تاریخچه ی:
عمل دوتایی
||V{maketoc}||
{DYNAMICMENU()}
__واژهنامه__
*((واژگان جبر))
__مقالات مرتبط__
*((معادله))
*((استقرا))
*((اتحاد))
*((تجزیه))
*((ماتریس))
*((گروه))
*((حلقه))
*((میدان))
*((فضای برداری))
__کتابهای مرتبط__
*((کتابهای جبر))
__[ http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__
__سایتهای مرتبط__
*سایتهای داخلی
**[http://www.tebyan.net/|تبیان]
**[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی]
*سایتهای خارجی
**[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش جبر]
**[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم جبری]
**[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|راهنمای مطالعه جبر]
**[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل جبری]
**[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع جبری]
__گالری تصویر__
*[http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم]
body=
|~|
{DYNAMICMENU}
||ا@#16:گر{TEX()} {G} {TEX}: یک مجموعه ناتهی باشد , یک عمل دوتایی روی مجموعه {TEX()} {G} {TEX} : تابعی مانند {TEX()} {*} {TEX} :است ، بطوریکه:{TEX()} { *: G \times G \to G } {TEX} لازم به ذکر است که {TEX()} { G \times G =\{(a,b)| a,b \in G\} } {TEX}#@||
^@#16:
به اختصار عمل دوتایی * را که روی {TEX()} { a,b } {TEX} اثر کند، را با {TEX()} { ab } {TEX} نمایش میدهیم.یعنی به جای نوشتن{TEX()} { a*b } {TEX} مینویسیم {TEX()} { ab } {TEX} .اگر عمل دوتایی ، جمعی باشد ، از{TEX()} { a+b} {TEX} استفاده میکنیم.
*هر عمل دوتایی به هر عضو {TEX()} { G \times G } {TEX}عنصر یکتایی از {TEX()} {G} {TEX} را نسبت میدهد.
*حاصل ترکیب دو عضو تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به {TEX()} {G} {TEX} باشد.
*عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی {TEX()} {G} {TEX} میشود، معمولا با * یا{TEX()} { \circ } {TEX} نمایش میدهیم.
---
!مثال
*مجموعه ((عدد صحیح|اعداد صحیح)) را در نظر بگیرید ، {TEX()} {* : Z \times Z \to Z } {TEX} را به صورت زیر تعریف میکنیم:
{TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b = a+b } {TEX}
به آسانی دیده میشود * یک عمل دوتایی است
*مجموعه ((عدد طبیعی|اعداد طبیعی)) {TEX()} {N} {TEX} را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است:
{TEX()} {\forall n,m \in N : n*m= n^m } {TEX}
اما عمل فوق در {TEX()} {Z} {TEX} و{TEX()} {Q} {TEX} عمل دوتایی نمیباشد.(چرا؟)
ولی در {TEX()} {R} {TEX} عمل * فوق ، یک عمل دوتایی است.
*عمل * را در {TEX()} {A} {TEX} به صورت زیر تعریف میکنیم:
{TEX()} {\forall a,b \in A : a*b = \left ( \frac{a+ b^2 }{a-b} \right ) } {TEX}
عمل * در {TEX()} {A=Q} {TEX} یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای {TEX()} {a=b} {TEX} جواب {TEX()} {a*b} {TEX} ((بینهایت)) میشود که متعلق به {TEX()} {Q} {TEX} نیست.همچنین است درباره {TEX()} {A=R} {TEX} .
---
!ویژگیهای ممکن برای عمل دوتایی
!!بسته بودن
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی {TEX()} {G} {TEX} باشد و {TEX()} {E \subseteq G} {TEX} . در صورتیکه به ازای هر {TEX()} {a,b \in E} {TEX} شرط {TEX()} { a*b \in E } {TEX} برقرار باشد گوییم {TEX()} {E} {TEX} تحت عمل * بسته است.( بدیهی است که اگر {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواهی از {TEX()} {E} {TEX} باشند ، لزومی ندارد که {TEX()} { a*b \in E } {TEX} باشد.)
