تاریخچه ی:
عمل دوتایی
تفاوت با نگارش: 4
| ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
- | ||ا@#16:ر{TEX()} {G} {TEX}: ک موعه ای بشد , یک عم تایی وی مموعه {TEX()} {G} {TEX} : تابی مانند {TEX()} {*} {TEX} :است ویکه:{TEX()} { *: G \times G \to G } {TEX} ام به ذکر است ه {TEX()} { G \times G =\{(a,b)| a,b \in G\} } {TEX}#@|| ^@#16: ب ختصار عل دایی * را که روی {TEX()} { a,b } {TEX} ا ک ا با {TEX()} { ab } {TEX} نمی میهیم.ینی ه جای وتن{TEX()} { a*b } {TEX} میوییم {TEX()} { ab } {TEX} . مل دوتایی ، جی باشد ا{TEX()} { a+b} {TEX} استفاده میکنیم.
*ه مل تایی ه هر ضو {TEX()} { G \times G } {TEX}نر یکایی ز {TEX()} {G} {TEX} ا نسب میدهد. *اصل ترکی د عض حت یک عمل ویی اید ملق ه {TEX()} {G} {TEX} بشد. *مل تایی ا ک بب ترکیب ه دو و موعه نهی {TEX()} {G} {TEX} یود، معوا با * یا{TEX()} { \circ } {TEX} نمیش مییم. |
+ | {DYNAMICMENU()} __واهمه__ />*((اژگ جب)) />__ما متب__ />*((معادله)) />*((استقرا)) />*((تحاد)) />*((یه)) />*((اریس)) />*((روه)) *((حلقه)) *((یا)) />*((ای برداری))<br />__کتاهی بط__ />*((کابهای جبر))<br />__[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن یی]__ __ایهای تبط__<br />*سایتی دلی />**[http://www.tebyan.net/|تبیان] **[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی یا فاسی] *یای اری />**[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|ریخ پیای ب] **[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|ای هیم ی] />**[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|اهنمای مله جب] **[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|ل لاین مائ بری] />**[http://www.exampleproblems.com|ولت موع ری] />__گاری صوی__ *[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|لر عو] />body= />|~|r />{DYNAMICMENU} />!مقمه و مری |
| --- | | --- |
- | !ال />*وه ((د صحی|اعداد ی)) در نر بیید ، {TEX()} {* : Z \times Z \to Z } {TEX} را ه صورت زی عری مییم: />{TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b = a+b } {TEX} آانی یده مید * یک مل وی ا />*مو ((د طبیی|اعداد طبیعی)) {TEX()} {N} {TEX} ا در نظر یید. * با به ی یک ع وایی : {TEX()} {\forall n,m \in N : n*m= n^m } {TEX} اا ع و {TEX()} {Z} {TEX} و{TEX()} {Q} {TEX} عمل دوتایی نیاشد.(ر) /> وی {TEX()} {R} {TEX} مل * فو یک عمل دوتایی . *مل * ا {TEX()} {A} {TEX} ه و زی تعری میکنیم: /> {TEX()} {\forall a,b \in A : a*b = \left ( \frac{a+ b^2 }{a-b} \right ) } {TEX} م * ر {TEX()} {A=Q} {TEX} یک عمل دوتایی نی . چرا ک ه ازای {TEX()} {a=b} {TEX} جواب {TEX()} {a*b} {TEX} ((بینهایت)) مید که ملق به {TEX()} {Q} {TEX} یست.همنی ست دباره {TEX()} {A=R} {TEX} . |
+ | @#13:شاید تاب ال ایهای یدی ا دیده شی که ی ن د ی با هم تری مشوند و سوم متمایزی را اصل می دهند. مثلاً تصور کنی ر یک کاس درس معلم کلاس میید "ب"، "آ" و اش آموان اهم فریاد میند "با". این ار معلم میوی "ب"، "و" و اینر داآموا فید منند "بو". و یا در مثالی دیگر در طبیع ملکولهای هیدروژن و یژن با هم کیب ده و مه ومی چ را پدید میو. ایها گی موههایی اعمالی دوتایی هستند ک در طی نها دو عصر کت کننده شی سوی پید میآور. اعمال دوتایی و ه نل آن ارهای ی ز مهمتری و مقدماتیترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در دام به عریف دقیق یک عمل دوتایی جبر یپدازیم و ویژگیهای ها بررسی ینی.#@ !مل دوایی |
| --- | | --- |
- | !ویگیهای ممکن برای عمل دوتایی |
