منو
 صفحه های تصادفی
امام باقر علیه السلام و پاسخ درباره اختیارات پیامبر اکرم
محیط شهری و بهداشت شهری
کنترل ترجمه
انتره ها
تاتوره
درس فیزیک 3 و آزمایشگاه رشته علوم تجربی
سفارش امام باقر علیه السلام به مصافحه
تداوم بخش نسل پیامبر صلی الله علیه وآله
اگزیستانسیالیسم و اصالتهای انسانی
انرژی خورشید
 کاربر Online
696 کاربر online
تاریخچه ی: فاکتوریل ها

||V{maketoc}||
||__~~navy:@#13::: این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در [http://olympiad.roshd.ir|وب‌سایت المپیاد رشد]موجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس [http://olympiad.roshd.ir/computercontentlist.html|فهرست مطالب کامپیوتر] مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک ((مطالب علمی سایت المپیاد رشد|اینجا))‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.:: #@~~__||
^@#16:
!فاکتوریل
حال که با اصول جمع وضرب آشنا شدید، خوب است به معرفی فاکتوریل بپردازیم .
---
!!مثال
با حروف کلمة {TEX()} { Morteza } {TEX} چند کلمة 7 حرفی با حروف متمایز می‌توان ساخت؟
__حل.__
حرف اول این کلمة هفت حرفی هر یک از حروف{TEX()} { \{m , o , r ,t , e , z, a\} } {TEX}می‌تواند باشد (7 طریق). حرف دوم، نمی‌تواند همان حرف اول باشد، بنابراین به 6 طریق می‌تواند انتخاب شود. حرف سوم، نمی‌تواند حرف اول یا دوم باشد، بنابراین به 5 طریق می‌تواند انتخاب شود، به همین ترتیب حرف چهارم، پنجم ، ششم و هفتم به ترتیب، به 4 ، 3 ، 2 و 1 طریق می‌توانند انتخاب شوند. پس طبق اصل ضرب، {TEX()} {7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {TEX}7 کلمة 7 حرفی با حروف کلمة{TEX()} { Morteza } {TEX} می‌توان ساخت.
---
!تعریف فاکتوریل
به ازای هر عدد صحیح {TEX()} {n! , n\ge 0} {TEX} ( که{TEX()} { n } {TEX} فاکتوریل، خوانده می‌شود) به صورت زیر تعریف می‌شود:
@@{TEX()} {0!=1} {TEX}@@
@@{TEX()} {n!=n(n-1)!=n\times (n-1)\times\cdots\times 2\times 1 , n\ge 1} {TEX}@@
با توجه به تعریف فاکتوریل، جواب مثال قبلی برابر است با {TEX()} {7!} {TEX}، همچنین داریم: {TEX()} {3!=6,2!=2,1!=1} {TEX}
---
!!مثال
با حروف{TEX()} { \{a , b , c , d , e\}} {TEX} چند کلمة 3 حرفی با حروف متمایز، می‌توان ساخت؟
فرض کنید که هر ترکیب سه حرفی از حروف بالا، تشکیل یک کلمه را می‌دهد. مثلاً کلمة{TEX()} { abc } {TEX} یک کلمة مجاز است ولی کلمة{TEX()} { aba } {TEX} ، یک کلمة غیرمجاز است زیرا حرف{TEX()} { a } {TEX} دوبار تکرار شده است. هم چنین کلمة{TEX()} { abc } {TEX} با کلمة{TEX()} { bac } {TEX} ، فرق دارد.
__حل.__
حرف اول این کلمة سه حرف هر یک از حروف{TEX()} {\{a , b , c , d , e\}} {TEX} می‌تواند باشد (5 طریق). حرف دوم، نمی‌تواند همان حرف اول باشد، بنابراین به 4 طریق می‌تواند انتخاب شود. حرف سوم، نمی‌تواند همان حرف اول یا دوم باشد، بنابراین به 3 طریق می‌تواند انتخاب شود. پس طبق اصل ضرب {TEX()} {5\times 4\times 3=60} {TEX}، کلمة مختلف وجود دارد. {TEX()} {\frac{5!}{2!}=60} {TEX}
---
!!مثال
مقدار {TEX()} {\frac{n!}{(n-r)!r!}} {TEX} را برای{TEX()} { 10 = n } {TEX} و {TEX()} { r = 6} {TEX} و نیز در حالت{TEX()} { n = 10 } {TEX} و{TEX()} { r = 4} {TEX} محاسبه نمائید و جواب‌ها را با هم مقایسه نمائید.
__حل.__
@@{TEX()} {r=6 , n=10} {TEX}@@
@@{TEX()} {\frac{10!}{(10-6)!6!}=\frac{10!}{4!6!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times\cdots\times 2\times 1}{4!6!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210} {TEX}@@
@@{TEX()} {r=4 , n=10} {TEX}@@
@@{TEX()} {\frac{10!}{(10-4)!4!}=\frac{10!}{4!6!}=210} {TEX}@@
---
!!مثال
ثابت کنید {TEX()} {\frac{(2n)!}{n!}>2^n\cdots 5^{(n-2)}} {TEX} برای{TEX()} { n > 1} {TEX}
__حل.__
به راحتی استقرا می‌زنیم:
@@{TEX()} {\frac{(2\times 2)!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12>2^2\times 5^0} {TEX}@@
حال فرض می‌کنیم {TEX()} {\frac{(2k)!}{k!}>2^k\cdots 5^{(k-2)}} {TEX} باشد برای {TEX()} {n=(k+1)} {TEX} داریم:
@@{TEX()} {\frac{(2(k+1))!}{(k+1)!}=\frac{(2k+2)!}{(k+1)(k)!}=\frac{(2k+2)(2k+1)(2k)!}{(k+1)k)!}} {TEX}@@
@@{TEX()} {\Rightarrow \frac{(2(k+1))!}{(k+1)!}>\frac{(2k+2)}{k+1}\times (2k+1)\times 2^k\cdot 5^{k-2}} {TEX}@@
از طرفی
@@{TEX()} {\frac{2k+2}{k+1}=2 \ , \ 2k+1>5} {TEX}@@
@@{TEX()} {\Rightarrow \frac{(2(k+1))!}{(k+1)!}>2\times 5\times 2^k\times5^{k-2}=2^{k+1}\times 5^{((k+1)-2}} {TEX}@@
لذا حکم ثابت است.
---
!!مثال
ثابت کنید {TEX()} {n!=(n-2)!\times (n^2-n)} {TEX}
__حل.__
به سادگی داریم:
@@{TEX()} {(n-2)!\times (n^2-n)=(n-2)!\times (n(n-1))} {TEX}@@
@@{TEX()} {=(n-2)\times (n-3)\times\cdots\times 2\times 1\times n \times (n-1)=n(n-1)(n-2)\cdots\times 2\times 1=n!} {TEX}@@
---
! پیوند های خارجی
[http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0018.pdf]

#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 پنج شنبه 16 شهریور 1385 [13:25 ]   2   زینب معزی      جاری 
 شنبه 11 شهریور 1385 [11:32 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..