• ویژگی‌های جبری
• تعریف اعداد صحیح از روی اعداد طبیعی
• همچنین ببینید:
• پیوندهای خارجی

به مجموعه‌ی اعداد زیر ،‌ اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش می‌دهند:
::{ ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = Z
درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است.
این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است.
شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی‌های اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد.

---

ویژگی‌های جبری

اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است.
و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.

جمع ضرب بسته بودن a × b یک عدد صحیح است a+b یک عدد صحیح است شرکت پذیری a + (b + c) =(a + b) + c a × (b × c)=(a × b) × c جابجایی a+b = b+a a×b = b×a عضو همانی a+0 = a a×1 = a وارون a+ (−a) = 0 ندارد توزیع پذیری (a×(b + c) = (a × b)+(a × c

با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک گروه آبلی را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل گروه نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو معکوس در Z نیستند.

---

اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام الگوریتم تقسیم در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه:
عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقی‌مانده مینامند. این روش ،اساس محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک میباشد.

---

تعریف اعداد صحیح از روی اعداد طبیعی

می‌خواهیم از روی اعداد طبیعی مجموعه‌ی اعداد صحیح را به کمک منطق کلاسیک و اصول ZF تولید کنیم.
رابطه‌ی ~ را روی __Nتعریف می‌کنیم:
('a , b) ~ (a' , b) اگر و تنها اگر a+b' = a'+b
رابطه‌ی فوق یک رابطه‌ی هم‌ارزی است.

به مجموعه‌ی کلاس های هم ارزی رابطه‌ی هم‌ارزی ~ ، اعداد صحیح می‌گویند.

در واقع هر عدد صحیح عبارت است از b-a برای یک عضو از یک کلاس هم‌ارزی.
مثلا 3=کلاس هم‌ارزیِ {(4 , 1) , (5 , 2) , ... } , 7- = کلاس هم‌ارزیِ {(1, 8) , (2 , 9) , ... }.
شکل روبرو تعریف را ساده‌تر نمایش می‌دهد . هر عدد صحیح معادل یک کلاس هم‌ارزی است که اعضای هر کلاس هم‌ارزی با یک رنگ نشان داده شده‌اند.

---

همچنین ببینید:

• نمایش دودویی عدد صحیح
• عدد طبیعی
• ZFC

---

پیوندهای خارجی

http://web01.shu.edu/projects/reals/logic/numbers.html

• ویژگیهای جبری
• خواص خوش ترتیبی
• همچنمن ببینید:
  • نمایش دودویی اعداد صحیح

عکس پیدا نشد

اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفراست.
این اعداد را با Z نشان میدهند.این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است.شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگیهای اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد.

ویژگیهای جبری

اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است.
و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمیتواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.

جمع ضرب بسته بودن a × b یک عدد صحیح است a+b یک عدد صحیح است شرکت پذیری a + (b + c) =(a + b) + c a × (b × c)=(a × b) × c جابجایی a+b = b+a a×b = b×a عضو همانی a+0 = a a×1 = a عضو خنثی a+ (−a) = 0 توزیع پذیری (a×(b + c) = (a × b)+(a × c

با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک گروه آبلی را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل گروه نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو معکوس در Z نیستند.
اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام الگوریتم تقسیم در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه:
عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقیمانده مینامند. این روش ،اساس محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک میباشد.

خواص خوش ترتیبی

اعداد صحیح یک مجموعه مرتب است که دارای کران بالا و کران پایین نیست.



یک عدد صحیح مثبت است اگر بزرگتر از صفر باشدو منفی است اگر کوچکتر از صفر باشد. صفر عددی تعریف میشود که نه مثبت و نه منفی است.
از خوش ترتیب بودن اعداد صحیح می توان نتایج زیر را بدست آورد:

1.اگر و انگاه

2.اگر و آنگاه , و اگر آنگاه

همچنمن ببینید:

نمایش دودویی اعداد صحیح