+ | @#13:یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون {TEX()} { *: G \times G \to G } {TEX} از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو چون C از G را نسبت میدهد. لازم به ذکر است که {TEX()} { G \times G =\{(a,b): a,b \in G\} } {TEX}. با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد: *عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد. *عمل دوتایی * یک تابع خوشتعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو {TEX()} { G \times G } {TEX} عنصر یکتایی از G را نسبت میدهد. *حاصل ترکیب دو عضو (a,b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد. *عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی * میشود، معمولا با * یا {TEX()} { \circ } {TEX} نمایش میدهیم. اگر * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد مینویسم (*,G) برای هر (a,b) عضو G×G حاصل عمل * روی (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمولتر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولا برای سهولت در نوشتن a*b را به صورت ab مینویسیم. همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه را با دو نماد جمعی + و ضربی . نشان میدهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد. اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان میدهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b نشان میدهیم.#@ !نمونههایی از اعمال دوتایی --- @#13: *مجموعه ((عدد صحیح|اعداد صحیح)) را در نظر بیرید ، {TEX()} {* : Z \times Z \to Z } {TEX} را به صورت زیر تعریف مینیم: {TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b = a+b } {TEX} به آسانی یده میشود * یک عمل دوتایی است. *مجموعه ((عدد طبیعی|اعداد طبیعی)) __N__ را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است: {TEX()} {\forall n,m \in N : n*m= n^m } {TEX} اما عمل فوق در __Z__ و __Q__ عمل دوتایی نمیباشد.(چرا؟) ولی در __R__ عمل * فوق ، یک عمل دوتایی است. *عمل * را در مجموعه A به صورت زیر تعریف میکنیم: {TEX()} {\forall a,b \in A : a*b = \left ( \frac{a+ b^2 }{a-b} \right ) } {TEX} عمل * در A=__Q__ یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده میشود که متعلق به __Q__ نیست. همچنین است درباره َA=__R__ .#@ !بسته بودن نسبت به یک عمل دوتایی --- @#13:مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی __Z__ برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است. حال مجموعه اعداد صحیح زوج {TEX()} {Z_E} {TEX} که زیرمجموعهای از __Z__ است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج عدی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است. به عبارت برای هر {TEX()} {m,n\in Z_E} {TEX} داریم {TEX()} {m+n\in Z} {TEX} در این حالت اصطلاحاً میگوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است. اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلا مجموعه اعداد صحیح فرد {TEX()} {Z_O} {TEX} را در نظر بگیرید. مجموعه دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر {TEX()} {a,b\in Z_O} {TEX} داریم {TEX()} {a+b\not \in Z_O} {TEX}. در این حالت میگوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمیباشد. |
- | !!بسته بودن اگر {TEX()} {G} {TEX} یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی {TEX()} {G} {TEX} باشد و {TEX()} {E \subseteq G} {TEX} . در صورتیکه به ازای هر {TEX()} {a,b \in E} {TEX} شرط {TEX()} { a*b \in E } {TEX} برقرار باشد گوییم {TEX()} {E} {TEX} تحت عمل * بسته است.( بدیهی ا که اگر {TEX()} {a,b} {TEX} نا دلخواهی از {TEX()} {E} {TEX} باشند لزومی ندارد که {TEX()} { a*b \in E } {TEX} بد.) />__مثال:__ |
+ | اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و {TEX()} {E \subseteq G} {TEX}nt> گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتیکه به ای هر {TEX()} {a,b \in E} {TEX} اه باشم style="vertical-align:-50%;">{TEX()} { a*b \in E } {TEX} به نون مثال: |
| *((مجموعه)) های {TEX()} {N,Z,Q,R } {TEX} تحت عمل جمع بسته میباشند. | | *((مجموعه)) های {TEX()} {N,Z,Q,R } {TEX} تحت عمل جمع بسته میباشند. |
| *((مجموعه)) های {TEX()} {Z^-, N } {TEX} تحت عمل تقسیم بسته نیستند. | | *((مجموعه)) های {TEX()} {Z^-, N } {TEX} تحت عمل تقسیم بسته نیستند. |
- | __ته:__ اگر * یک عمل دوتایی روی مجموعه اتهی {TEX()} {G} {TEX} اشد ، مینوییم {TEX()} {(G,*)} {TEX} و میخانیم {TEX()} {G} {TEX} ایی *.
