منو
 صفحه های تصادفی
زندگینامه فرد وپیل
ارتباطات راه دور
جایگاه ویژه نزد پدر
مسابقات فوتبال
ماهیت نوترینو
سیمان کلسیت اسپاری
سحابی
تاریخ مختصر ایران بعد از اسلام
صحنه ای از مقام والای امام حسن و امام حسین علیهماالسلام
سلستین
 کاربر Online
260 کاربر online
تاریخچه ی: سری هارمونیک

تفاوت با نگارش: 1

Lines: 1-133Lines: 1-135
-~~brown:__@#20:سری هارمونیک(همساز)#@__~~
^@#12:سری نامتناهی {TEX()} {\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}=1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...} {TEX} را سری هارمونیک یا همساز می گویند. علت نامگذاری این سری به این عنوان به این دلیل است که طول موجهای حاصل از ارتعاش های یک تار مرتعش با نسبت های {TEX()} {1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},...} {TEX} متناسب است.
این سری اگرچه به کندی افزایش می یابد اما از دسته سریهای واگرا است و حاصل آن بینهایت است.
+__@#20:سری هارمونیک(همساز)#@__

||V{maketoc}||

!سری هارمونیک
---
@#13:سری نامتناهی {TEX()} {\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}=1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...} {TEX} را سری هارمونیک یا همساز می گویند. علت نامگذاری این سری به این عنوان به این دلیل است که طول موجهای حاصل از ارتعاش های یک تار مرتعش با نسبت های {TEX()} {1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},...} {TEX} متناسب است. این سری اگرچه به کندی افزایش می یابد اما از دسته سریهای واگرا است و حاصل آن بینهایت است.
 *~~green:__اثبات واگرایی سری هارمونیک:__~~ *~~green:__اثبات واگرایی سری هارمونیک:__~~
  برای اثبات همگرایی این سری می توان جملات آن را به این صورت نوشت:  برای اثبات همگرایی این سری می توان جملات آن را به این صورت نوشت:
 ::{TEX()} {\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}=1+ \frac{1}{2}+(\frac{1}{3}\ +\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{16})+...} {TEX}:: ::{TEX()} {\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}=1+ \frac{1}{2}+(\frac{1}{3}\ +\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{16})+...} {TEX}::
-::{TEX()} {\ > 1+ \frac{1}{2}\ + \frac{1}{2}\ +...} {TEX}:: مجموع جملات در هر گروه بزرگتر از {TEX()} {\frac{1}{2}} {TEX} است و چون تعداد گروهها که مجموع جملاتشان بزرگتر از{TEX()} {\frac{1}{2}} {TEX} است نامتناهی است مجموعه جزیی سری از هر عدد دلخواه بزرگتر می شود. پس این سری همگرا نمی باشد.
*~~purple:این اثبات به ((نیکُل اورسم)){img src=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/show_image.php?id=18882}(Nicole d'Oresme) منسوب است. وی اولین فردی بود که در مورد واگرایی سری هارمونیک اثباتی را ارائه داد، اما این اثبات برای قرنها گم نام باقی ماند. بعد از او به ترتیب ((پیترو منگُلی)){img src=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/show_image.php?id=18882}(Pietro Mengoli) در سال 1647، ((یوهان برنولی)){img src=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/show_image.php?id=18882}(Johann Bernoulli) در سال 1687و بعدها ((یاکوب برنولی)){img src=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/show_image.php?id=18882}(Jakob Bernoulli)، اثباتهایی برای واگرایی این سری ارائه کردند. البته با استفاده از ((آزمونهای همگرایی سریها)) از جمله ((آزمون انتگرال)) هم می توان واگرایی این سری را نشان داد.
+::{TEX()} {\ > 1+ \frac{1}{2}\ + \frac{1}{2}\ +...} {TEX}:: مجموع جملات در هر گروه بزرگتر از {TEX()} {\frac{1}{2}} {TEX} است و چون تعداد گروهها که مجموع جملاتشان بزرگتر از{TEX()} {\frac{1}{2}} {TEX} است نامتناهی است مجموعه جزیی سری از هر عدد دلخواه بزرگتر می شود. پس این سری همگرا نمی باشد.
*~~purple:این اثبات به ((نیکُل اورسم)){img src=img/daneshnameh_up/4/4a/Biography.jpg}(Nicole d'Oresme) منسوب است. وی اولین فردی بود که در مورد واگرایی سری هارمونیک اثباتی را ارائه داد، اما این اثبات برای قرنها گم نام باقی ماند. بعد از او به ترتیب ((پیترو منگُلی)){img src=img/daneshnameh_up/4/4a/Biography.jpg}(Pietro Mengoli) در سال 1647، ((یوهان برنولی)){img src=img/daneshnameh_up/4/4a/Biography.jpg}(Johann Bernoulli) در سال 1687و بعدها ((یاکوب برنولی)){img src=img/daneshnameh_up/4/4a/Biography.jpg}(Jakob Bernoulli)، اثباتهایی برای واگرایی این سری ارائه کردند. البته با استفاده از ((آزمونهای همگرایی سریها)) از جمله ((آزمون انتگرال)) هم می توان واگرایی این سری را نشان داد.
 همچنین در شکل نمودار تعییرات مقدار سری بر حسب تعداد جملات را مشاهده می کنید. مشاهدی می شود این سری هر چند کند، در نهایت به سمت بینهایت میل می کند. همچنین در شکل نمودار تعییرات مقدار سری بر حسب تعداد جملات را مشاهده می کنید. مشاهدی می شود این سری هر چند کند، در نهایت به سمت بینهایت میل می کند.
-::{img src=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/show_image.php?id=18883}:: ~~