__مثال:__
*((مجموعه)) های {TEX()} {N,Z,Q,R } {TEX} تحت عمل جمع بسته میباشند.
*((مجموعه)) های {TEX()} {Z^-, N } {TEX} تحت عمل تقسیم بسته نیستند.
__نکته:__
اگر * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی {TEX()} {G} {TEX} باشد ، مینویسیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} و میخوانیم {TEX()} {G} {TEX} تحت عمل دوتایی *.
!!خاصیت شرکت پذیری
{TEX()} {(G,*)} {TEX} شرکت پذیر است هرگاه داشته باشیم:
{TEX()} {\forall a,b,c \inG : a*(b*c)=(a*b)*c } {TEX}
__مثال:__
* در {TEX()} {Z} {TEX} عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم:
{TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= (a+b)-2 } {TEX}
{TEX()} {Z} {TEX} تحت عمل * شرکت پذیر است.
*روی مجموعه {TEX()} {Z} {TEX} عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم :
{TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= a+b+ab } {TEX}
عمل * روی {TEX()} {Z} {TEX} خاصیت شرکت پذیری دارد.
*عمل تفاضل در {TEX()} {R} {TEX} خاصیت شرکت پذیری ندارد.
!!نیمگروه
مجموعه{TEX()} {(G,*)} {TEX} یک نیمگروه است ، هرگاه تحت * بسته و شرکت پذیر باشد.
__مثال:__
1 . {TEX()} {N} {TEX} تحت جمع نیمگروه است.
2 . {TEX()} {Z} {TEX} تحت تفاضل نیمگروه نیست.
3 . هرگاه {TEX()} {F} {TEX} مجموعه توابع پیوسته به روی {TEX()} {R} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {F} {TEX} تحت عمل جمع ، یک نیمگروه است.
4 . مجموعه توابع تعریف شده روی {TEX()} {R} {TEX} تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیمگروه است.
!!خاصیت جابجایی
((مجموعه)) {TEX()} {(G,*)} {TEX} واجد خاصیت جابجایی است ، هرگاه:
{TEX()} {\forall a,b \in G : a*b=b*a} {TEX}
__مثال:__
اگر {TEX()} {(G,.)} {TEX} مجموعه ((بردار))ها باشد و {TEX()} { \cdot } {TEX} به معنی ((ضرب داخلی)) باشد ، آنگاه {TEX()} {(G,.)} {TEX} دارای خاصیت جابجایی است. اما {TEX()} {(G,\times)} {TEX} که در آن {TEX()} {\times } {TEX} به معنی ((ضرب خارجی)) است، دارای خاصیت جابجایی نیست.
!!عضو خنثی
فرض میکنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} تعریف شده باشد .در صورتیکه عضوی مانند {TEX()} {e \in G } {TEX} یافت شود ، به طوریکه برای هر{TEX()} {a \in G } {TEX} داشته باشیم:
{TEX()} {e*a=a*e=a } {TEX}
آنگاه {TEX()} {e} {TEX} را عضو خنثی{TEX()} {(G,*)} {TEX} مینامیم.
!!عضو وارون
اگر{TEX()} {(G,*)} {TEX} تعریف شده باشد ، و {TEX()} {e} {TEX} عنصر خنثی {TEX()} {G} {TEX} تحت * باشد ، برای هر {TEX()} {a \in G } {TEX}عنصر{TEX()} {a^\prime \in G } {TEX} را وارون {TEX()} {a} {TEX} می نامیم هرگاه:
{TEX()} a^\prime*a=a*a^\prime=e } } {TEX}
---
!همچنین ببینید
*((گروه))
*((حلقه))
*((رابطه))
---
!پیوندهای خارجی
[mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html]
[en.wikipedia.org/wiki/Binary_operation]
^#@