|
+ | !یگیهای عمل دوتایی --- />یک عمل دوتایی روی یک مجموعه ی واند ارا رخی ویژگیای خاص باشد که ه رسی یپدازیم: |
| !!خاصیت شرکت پذیری | | !!خاصیت شرکت پذیری |
- | {TEX()} {(G,*)} {TEX} شرکت پذیر است هرگاه داشته باشیم:<br />{TEX()} {\forall a,b,c \inG : a*(b*c)=(a*b)*c } {TEX}<br />__مثال:__ * در {TEX()} {Z} {TEX} عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم: />{TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= (a+b)-2 } {TEX} {TEX()} {Z} {TEX} تحت عمل * شرکت پذیر است. *روی مجموعه {TEX()} {Z} {TEX} عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم : />{TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= a+b+ab } {TEX} عمل * روی {TEX()} {Z} {TEX} خاصیت شرکت پذیری دارد. *عمل تفاضل در {TEX()} {R} {TEX} خاصیت شرکت پذیری ندارد.
|
+ | فرض کنید * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G باشد. در این صورت میگوییم عمل * روی G شرکت پذیر است هرگاه برای هر a,b,c متعلق به مجموعه G داشته باشیم: <font style="vertical-align:-50%;">{TEX()} {a*(b*c)=(a*b)*c} {TEX}font> به عنوان مثال: * در __Z__ عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم: {TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= (a+b)-2 } {TEX} __Z__ تحت عمل * شرکت پذیر است. *روی مجموعه __Z__ عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم : {TEX()} {\forall a,b \in Z : a*b= a+b+ab } {TEX} عمل * روی __Z__ خاصیت شرکت پذیری دارد. *عمل تفاضل در __R__ خاصیت شرکت پذیری ندارد. |
| !!نیمگروه | | !!نیمگروه |
- | مجموعه{TEX()} {(G,*)} {TEX} یک نیمگروه است ، هرگاه حت * سته و شرکت پذیر باشد. />__مثال:__ 1 . {TEX()} {N} {TEX} تحت جمع نیمگروه است. 2 . {TEX()} {Z} {TEX} تحت تفاضل نیمگروه نیست. 3 . هرگاه {TEX()} {F} {TEX} مجموعه توابع پیوسته به روی {TEX()} {R} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {F} {TEX} تحت عمل جمع ، یک نیمگروه است. 4 . مجموعه توابع تعریف شده روی {TEX()} {R} {TEX} تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیمگروه است.
|
+ | مجموعه {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((نیمگروه)) است هر گاه مل * وی G شرکت پذیر باشد. به عنوان مثال: *__N__ تحت جمع نیمگروه است. *__Z__ تحت تفاضل نیمگروه نیست. *هرگاه __F__ مجموعه توابع پیوسته به روی __R__ باشد ، آنگاه __F__ تحت عمل جمع ، یک نیمگروه است. *مجموعه توابع تعریف شده روی __R__ تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیمگروه است. |
| !!خاصیت جابجایی | | !!خاصیت جابجایی |
- | ((مجموعه)) {TEX()} {(G,*)} {TEX} واد یت جابجایی است هرگاه: /> {TEX()} {\forall a,b \in G : a*b=b*a} {TEX} __مل:__ />گر {TEX()} {(G,.)} {TEX} مجموعه ((بردا))ها باشد {TEX()} { \cdot } {TEX} به معنی ((رب الی)) اد ، ناه {TEX()} {(G,.)} {TEX} دی اصیت جابجایی است. ما {TEX()} {(G,\times)} {TEX} ک ر آ {TEX()} {\times } {TEX} معی (( خای)) است دارای خاصیت جابجایی نی.
