: فضای برداری

||V{maketoc}||

!فضای برداری

یک فضای برداری (فضای خطی) متشکل است از:

1.((میدان)) {TEX()} {F} {TEX} از اسکالرها

2.یک ((مجموعه)) {TEX()} {V} {TEX} از اشیا به نام ((بردار))

3.یک عمل ((جمع برداری)) برروی {TEX()} {V} {TEX} به طوری که به ازای هر {TEX()} {\overrightarrow{y},\overrightarrow{x} } {TEX} متعلق به {TEX()} {V} {TEX} آنگاه {TEX()} {\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}} {TEX} در {TEX()} {V} {TEX} وجود داشته باشد و

الف.@@ {TEX()} {\forall \overrightarrow{x},\overrightarrow{y} \in V:\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{x}} {TEX}@@

ب. @@{TEX()} {\forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z} \in V : \overrightarrow{x}+( \overrightarrow{y}+ \overrightarrow{z})=( \overrightarrow{x}+ \overrightarrow{y})+ \overrightarrow{z}} {TEX}@@

ج.@@ {TEX()}{\exists \overrightarrow{0} \in V \ \forall \overrightarrow{x} \in

V : \overrightarrow{x}+ \overrightarrow{0}= \overrightarrow{x} } {TEX}@@

(که در آن {TEX()} {\overrightarrow{0}} {TEX} منحصر به فرد است.)

د.@@ {TEX()} {\forall \overrightarrow{x} \in V \ \exists (- \overrightarrow{x}) \in V : \overrightarrow{x}+ (- \overrightarrow{x})= \overrightarrow{0}} {TEX}@@

4.عمل ضرب موسوم به ((ضرب اسکالر)) به طوری که به ازای هر {TEX()} {\theta} {TEX} متعلق به {TEX()} {F} {TEX} و{TEX()} {\overrightarrow{x}} {TEX} متعلق به {TEX()} {V} {TEX} {TEX()} آنگاه {\theta \cdot \overrightarrow{x}} {TEX} عضوی از {TEX()} {V} {TEX} باشد وداشته باشیم:

الف. @@{TEX()} {\forall \overrightarrow{x} \in V : 1 \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{x}} {TEX}@@

ب.@@ {TEX()} {\forall c_1,c_2 \in F \ \forall \overrightarrow{x} \in V : (c_1 \cdot c_2) \cdot \overrightarrow{x}=c_1 \cdot (c_2 \cdot \overrightarrow{x})} {TEX}@@

ج.@@ {TEX()} {\forall c \in F \ \forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y} \in V : c \cdot (\overrightarrow{x}+ \overrightarrow{y})=c \cdot \overrightarrow{x}+c \cdot \overrightarrow{y}} {TEX}@@

د. @@{TEX()} {\forall c_1,c_2 \in F \ \forall \overrightarrow{x} \in V: (c_1 + c_2) \cdot \overrightarrow{x}=c_1 \cdot \overrightarrow{x}+c_2 \cdot \overrightarrow{x}} {TEX}@@

در این صورت گوییم {TEX()} {V} {TEX} یک فضای برداری روی میدان {TEX()} {F} {TEX} است.

---

!!قضیه (1)

فرض کنیم {TEX()} {V} {TEX} یک فضای برداری بر روی میدان {TEX()} {F} {TEX} باشد در این صورت:

1.@@{TEX()} {\forall c \in F:c \cdot \overrightarrow{0}= \overrightarrow{0}} {TEX}@@

2.@@{TEX()} {\forall \overrightarrow{x} \in V:0 \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{0}} {TEX}@@

3.اگر{TEX()} {c\cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow0} {TEX} آنگاه {TEX()} {c=0} {TEX} یا {TEX()} {\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}} {TEX}

4.@@ {TEX()} {\forall \overrightarrow{x} \in V : (-1) \cdot \overrightarrow{x}=-\overrightarrow{x}} {TEX}@@

5.@@{TEX()} {\forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y} \in V \ \exists \overrightarrow{u} \in V: \overrightarrow{x}+ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{y}} {TEX}@@

(که در آن {TEX()} {\overrightarrow{u}} {TEX} منحصر به فرد است.)

---

!زیر فضا

فرض کنیم {TEX()} {V} {TEX} یک فضای برداری بر روی میدان {TEX()} {F} {TEX} باشد در این صورت اگر {TEX()} {W \subseteq V} {TEX} همراه با دو عمل جمع برداری روی {TEX()} {V} {TEX} و ضرب اسکالر تشکیل فضای برداری دهد آنگاه گوییم {TEX()} {W} {TEX} زیرفضای برداری {TEX()} {V} {TEX} است.

---

!!لم

برای اثبات زیر فضای برداری کافی است بخش های زیر ثابت شود:

1.بسته بودن نسبت به جمع برداری

2.وجود بردار صفر در {TEX()} {W} {TEX}

3.وجود قرینه هر بردار {TEX()} {W} {TEX} در {TEX()} {W} {TEX}

4.((بسته بودن)) نسبت به ضرب اسکالر

---

!!قضیه (2)

یک زیر مجموعه غیرتهی {TEX()} {W} {TEX} از {TEX()} {V} {TEX} زیرفضاست اگر و فقط:

@@{TEX()} {\forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y} \in W \ \forall c \in F : c \cdot \overrightarrow{x}+ \overrightarrow{y} \in W } {TEX}@@

---

!!قضیه (3)

فرض کنیم {TEX()} {V} {TEX} یک فضای برداری بر روی میدان {TEX()} {F} {TEX} باشد دراین صورت ((اشتراک)) هر دسته دلخواه (نامتناهی) از زیرفضاهای {TEX()} {V} {TEX} زیرفضاست.

---

تفاوت با نگارش: 1

سرویس‌های رشد:

فهرست: