تاریخچه ی:
عدد صحیح
تفاوت با نگارش: 10
| | V{maketoc} | | V{maketoc} |
| - | اعداد صحیح شامل ((عدد طبیعی|اعداد طبیعی)) مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد ((صفر))است.
این اعداد را با Z نشان میدهند.این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است.شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگیهای اعداد صحیح می پردازد((نظریه اعداد)) نام دارد.
!ویژگیهای ((جبر|جبری)) |
+ |
به مجموعه‌ی اعداد زیر ، __اعداد صحیح__ یا __اعداد درست__ گویند و آن را با __Z__ نمایش میدهند:
::{ ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = Z
درواقع اعداد صحیح شامل ((عدد طبیعی|اعداد طبیعی)) مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد ((صفر)) است.
این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است.
شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگهای اعداد صحیح می پردازد((نظریه اعداد)) نام دارد.
---
!ویژگهای ((جبر|جبری)) |
| | اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی ((جمع)) و ((ضرب)) هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. | | اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی ((جمع)) و ((ضرب)) هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. |
| - | و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمیتواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد. |
+ | و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمتواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.
|
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | || | __جمع__ | __ ضرب__ | | || | __جمع__ | __ ضرب__ |
| | ((بسته بودن))|a × b یک عدد صحیح است |a+b یک عدد صحیح است | | ((بسته بودن))|a × b یک عدد صحیح است |a+b یک عدد صحیح است |
| | ((شرکت پذیری)) |a + (b + c) =(a + b) + c | a × (b × c)=(a × b) × c | | ((شرکت پذیری)) |a + (b + c) =(a + b) + c | a × (b × c)=(a × b) × c |
| | ((جابجایی))|::a+b = b+a::|::a×b = b×a:: | | ((جابجایی))|::a+b = b+a::|::a×b = b×a:: |
| | ((عضو همانی))|::a+0 = a::|::a×1 = a:: | | ((عضو همانی))|::a+0 = a::|::a×1 = a:: |
| - | ((و خنثی))|::a+ (−a) = 0::| |
+ | ((وون))|::a+ (−a) = 0::|:: ندارد:: |
| | ((توزیع پذیری))| ::(a×(b + c) = (a × b)+(a × c::|| | | ((توزیع پذیری))| ::(a×(b + c) = (a × b)+(a × c::|| |
| | | | |
| | | | |
| | | | | |
|
| | با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک ((گروه آبلی)) را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل ((گروه)) نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو معکوس در Z نیستند. | | با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک ((گروه آبلی)) را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل ((گروه)) نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو معکوس در Z نیستند. |
| - | اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام((الگوریتم تقسیم)) در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه: {TEX()} {0\le \;r<|b|} {TEX} {TEX()} {a = b\times q +r } {TEX}
عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقیمانده مینامند. این روش ،اساس محاسبه ((بزرگترین مقسوم علیه مشترک)) میباشد.
!اص وش یی
اعداد صحیح یک موع مرتب است که ارای(( را بالا)) و ((کرا ایی)) نیست.
{TEX()} {\ldots < -2<-1<<1<2<\ldots} {TEX} |
+ | ---
اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام ((الگوریتم تقسیم)) در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه: {TEX()} {0\le \;r<|b|} {TEX} {TEX()} {a = b\times q +r } {TEX}
عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقمانده مینامند. این روش ،اساس محاسبه ((بزرگترین مقسوم علیه مشترک)) میباشد.
---
!عری اعداد صحیح ز روی اد طبیی />
{picture=img/daneshnameh_up/2/23/Integers.JPG}
|
می‌خواهیم از روی اعداد طبیعی مجموعه‌ی اعداد صحیح را به کمک ((منطق کلاسیک)) ((صول ZF)) تولید کنیم.
رابطه‌ی ~ را روی __Nتعری می‌کنیم:
('a , b) ~ (a' , b) اگر و تنها اگر a+b' = a'+b
رابطه‌ی فوق یک ((رابطه‌ی هم‌ارزی)) است.
||به مجموعه‌ی کلاس های هم رزی رابطه‌ی هم‌ارزی ~ ، اعداد صحیح می‌ویند.||
در واع هر عدد صحیح عبارت است از b-a برای یک عضو از یک ((کلاس هم‌ارزی)).
مثلا 3=کاس م‌ارزیِ {(4 , 1) , (5 , 2) , ... } , 7- = کلاس هم‌ارزی {(1, 8) , (2 , 9) , ... }.
شکل روبرو تعریف را ساده‌تر نمایش میدهد . هر عدد صحیح معادل یک کلاس هم‌ارزی است که اعضای هر کلاس هم‌ارزی با یک رنگ نشان داده شده‌اند.
---
!همچنین ببینید:
*((نمایش دودویی عدد صحیح)) />*((عدد طبیعی))<br />*((ZFC))<br />---<br />!پیوندهای خارجی<br />[http://web01.shu.edu/projects/reals/logic/numbers.html] |
| - | یک عدد صحیح مثبت است اگر بزرگتر از صفر باشدو منفی است اگر کوچکتر از صفر باشد. صفر عددی تعریف میشود که نه مثبت و نه منفی است. | |
| - | از خوش ترتیب بودن اعداد صحیح می توان نتایج زیر را بدست آورد: | |
| - | 1.اگر {TEX()} {a < b} {TEX} و {TEX()} {c انگاه {TEX()} {a+c < d+b} {TEX} | |
| | | | |
| - | | |
| - | 2.اگر {TEX()} {a < b} {TEX}و {TEX()} {c>0} {TEX} آنگاه {TEX()} {ac , و اگر {TEX()} {c<0} {TEX} آنگاه {TEX()} {ac>bc} {TEX} | |
| - | !همچنمن ببینید: | |
| - | !!((نمایش دودویی اعداد)) صحیح | |
| - | | |
| | + | |
| - | | |