|
+ | فرض کنید G مجموعهای ناتهی و * یک عمل دوتایی وی G باشد. ین صورت عمل * را روی G جابجایی مگوییم هرگاه برای هر دو عضو a و b ملق ه مجموعه G داته باشی a*b=b*a. به عنون مال مل مع اداد و عاد یی ملی جابجایی است و م فری ی مجموع ا قیق دارای خاصیت جاجایی نمشد. |
| !!عضو خنثی | | !!عضو خنثی |
- | فرض یکیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} تعری ده باشد .در ورتیه عضوی مانند {TEX()} {e \in G } {TEX} یات ود ، به ویکه برای ر{TEX()} {a \in G } {TEX} ته ایم:<br />{TEX()} {e*a=a*e=a } {TEX}<br />آگاه {TEX()} {e} {TEX} را عضو خنثی{TEX()} {(G,*)} {TEX} ینامی.<br /> |
+ | فرض کید G مجموعهای ناتهی و * ک عل دوتایی تعریف در G باشد. در این صورت عضو e متعلق مجموعه G را عضو خنثی یا همانی G نسبت به عمل * میگوییم هرگاه برای ر a ملقع به مجموعه G داشته باشیم: e*a=a*e=a ر e عضو G چنان باشد که برای ه a عضو G داشته باشیم a*e=a آنگاه e را عضو خنثی راست میوییم و اگر برای هر a متعلق به G داشته باشیم e*a=a آنگاه e را عضو خنثی چپ میگوییم. به عناون مثال در مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع عدد صحیح صفر عضو خنثی عمل جمع است و عضو خنثی ضرب در مجموعه ماتریسهای مربعی از مرتبه n ماتریس همای است. ال ممکن است این سوال پیش بیاید که ا یک مجموعه نسبت به یک مل دوایی میتواند دارای دو عضو خنثی باشد. پاسخ در قضیه زیر است که می گوید: __قضیه:__ عضو خنثی یک ساختمان جبری در صورت وجود منحصر بفرد است. *برهان: فرض کنید (*,G) یک ساختان جبری با دو عضو خنثی {TEX()} {e} {TEX} و l-align:-50%;">{TEX()} {e^\prime} {TEX}nt> باشد. در این صورت چون {TEX()} {e^\prime\in G} {TEX} و e و نثی G نسبت به مل * ات داریم <font style="vertical-align:-50%;">{TEX()} {e^\prime=e*e^\prime} {TEX}. و چون e="vertical-align:-50%;">{TEX()} {e\in G} {TEX}font> {TEX()} {e^\prime} {TEX} عضو خنثی G است داریم {TEX()} {e*e^\prime=e} {TEX} ک دو تساوی اخر نشان می دد <font style="vertical-align:-50%;">{TEX()} {e=e^\prime} {TEX}</font> و حکم ثابت می شود. |
| !!عضو وارون | | !!عضو وارون |
- | {TEX()} {(G,*)} {TEX} عی د باشد ، و {TEX()} {e} {TEX} عنر خنثی {TEX()} {G} {TEX} ت * باشد برای ر {TEX()} {a \in G } {TEX}عر{TEX()} {a^\prime \in G } {TEX} را وارون {TEX()} {a} {TEX} می نامیم هرگاه:<br /> {TEX()} a^\prime*a=a*a^\prime=e } } {TEX} |
+ | فض نی G یک مموعه نتهی * یک مل دتایی روی G باشد و e عو خنثی G نت به عمل * باشد. ر این صرت عضو a متعق ه G را نسبت به عمل * وارون پذیر (معکوس پذیر) مینامیم هرگاه عضوی چون b موجود باشد که a*b=b*a=e. همچنین اگر b چنان موجود باشد که a*b=e گوییم b معکوس راست a است و اگر b چنان باشد که b*a=e آنگاه b را معکوس چپ a مِینامیم.#@ |
| --- | | --- |
- | همچنین ببینید |
+ | !همچنین ببینید |
| *((گروه)) | | *((گروه)) |
| *((حلقه)) | | *((حلقه)) |
| *((رابطه)) | | *((رابطه)) |
- | ^#@
|
+ | --- !پیوندهای خارجی [mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html] [en.wikipedia.org/wiki/Binary_operation] |