منو
 کاربر Online
784 کاربر online
تاریخچه ی: عمل دوتایی

تفاوت با نگارش: 4

Lines: 1-73Lines: 1-89
 ||V{maketoc}|| ||V{maketoc}||
-
||ا@#16:ر{TEX()} {G} {TEX}: ک موعه ای بشد , یک عم تایی وی مموعه {TEX()} {G} {TEX} : تابی مانند {TEX()} {*} {TEX} :است ویکه:{TEX()} { *: G \times G \to G } {TEX} ام به ذکر است ه {TEX()} { G \times G =\{(a,b)| a,b \in G\} } {TEX}#@||
^@#16:
ب ختصار عل دایی * را که روی {TEX()} { a,b } {TEX} ا ک ا با {TEX()} { ab } {TEX} نمی می‌هیم.ینی ه جای وتن{TEX()} { a*b } {TEX} میوییم {TEX()} { ab } {TEX} . مل دوتایی ، جی باشد ا{TEX()} { a+b} {TEX} استفاده می‌کنیم.

*ه مل تایی ه هر ضو {TEX()} { G \times G } {TEX}نر یکایی ز {TEX()} {G} {TEX} ا نسب می‌دهد.
*اصل ترکی د عض حت یک عمل ویی اید ملق ه {TEX()} {G} {TEX} بشد.
*مل تایی ا ک بب ترکیب ه دو و موعه نهی {TEX()} {G} {TEX} یود، معوا با * یا{TEX()} { \circ } {TEX} نمیش مییم.
+{DYNAMICMENU()}
__واهمه__ />*((اژگ جب)) />__ما متب__ />*((معادله)) />*((استقرا)) />*((تحاد)) />*((یه)) />*((اریس)) />*((روه))
*((حلقه))
*((یا)) />*((ای برداری))<br />__کتاهی بط__ />*((کابهای جبر))<br />__[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 نجمن یی]__
__
ایهای تبط__<br />*سایتی دلی />**[http://www.tebyan.net/|تبیان]
**[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|و
یکی یا فاسی]
*یای اری />**[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|ریخ پیای ب]
**[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|ای هیم ی] />**[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|اهنمای مله جب]
**[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|ل لاین مائ بری] />**[http://www.exampleproblems.com|ولت موع ری] />__گاری صوی__
*[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|
لر عو] />body= />|~|r />{DYNAMICMENU} />!مقمه و مری
 --- ---
-!ال />*وه ((د صحی|اعداد ی)) در نر بیید ، {TEX()} {* : Z \times Z \to Z } {TEX} را ه صورت زی عری می‌یم: />{TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b = a+b } {TEX}
آانی یده می‌د * یک مل وی ا />*مو ((د طبیی|اعداد طبیعی)) {TEX()} {N} {TEX} ا در نظر یید. * با به ی یک ع وایی :
{TEX()} {\forall n,m \in N : n*m= n^m } {TEX}
اا ع و {TEX()} {Z} {TEX} و{TEX()} {Q} {TEX} عمل دوتایی نیاشد.(ر) /> وی {TEX()} {R} {TEX} مل * فو یک عمل دوتایی .
*
مل * ا {TEX()} {A} {TEX} ه و زی تعری می‌کنیم: /> {TEX()} {\forall a,b \in A : a*b = \left ( \frac{a+ b^2 }{a-b} \right ) } {TEX}
م * ر {TEX()} {A=Q} {TEX} یک عمل دوتایی نی . چرا ک ه ازای {TEX()} {a=b} {TEX} جواب {TEX()} {a*b} {TEX} ((بی‌نهایت)) می‌د که ملق به {TEX()} {Q} {TEX} یست.همنی ست دباره {TEX()} {A=R} {TEX} .
+@#13:شاید تاب ال ایهای یدی ا دیده شی که ی ن د ی با هم تری مشوند و سوم متمایزی را اصل می دهند. مثلاً تصور کنی ر یک کاس درس معلم کلاس می‌ید "ب"، "آ" و اش آموان اهم فریاد می‌ند "با". این ار معلم می‌وی "ب"، "و" و اینر دا‌آموا فید منند "بو". و یا در مثالی دیگر در طبیع ملکول‌های هیدروژن و یژن با هم کیب ده و مه ومی چ را پدید میو. ایها گی موه‌هایی اعمالی دوتایی هستند ک در طی نها دو عصر کت کننده شی سوی پید می‌آور. اعمال دوتایی و ه نل آن ارهای ی ز مهمتری و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در دام به عریف دقیق یک عمل دوتایی جبر ی‌پدازیم و ویژگی‌های ها بررسی ینی.#@
!
