V{maketoc}
در ((ریاضیات)) ((فضا|فضای)) ((ضرب)) داخلی یک ((فضای برداری)) است. ضرب داخلی یا ضرب ((اسکالر)) به ما این امکان را میدهد که مفاهیم ((هندسه|هندسی)) از قبیل ((زاویه)) و ((طول)) یک ((بردار)) را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد ((اسکالر)) است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد

!تعریف
ضرب داخلی دو بردار uوvرا با{TEX()} {\langle u,v \rangle} {TEX} نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار و{TEX()} {\alpha\ } {TEX}یک اسکالر باشدآنگاه:

1.{TEX()} {\langle u+v,w \rangle=\langle u,w \rangle+\langle v,w \rangle} {TEX}

2.{TEX()} {\langle\alpha\ u,v \rangle=\alpha\langle u,v \rangle } {TEX}

3.{TEX()} {\langle u,v \rangle=\langle ةv,u \rangle} {TEX}

4.{TEX()} {\langle v,v \rangle\ge \;0} {TEX} و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد.

تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم:
1. در حوزه(( __اعداد حقیقی__)) به صورت زیر بدست میآید:

{TEX()} {\langle x,y \rangle=xy} {TEX}

2.در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید:

{TEX()} {\langle (x_1,\ldots, x_n),(y_1,\ldots, y_n)\rangle=x_1 y_1 +x_2 y_2+ \cdots + x_n y_n } {TEX}

به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد:

{TEX()} {\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2) \rangle=x_1 y_1+x_2 y_2} {TEX}
!نرم در فضای ضرب داخلی
در فضای ضرب داخلی (( __نرم__ )) یک بردار به صورت زیر تعریف میشود:

{TEX()} {\|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle} {TEX}

در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد.

!!((نامساوی کوشی-شوارتز))

{TEX()} {|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| } {TEX}

البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید ((وابسته خطی)) باشند.

!کاربردها
پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟
فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم.