تاریخچه ی:
ضرب داخلی
تفاوت با نگارش: 6
- | H{maketoc} در ((ریاضیات)) ((فضا|فضای)) ((ضرب)) داخلی یک ((فضای برداری)) است. ضرب داخلی یا ضرب ((اسکالر)) به ما این امکان را میدهد که مفاهیم ((هندسه|هندسی)) از قبیل ((زاویه)) و ((طول)) یک ((بردار)) را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب یک عدد ((اسکالر)) است. |
+ | {DYNAMICMENU()} __واژهنامه__ *((واژگان هندسه)) __مقالات مرتبط__ *((هندسه مسطحه)) *((هندسه اقلیدسی)) *((هندسه نااقلیدسی)) *((هندسه تصویری)) *((بردار)) *((ضرب داخلی)) __کتابهای مرتبط__ *((کتابهای هندسه)) __[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__ __سایتهای مرتبط__ *سایتهای خارجی **[http://www.mathleague.com/help/geometry/geometry.htm|سایت مفاهیم هندسی] **[http://mathforum.org/geopow|مسائل هندسی] **[http://math.rice.edu/~lanius/Geom/cyls.html|کلاس آنلاین هندسه] **[http://www.coolmath4kids.com/geometrystuff.html|آموزش هندسه برای کودکان] **[http://www.gamequarium.com/geometry.html|بازیهای هندسی] __گالری تصویر__ *[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم]
body=
|~| {DYNAMICMENU} V{maketoc} در ((ریاضیات)) ((فضا|فضای)) ((ضرب)) داخلی یک ((فضای برداری)) است. ضرب داخلی یا ضرب ((اسکالر)) به ما این امکان را میدهد که مفاهیم ((هندسه|هندسی)) از قبیل ((زاویه)) و ((طول)) یک ((بردار)) را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد ((اسکالر)) است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد |
| !تعریف | | !تعریف |
| ضرب داخلی دو بردار uوvرا با{TEX()} {\langle u,v \rangle} {TEX} نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار و{TEX()} {\alpha\ } {TEX}یک اسکالر باشدآنگاه: | | ضرب داخلی دو بردار uوvرا با{TEX()} {\langle u,v \rangle} {TEX} نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار و{TEX()} {\alpha\ } {TEX}یک اسکالر باشدآنگاه: |
| 1.{TEX()} {\langle u+v,w \rangle=\langle u,w \rangle+\langle v,w \rangle} {TEX} | | 1.{TEX()} {\langle u+v,w \rangle=\langle u,w \rangle+\langle v,w \rangle} {TEX} |
| 2.{TEX()} {\langle\alpha\ u,v \rangle=\alpha\langle u,v \rangle } {TEX} | | 2.{TEX()} {\langle\alpha\ u,v \rangle=\alpha\langle u,v \rangle } {TEX} |
| 3.{TEX()} {\langle u,v \rangle=\langle ةv,u \rangle} {TEX} | | 3.{TEX()} {\langle u,v \rangle=\langle ةv,u \rangle} {TEX} |
| 4.{TEX()} {\langle v,v \rangle\ge \;0} {TEX} و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد. | | 4.{TEX()} {\langle v,v \rangle\ge \;0} {TEX} و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد. |
| تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم: | | تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم: |
| 1. در حوزه(( __اعداد حقیقی__)) به صورت زیر بدست میآید: | | 1. در حوزه(( __اعداد حقیقی__)) به صورت زیر بدست میآید: |
| {TEX()} {\langle x,y \rangle=xy} {TEX} | | {TEX()} {\langle x,y \rangle=xy} {TEX} |
| + | 2.در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید: |
| + | {TEX()} {\langle (x_1,\ldots, x_n),(y_1,\ldots, y_n)\rangle=x_1 y_1 +x_2 y_2+ \cdots + x_n y_n } {TEX} |
| + | به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد: |
| + | {TEX()} {\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2) \rangle=x_1 y_1+x_2 y_2} {TEX} |
| + | !نرم در فضای ضرب داخلی |
| + | در فضای ضرب داخلی (( __نرم__ )) یک بردار به صورت زیر تعریف میشود: |
| + | {TEX()} {\|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle} {TEX} |
| + | در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد. |
| + | !!((نامساوی کوشی-شوارتز)) |
| + | {TEX()} {|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| } {TEX} |
| + | البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید ((وابسته خطی)) باشند. |
| + | !!محاسبه زاویه بین دو بردار |
| + | پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟ |
| + | فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم برای این کار از فرمول زیر استفاده میکنیم: |
| + | {TEX()} {\theta\ = \arccos \frac{\langle v_1, v_2 \rangle}{\|v_1\| \cdot \|v_2\|}} {TEX} |
| + | باید توجه کرداین فرمول زاویه بین دو بردار را در فضای دو بعدی محاسبه میکند. |
| + | !همچنین ببینید: |
| + | ((بردار)) |
| + | ((ضرب خارجی)) |
| + | !پیوندهای خارجی |
| + | [http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space] |
| + | [http://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html] |