مل دوایی
 --- ---
-!ویگی‌های ممکن برای عمل دوتایی +@#13:یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون {TEX()} { *: G \times G \to G } {TEX} از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو چون C از G را نسبت می‌دهد. لازم به ذکر است که {TEX()} { G \times G =\{(a,b): a,b \in G\} } {TEX}. با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:
*عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
*عمل دوتایی * یک تابع خوش‌تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو {TEX()} { G \times G } {TEX} عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد.
*حاصل ترکیب دو عضو (a,b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
*عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی * می‌شود، معمولا با * یا {TEX()} { \circ } {TEX} نمایش میدهیم.
اگر * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*,G) برای هر (a,b) عضو G×G حاصل عمل * روی (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولا برای سهولت در نوشتن a*b را به صورت ab می‌نویسیم. همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه‌ را با دو نماد جمعی + و ضربی . نشان می‌دهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد. اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b نشان می‌دهیم.#@
!نمونه‌هایی از اعمال دوتایی
---
@#13:
*مجموعه ((عدد صحیح|اعداد صحیح)) را در نظر ب
یرید ، {TEX()} {* : Z \times Z \to Z } {TEX} را به صورت زیر تعریف می‌نیم: {TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b = a+b } {TEX} به آسانی یده می‌شود * یک عمل دوتایی است.
*مجموع
ه ((عدد طبیعی|اعداد طبیعی)) __N__ را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است: {TEX()} {\forall n,m \in N : n*m= n^m } {TEX} اما عمل فوق در __Z__ و __Q__ عمل دوتایی نمی‌باشد.(چرا؟) ولی در __R__ عمل * فوق ، یک عمل دوتایی است.
*عمل * را در مجموعه A به صورت زیر تعریف می‌
کنیم: {TEX()} {\forall a,b \in A : a*b = \left ( \frac{a+ b^2 }{a-b} \right ) } {TEX} عمل * در A=__Q__ یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده می‌شود که متعلق به __Q__ نیست. همچنین است درباره َA=__R__ .#@
!بسته بودن نسبت به
یک عمل دوتایی
---
@#13:مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی __Z__ برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است. حال مجموعه اعداد صحیح زوج {TEX()} {Z_E} {TEX} که زیرمجموعه‌ای از __Z__ است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج عدی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است. به عبارت برای هر {TEX()} {m,n\in Z_E} {TEX} داریم {TEX()} {m+n\in Z} {TEX} در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است. اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلا مجموعه اعداد صحیح فرد {TEX()} {Z_O} {TEX} را در نظر بگیرید. مجموعه دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر {TEX()} {a,b\in Z_O} {TEX} داریم {TEX()} {a+b\not \in Z_O} {TEX}. در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.
-!!بسته بودن
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی {TEX()} {G} {TEX} باشد و {TEX()} {E \subseteq G} {TEX} . در صورتیکه به ازای هر {TEX()} {a,b \in E} {TEX} شرط {TEX()} { a*b \in E } {TEX} برقرار باشد گوییم {TEX()} {E} {TEX} تحت عمل * بسته است.( بدیهی ا که اگر {TEX()} {a,b} {TEX} نا دلخواهی از {TEX()} {E} {TEX} باشند لزومی ندارد که {TEX()} { a*b \in E } {TEX} بد.) />__مثال:__
+اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و {TEX()} {E \subseteq G} {TEX}nt> گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتیکه به ای هر {TEX()} {a,b \in E} {TEX} اه باشم style="vertical-align:-50%;">{TEX()} { a*b \in E } {TEX} به نون مثال:
 *((مجموعه)) های {TEX()} {N,Z,Q,R } {TEX} تحت عمل جمع بسته می‌باشند. *((مجموعه)) های {TEX()} {N,Z,Q,R } {TEX} تحت عمل جمع بسته می‌باشند.
