تاریخچه ی:
فاکتوریل ها
||V{maketoc}||
||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وبسایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وبسایت المپیاد رشد]موجود میباشد. برای مشاهده این موضوعات در وبسایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین میتوانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا)) ، با ویژگیهای بخش آموزش این وبسایت آشنا شوید.:: #@~~__||
^@#16:
!فاکتوریل
حال که با اصول جمع وضرب آشنا شدید، خوب است به معرفی فاکتوریل بپردازیم .
---
!!مثال
با حروف کلمة {TEX()} { Morteza } {TEX} چند کلمة 7 حرفی با حروف متمایز میتوان ساخت؟
__حل.__
حرف اول این کلمة هفت حرفی هر یک از حروف{TEX()} { \{m , o , r ,t , e , z, a\} } {TEX}میتواند باشد (7 طریق). حرف دوم، نمیتواند همان حرف اول باشد، بنابراین به 6 طریق میتواند انتخاب شود. حرف سوم، نمیتواند حرف اول یا دوم باشد، بنابراین به 5 طریق میتواند انتخاب شود، به همین ترتیب حرف چهارم، پنجم ، ششم و هفتم به ترتیب، به 4 ، 3 ، 2 و 1 طریق میتوانند انتخاب شوند. پس طبق اصل ضرب، {TEX()} {7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {TEX}7 کلمة 7 حرفی با حروف کلمة{TEX()} { Morteza } {TEX} میتوان ساخت.
---
!تعریف فاکتوریل
به ازای هر عدد صحیح {TEX()} {n! , n\ge 0} {TEX} ( که{TEX()} { n } {TEX} فاکتوریل، خوانده میشود) به صورت زیر تعریف میشود:
@@{TEX()} {0!=1} {TEX}@@
@@{TEX()} {n!=n(n-1)!=n\times (n-1)\times\cdots\times 2\times 1 , n\ge 1} {TEX}@@
با توجه به تعریف فاکتوریل، جواب مثال قبلی برابر است با {TEX()} {7!} {TEX}، همچنین داریم: {TEX()} {3!=6,2!=2,1!=1} {TEX}
---
!!مثال
با حروف{TEX()} { \{a , b , c , d , e\}} {TEX} چند کلمة 3 حرفی با حروف متمایز، میتوان ساخت؟
فرض کنید که هر ترکیب سه حرفی از حروف بالا، تشکیل یک کلمه را میدهد. مثلاً کلمة{TEX()} { abc } {TEX} یک کلمة مجاز است ولی کلمة{TEX()} { aba } {TEX} ، یک کلمة غیرمجاز است زیرا حرف{TEX()} { a } {TEX} دوبار تکرار شده است. هم چنین کلمة{TEX()} { abc } {TEX} با کلمة{TEX()} { bac } {TEX} ، فرق دارد.
__حل.__
حرف اول این کلمة سه حرف هر یک از حروف{TEX()} {\{a , b , c , d , e\}} {TEX} میتواند باشد (5 طریق). حرف دوم، نمیتواند همان حرف اول باشد، بنابراین به 4 طریق میتواند انتخاب شود. حرف سوم، نمیتواند همان حرف اول یا دوم باشد، بنابراین به 3 طریق میتواند انتخاب شود. پس طبق اصل ضرب {TEX()} {5\times 4\times 3=60} {TEX}، کلمة مختلف وجود دارد. {TEX()} {\frac{5!}{2!}=60} {TEX}
---
!!مثال
مقدار {TEX()} {\frac{n!}{(n-r)!r!}} {TEX} را برای{TEX()} { 10 = n } {TEX} و {TEX()} { r = 6} {TEX} و نیز در حالت{TEX()} { n = 10 } {TEX} و{TEX()} { r = 4} {TEX} محاسبه نمائید و جوابها را با هم مقایسه نمائید.
__حل.__
@@{TEX()} {r=6 , n=10} {TEX}@@
@@{TEX()} {\frac{10!}{(10-6)!6!}=\frac{10!}{4!6!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times\cdots\times 2\times 1}{4!6!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210} {TEX}@@
@@{TEX()} {r=4 , n=10} {TEX}@@
@@{TEX()} {\frac{10!}{(10-4)!4!}=\frac{10!}{4!6!}=210} {TEX}@@
---
!!مثال
ثابت کنید {TEX()} {\frac{(2n)!}{n!}>2^n\cdots 5^{(n-2)}} {TEX} برای{TEX()} { n > 1} {TEX}
__حل.__
به راحتی استقرا میزنیم:
@@{TEX()} {\frac{(2\times 2)!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12>2^2\times 5^0} {TEX}@@
حال فرض میکنیم {TEX()} {\frac{(2k)!}{k!}>2^k\cdots 5^{(k-2)}} {TEX} باشد برای {TEX()} {n=(k+1)} {TEX} داریم:
@@{TEX()} {\frac{(2(k+1))!}{(k+1)!}=\frac{(2k+2)!}{(k+1)(k)!}=\frac{(2k+2)(2k+1)(2k)!}{(k+1)k)!}} {TEX}@@
@@{TEX()} {\Rightarrow \frac{(2(k+1))!}{(k+1)!}>\frac{(2k+2)}{k+1}\times (2k+1)\times 2^k\cdot 5^{k-2}} {TEX}@@
از طرفی
@@{TEX()} {\frac{2k+2}{k+1}=2 \ , \ 2k+1>5} {TEX}@@
@@{TEX()} {\Rightarrow \frac{(2(k+1))!}{(k+1)!}>2\times 5\times 2^k\times5^{k-2}=2^{k+1}\times 5^{((k+1)-2}} {TEX}@@
لذا حکم ثابت است.
---
!!مثال
ثابت کنید {TEX()} {n!=(n-2)!\times (n^2-n)} {TEX}
__حل.__
به سادگی داریم:
@@{TEX()} {(n-2)!\times (n^2-n)=(n-2)!\times (n(n-1))} {TEX}@@
@@{TEX()} {=(n-2)\times (n-3)\times\cdots\times 2\times 1\times n \times (n-1)=n(n-1)(n-2)\cdots\times 2\times 1=n!} {TEX}@@
---
! پیوند های خارجی
[http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0018.pdf]
#@^