تاریخچه ی:
عدد مختلط
||V{maketoc}||
^@#16:
!عدد مختلط
یک عدد مختلط به صورت {TEX()} {z=a+bi} {TEX} یا {TEX()} {z=(a,b)} {TEX} تعریف میشود که در آن {TEX()} {a,b} {TEX} دو ((عدد حقیقی)) اند.در این نمایش {TEX()} {i} {TEX} را واحد موهومی مینامند و دارای خاصیت {TEX()} {i^2=-1} {TEX} میباشد.
{TEX()} {a} {TEX} را قسمت حقیقی عدد {TEX()} {z} {TEX} و {TEX()} {b} {TEX} را قسمت موهومی آن گویند و به ترتیب با {TEX()} {Re(z)} {TEX} و {TEX()} {Im(z)} {TEX} نمایش میدهند.
!!مزدوج عدد مختلط
{TEX()} {(a,-b)} {TEX} را مزدوج {TEX()} {z} {TEX} نامیده و با {TEX()} {\overline z} {TEX} نمایش میدهند . به عبارت دیگر مزدوج {TEX()} {z} {TEX} عبارت است از {TEX()} {\overline z=a-bi} {TEX}.
!!تساوی دو عدد مختلط
دو عدد مختلط {TEX()} {z=a+bi} {TEX} و {TEX()} {z^\prime=a^\prime + b^\prime i} {TEX} را مساوی گویند ، اگر و فقط اگر {TEX()} {a=a^\prime} {TEX}و{TEX()} {b=b^\prime} {TEX}.
!!نکته
می توانیم مجموعه اعداد حقیقی {TEX()} {R} {TEX} را ((زیرمجموعه)) اعداد مختلط {TEX()} {C} {TEX} در نظر بگیریم. چرا که اگر {TEX()} {b=0} {TEX} ، آنگاه {TEX()} {z} {TEX} یک عدد حقیقی خواهد بود. حال اگر {TEX()} {a=0} {TEX} باشد ، {TEX()} {z=bi} {TEX} را یک عدد موهومی محض نامند.
---
!عملیات اساسی با اعداد مختلط
@@{TEX()} {(a+bi) \pm (c+di)=(a \pm c)+(b \pm d)i} {TEX}@@
@@{TEX()} {(a+bi)(c+di)=(ac-bd)(ad+bc)i} {TEX}@@
@@{TEX()} {\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di}=\frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2-d^2i^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+ \frac{bc-ad}{c^2+d^2} i} {TEX}@@
---
!شکل مثلثاتی یا قطبی اعداد مختلط
اگر {TEX()} {z} {TEX}نقطه ای از صفحه مختلط ، متناظر به عدد {TEX()} {(x,y)} {TEX} یا {TEX()} {z=x+iy} {TEX} باشد ، آنگاه طبق شکل داریم
@@{picture=img/daneshnameh_up/c/c2/Complex.png}@@
{TEX()} {x=rcos \theta \ , \ y=rsin \theta} {TEX}
که در آن {TEX()} {r=\sqrt{x^2+y^2}=|x+iy|} {TEX} را ((قدر مطلق)) یا نرم یا مدول عدد مختلط {TEX()} {z=x+iy} {TEX} گویند و با {TEX()} {|z|} {TEX}یا {TEX()} {mod(z)} {TEX} نشان میدهند و {TEX()} {\theta} {TEX} را آرگومان یا فاز عدد {TEX()} {z} {TEX} گویند و با {TEX()} {arg(z)} {TEX} نمایش میدهند که زاویه بین {TEX()} {oz} {TEX} با جهت مثبت محور {TEX()} {x} {TEX} ها است. لذا خواهیم داشت :
@@{TEX()} {z=x+iy=r(cos \theta +i sin \theta )} {TEX}@@
وآن را شکل مثلثاتی یا قطبی عدد مختلط گویند و {TEX()} {(r, \theta)} {TEX} را مختصات قطبی نامند . اغلب ترجیح داده میشود به جای عبارت {TEX()} { cos \theta +i sin \theta } {TEX} از نماد {TEX()} {cis \theta} {TEX} استفاده شود.
---
!قضیه دموآر
اگر به ازای {TEX()} {k=1,2} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {z_k=r_k(cos \theta _k +i sin \theta _k) } {TEX}آنگاه روابط زیر برقرارند:
@@{TEX()} {z_1z_2=r_1r_2[cos( \theta _1+ \theta _2) +i sin (\theta _1+\theta _2)]} {TEX}@@
@@{TEX()} {\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[ cos( \theta _1- \theta _2) +i sin (\theta _1-\theta _2)]} {TEX}@@
و از تعمیم آن خواهیم داشت:
@@{TEX()} {z^n=r^n(cos \ n\theta +isin \ n\theta)} {TEX}@@
---
!ریشه های اعداد مختلط
عدد مختلط {TEX()} {w} {TEX} را ریشه {TEX()} {n} {TEX} ام عدد مختلط{TEX()} {z} {TEX} گویند ، اگر {TEX()} {w^n=z} {TEX}باشد و مینویسند{TEX()} {w=z^{\frac{1}{n}}} {TEX}.اگر{TEX()} {n} {TEX} عددی ((عدد صحیح|صحیح)) و مثبت باشد ، میتوان به کمک قضیه دموآر نشان داد که:
@@{TEX()} {z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}[cos (\frac{\theta +2k\pi}{n})+isin(\frac{\theta+2k \pi}{n})]} {TEX}@@
از اینجا نتیجه میشود که {TEX()} {n} {TEX} مقدار مختلف برای {TEX()} {z^{\frac{1}{n}}} {TEX} وجود دارد. یعنی {TEX()} {z} {TEX} به شرط ناصفر بودن ،{TEX()} {n} {TEX}ریشه {TEX()} {n} {TEX} ام مختلف دارد.
---
!فرمول(( اویلر))
می دانیم که:
@@{TEX()} {e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots} {TEX}@@
اگر قرار دهیم {TEX()} {x=i\theta} {TEX} و نتیجه را مرتب کنیم ، خواهیم داشت:
@@{TEX()} {e^{i\theta}=cos \ \theta + isin \ \theta} {TEX}@@
که این فرمول را فرمول اویلر گویند . در حالت کلی :
@@{TEX()} {e^z=e^{x+iy}=e^x \ e^{iy}=e^x(cos \ y+i sin \ y)} {TEX}@@
!همچنین ببینید
*((عدد گویا))
*((عدد گنگ))
*((عدد حقیقی))
#@^