| \ , \ [E:F]=[E:K][K:F] \ \Rightarrow \ |\Gamma (E:F)|=|\Gamma (E:K)|[K:F]} {TEX}@@

بنابراین:

@@{TEX()} {[K:F]= \frac{|\Gamma(E:F)|}{|\Gamma (E:K)|} \ \Rightarrow \ [K:F]=[ \Gamma (E:F) \ : \Gamma(E:K)]} {TEX}@@

@@{TEX()} {\forall \varphi \in \Gamma(E:F) \ : \ \varphi (K)=K} {TEX}@@

همچنین {TEX()} {E} {TEX} توسیع نرمال {TEX()} {F} {TEX} است ، در نتیجه {TEX()} {E} {TEX} توسیع نرمال {TEX()} {K} {TEX} نیز می‌باشد.بنابراین {TEX()} {K} {TEX} توسیع نرمال {TEX()} {F} {TEX} است ، اگر و تنها اگر :

@@{TEX()} {\forall \varphi \in \Gamma (E:F) \ , \ \forall \psi \in \Gamma (E:K) \, \ \forall K_1 \in K \: \ \psi (\varphi(K_1))= \varphi (K_1) \ \Leftrightarrow \ {\varphi}^{-1}(\psi ( \varphi (K_1)))=K_1 \ \Leftrightarrow \ ({\varphi}^{-1} \psi \varphi )(K_1)=K_1 \ \Leftrightarrow \ \Gamma (E:K) \triangleleft (E:F)} {TEX}@@

6 . اگر {TEX()} {K} {TEX} توسیع نرمال {TEX()} {F} {TEX} باشد ،آنگاه:

@@{TEX()} {\forall \varphi \in \Gamma(E:F) \ ; \varphi (K) =K } {TEX}@@

حال فرض می‌کنیم {TEX()} {\varphi |_K= \varphi ^*} {TEX}. آنگاه {TEX()} {\varphi ^*} {TEX} یک ((اتومورفیسم)) روی {TEX()} {K} {TEX} است. چون {TEX()} {\varphi ^*(F)=F} {TEX}، لذا {TEX()} {\varphi ^* \in \Gamma(K:F)} {TEX}.

حال تابع {TEX()} {\psi : \Gamma(E:F) \rightarrow \Gamma (K:F)} {TEX} را با ضابطه زیر در نظر می‌گیریم:

@@{TEX()} {\forall \varphi \in \Gamma(E:F) \ : \ \psi ( \varphi )=\varphi ^*} {TEX}@@

{TEX()} {\psi} {TEX} یک ((همریختی)) است و :

@@{TEX()} {ker \psi =\{ \varphi \in \Gamma (E:F) | \psi ( \varphi )=id_K \}=\{ \varphi \in \Gamma (E:F) | \varphi ^*=id_K \}=\{ \varphi \in \Gamma (E:F) | \varphi ^* (K_1)=K_1 \ \forall k_1 \in K \}=\Gamma(E:K)} {TEX}@@

بنابراین ، طبق ((قضیه اساسی همریختی)) :

@@{TEX()} {\frac{\Gamma (E:F)}{ker \psi} \cong Im \psi \ \Rightarrow \frac{\Gamma(E:F)}{\Gamma(E:K)} \cong Im \psi \le \Gamma(E:F) } {TEX}@@

این رابطه را{TEX()} {*} {TEX}معرفی می‌کنیم و با توجه به آن خواهیم داشت:

@@{TEX()} {|Im \psi |=|\frac{\Gamma(E:F)}{\Gamma(E:K)}|=[\Gamma (E:F): \Gamma(E:K)]=[K:F]} {TEX}@@

از طرفی :

@@{TEX()} {[K:F]=|\Gamma(K:F)| \ \Rightarrow |Im \psi|=|\Gamma (K:F)| \ \Rightarrow Im \psi =\Gamma(K:F)} {TEX}@@

لذا با توجه به رابطه {TEX()} {*} {TEX}، خواهیم داشت :

@@{TEX()} {\Gamma(K:F) \cong \frac{ \Gamma(E:F)}{\Gamma(E:K)}} {TEX}@@

!!نتیجه:

با توجه به شرایط قضیه خواهیم داشت :

@@{TEX()} {|\Gamma (K:F)||\Gamma (E:K)|=|\Gamma(E:F)|} {TEX}@@

---