 *((مجموعه)) های {TEX()} {Z^-, N } {TEX} تحت عمل تقسیم بسته نیستند. *((مجموعه)) های {TEX()} {Z^-, N } {TEX} تحت عمل تقسیم بسته نیستند.
-__ته:__
اگر * یک عمل دوتایی روی مجموعه اتهی {TEX()} {G} {TEX} اشد ، می‌نوییم {TEX()} {(G,*)} {TEX} و می‌خانیم {TEX()} {G} {TEX} ایی *.
+!یگی‌های عمل دوتایی
--- />یک عمل دوتایی روی یک مجموعه ی واند ارا رخی ویژگی‌ای خاص باشد که ه رسی ی‌پدازیم:
 !!خاصیت شرکت پذیری !!خاصیت شرکت پذیری
-{TEX()} {(G,*)} {TEX} شرکت پذیر است هرگاه داشته باشیم:<br />{TEX()} {\forall a,b,c \inG : a*(b*c)=(a*b)*c } {TEX}<br />__مثال:__
* در {TEX()} {Z} {TEX} عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم: />{TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= (a+b)-2 } {TEX}
{TEX()} {
Z} {TEX} تحت عمل * شرکت پذیر است.
*روی مجموعه {TEX()} {Z} {TEX} عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم : />{TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= a+b+ab } {TEX}
عمل * روی {TEX()} {Z} {TEX} خاصیت شرکت پذیری دارد.
*عمل تفاضل در {TEX()} {R} {TEX} خاصیت شرکت پذیری ندارد.
+فرض کنید * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G باشد. در این صورت می‌گوییم عمل * روی G شرکت پذیر است هرگاه برای هر a,b,c متعلق به مجموعه G داشته باشیم: <font style="vertical-align:-50%;">{TEX()} {a*(b*c)=(a*b)*c} {TEX}font> به عنوان مثال:
* در __Z__ عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم: {TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= (a+b)-2 } {TEX} __Z__ تحت عمل * شرکت پذیر است.
*روی مجموعه __Z__ عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم : {TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= a+b+ab } {TEX} عمل * روی __Z__ خاصیت شرکت پذیری دارد.
*عمل تفاضل در __R__ خاصیت شرکت پذیری ندارد.
 !!نیم‌گروه !!نیم‌گروه
-مجموعه{TEX()} {(G,*)} {TEX} یک نیم‌گروه است ، هرگاه حت * سته و شرکت پذیر باشد. />__مثال:__
1 . {TEX()} {N} {TEX} تحت جمع نیم‌گروه است.
2 . {TEX()} {Z} {TEX} تحت تفاضل نیم‌گروه نیست.
3 . هرگاه {TEX()} {F} {TEX} مجموعه توابع پیوسته به روی {TEX()} {R} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {F} {TEX} تحت عمل جمع ، یک نیم‌گروه است.
4 . مجموعه توابع تعریف شده روی {TEX()} {R} {TEX} تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیم‌گروه است.
+مجموعه {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((نیم‌گروه)) است هر گاه مل * وی G شرکت پذیر باشد. به عنوان مثال:
*__N__ تحت جمع نیم‌گروه است.
*__Z__ تحت تفاضل نیم‌گروه نیست.
*هرگاه __F__ مجموعه توابع پیوسته به روی __R__ باشد ، آنگاه __F__ تحت عمل جمع ، یک نیم‌گروه است.
*مجموعه توابع تعریف شده روی __R__ تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیم‌گروه است.
 !!خاصیت جابجایی !!خاصیت جابجایی
-((مجموعه)) {TEX()} {(G,*)} {TEX} واد یت جابجایی است هرگاه: /> {TEX()} {\forall a,b \in G : a*b=b*a} {TEX}
__
مل:__ />گر {TEX()} {(G,.)} {TEX} مجموعه ((بردا))ها باشد {TEX()} { \cdot } {TEX} به معنی ((رب الی)) اد ، ناه {TEX()} {(G,.)} {TEX} دی اصیت جابجایی است. ما {TEX()} {(G,\times)} {TEX} ک ر آ {TEX()} {\times } {TEX} معی (( خای)) است دارای خاصیت جابجایی نی.
+فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی وی G باشد. ین صورت عمل * را روی G جابجایی م‌گوییم هرگاه برای هر دو عضو a و b ملق ه مجموعه G داته باشی a*b=b*a. به عنون مال مل مع اداد و عاد یی ملی جابجایی است و م فری ی مجموع ا قیق دارای خاصیت جاجایی نمشد.
 !!عضو خنثی !!عضو خنثی
-فرض ی‌کیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} تعری ده باشد .در ورتی‌ه عضوی مانند {TEX()} {e \in G } {TEX} یات ود ، به وی‌که برای ر{TEX()} {a \in G } {TEX} ته ایم:<br />{TEX()} {e*a=a*e=a } {TEX}<br />آگاه {TEX()} {e} {TEX} را عضو خنثی{TEX()} {(G,*)} {TEX} ینامی.<br /> +فرض کید G مجموعهای ناتهی و * ک عل دوتایی تعریف در G باشد. در این صورت عضو e متعلق مجموعه G را عضو خنثی یا همانی G نسبت به عمل * می‌گوییم هرگاه برای ر a ملقع به مجموعه G داشته باشیم: e*a=a*e=a
ر e عضو G چنان باشد که برای ه a عضو G داشته باشیم a*e=a آنگاه e را عضو خنثی راست می‌وییم و اگر برای هر a متعلق به G داشته باشیم e*a=a آنگاه e را عضو خنثی چپ می‌گوییم. به عناون مثال در مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع عدد صحیح صفر عضو خنثی عمل جمع است و عضو خنثی ضرب در مجموعه ماتریس‌های مربعی از مرتبه n ماتریس همای است.
ال ممکن است این سوال پیش بیاید که ا یک مجموعه نسبت به یک مل دوایی می‌تواند دارای دو عضو خنثی باشد. پاسخ در قضیه زیر است که می گوید:
__قضیه:__ عضو خنثی یک ساختمان ج
بری در صورت وجود منحصر بفرد است.
*برهان: فرض کن
ید (*,G) یک ساختان جبری با دو عضو خنثی {TEX()} {e} {TEX} و l-align:-50%;">{TEX()} {e^\prime} {TEX}nt> باشد. در این صورت چون {TEX()} {e^\prime\in G} {TEX} و e و نثی G نسبت به مل * ات داریم <font style="vertical-align:-50%;">{TEX()} {e^\prime=e*e^\prime} {TEX}. و چون e="vertical-align:-50%;">{TEX()} {e\in G} {TEX}font> {TEX()} {e^\prime} {TEX} عضو خنثی G است داریم {TEX()} {e*e^\prime=e} {TEX} ک دو تساوی اخر نشان می دد <font style="vertical-align:-50%;">{TEX()} {e=e^\prime} {TEX}</font> و حکم ثابت می شود.
 !!عضو وارون !!عضو وارون
-{TEX()} {(G,*)} {TEX} عی د باشد ، و {TEX()} {e} {TEX} عنر خنثی {TEX()} {G} {TEX} ت * باشد برای ر {TEX()} {a \in G } {TEX}عر{TEX()} {a^\prime \in G } {TEX} را وارون {TEX()} {a} {TEX} می نامیم هرگاه:<br /> {TEX()} a^\prime*a=a*a^\prime=e } } {TEX} +فض نی G یک مموعه نتهی * یک مل دتایی روی G باشد و e عو خنثی G نت به عمل * باشد. ر این صرت عضو a متعق ه G را نسبت به عمل * وارون پذیر (معکوس پذیر) مینامیم هرگاه عضوی چون b موجود باشد که a*b=b*a=e. همچنین اگر b چنان موجود باشد که a*b=e گوییم b معکوس راست a است و اگر b چنان باشد که b*a=e آنگاه b را معکوس چپ a مِی‌نامیم.#@
 --- ---
-همچنین ببینید +!همچنین ببینید
 *((گروه)) *((گروه))
 *((حلقه)) *((حلقه))
 *((رابطه)) *((رابطه))
-^#@
+---
!پیوندهای خارجی
[mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html]
[en.wikipedia.org/wiki/Binary_operation]

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 چهارشنبه 02 خرداد 1386 [15:17 ]   13   مرادی فر      جاری 
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:27 ]   12   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:27 ]   11   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:27 ]   10   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:27 ]   9   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:27 ]   8   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:27 ]   7   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [10:27 ]   6   علی هادی      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [10:35 ]   5   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [14:31 ]   4   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [14:29 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [05:31 ]   2   زینب معزی      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [11:50 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..