*~~blue:لازم به توضیح است سری {TEX()} {\zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s}} {TEX} تعمیم یافته سری هارمونیک است که به آن ((تابع زتای ریمان))(Riemann zeta Function) می گویند.~~#@^
+::{img src=img/daneshnameh_up/7/70/Harmonic1.jpg}:: ~~
*~~blue:لازم به توضیح است سری {TEX()} {\zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s}} {TEX} تعمیم یافته سری هارمونیک است که به آن ((تابع زتای ریمان))(Riemann zeta Function) می گویند.~~#@
!سری هارمونیک متناوب
 --- ---
-*__~~red:@#15:سری هارمونیک متناوب:#@~~__
^@#12
:سری {TEX()} {\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}} {TEX} را سری هارمونیک متناوب می گویند که حاصل آن با استفاده از ((سری تیلر)) لگاریتم طبیعی بدست می آید و برابر است با {TEX()} {\ln 2} {TEX}. همچنین این سری را نیز می توان حالت خاص{TEX()} {\eta (1)} {TEX} از ((تابع اتای دیریکله))(dirichlet eta function ){TEX()} {\eta (z)} {TEX} دانست.
+@#13:سری {TEX()} {\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}} {TEX} را سری هارمونیک متناوب می گویند که حاصل آن با استفاده از ((سری تیلر)) لگاریتم طبیعی بدست می آید و برابر است با {TEX()} {\ln 2} {TEX}. همچنین این سری را نیز می توان حالت خاص{TEX()} {\eta (1)} {TEX} از ((تابع اتای دیریکله))(dirichlet eta function ){TEX()} {\eta (z)} {TEX} دانست.
 *~~green:__برهان:__~~ می دانیم با استفاده از بسط تیلر ((لگاریتم طبیعی)) داریم: *~~green:__برهان:__~~ می دانیم با استفاده از بسط تیلر ((لگاریتم طبیعی)) داریم:
-::{TEX()} {\ |x|<1: \ln (1+x)= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\ x^n} {TEX}:: +::{TEX()} {\ |x|<1: \ln (1+x)= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\ x^n} {TEX}::
 حال اگر قرار دهیم x=1 خواهیم داشت: حال اگر قرار دهیم x=1 خواهیم داشت:
 ::{TEX()} {x=1: \ln (1+1)=\ln 2= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}} {TEX} :: ::{TEX()} {x=1: \ln (1+1)=\ln 2= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}} {TEX} ::
 پس تساوی فوق برقرار است. پس تساوی فوق برقرار است.
 در شکل زیر نمودار تغییرات مقدار سری هارمونیک متناوب را بر حسب تغییرات تعداد جملات مشاهده می کنید: در شکل زیر نمودار تغییرات مقدار سری هارمونیک متناوب را بر حسب تغییرات تعداد جملات مشاهده می کنید:
-::{picture=NaturalLoalter.gif}::#@^ +::{picture=NaturalLoalter.gif}::#@
!عدد هارمونیک
 --- ---
-*__@#15:~~red:عدد هارمونیک:~~#@__
^@#12
:((عدد هارمونیک)) عددی است که از جمع جملات سری هارمونیک بوجود می آید. n امین عدد هارمونیک را با نماد {TEX()} {H_n} {TEX} نشان می دهند و به این صورت تعریف می کنند:
+@#13:((عدد هارمونیک)) عددی است که از جمع جملات سری هارمونیک بوجود می آید. n امین عدد هارمونیک را با نماد {TEX()} {H_n} {TEX} نشان می دهند و به این صورت تعریف می کنند:
 ::{TEX()} {H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}} {TEX}:: ::{TEX()} {H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}} {TEX}::
 *سرعت رشد عدد هارمونیک{TEX()} {H_n} {TEX} با سرعت رشد لگاریتم طبیعی عدد n تقریبا برابر است. به عبارت دیگر حد نسبت این دو وقتی n به سمت بینهایت میل می کند برابر با یک است. پس مقدار{TEX()} {H_n} {TEX} در هر مرحله تقریبی از {TEX()} {\ln(n)} {TEX} است که با افزایش هر چه بیشتر n این اختلاف این دو کمتر می شود و اعداد هارمونیک با افزایش n به مقدار لگاریتم طبیعی عدد n نزدیک می شوند. *سرعت رشد عدد هارمونیک{TEX()} {H_n} {TEX} با سرعت رشد لگاریتم طبیعی عدد n تقریبا برابر است. به عبارت دیگر حد نسبت این دو وقتی n به سمت بینهایت میل می کند برابر با یک است. پس مقدار{TEX()} {H_n} {TEX} در هر مرحله تقریبی از {TEX()} {\ln(n)} {TEX} است که با افزایش هر چه بیشتر n این اختلاف این دو کمتر می شود و اعداد هارمونیک با افزایش n به مقدار لگاریتم طبیعی عدد n نزدیک می شوند.
 __~~green:برهان:~~__ با توجه به تعریف n امین عدد هارمونیک داریم: __~~green:برهان:~~__ با توجه به تعریف n امین عدد هارمونیک داریم:
 ::{TEX()} {H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}} {TEX} :: ::{TEX()} {H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}} {TEX} ::
 حال وقتی n زیاد و زیادتر می شود و به بینهایت میل می کند داریم: حال وقتی n زیاد و زیادتر می شود و به بینهایت میل می کند داریم:
 ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}H_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}} {TEX}:: ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}H_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}} {TEX}::
 از طرفی با استفاده از تعریف ((مجموع ریمان)) و ((انتگرال معین)) داریم:  از طرفی با استفاده از تعریف ((مجموع ریمان)) و ((انتگرال معین)) داریم:
 ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\approx \int_{1}^{n} \frac{1}{x}\, dx} {TEX}:: ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\approx \int_{1}^{n} \frac{1}{x}\, dx} {TEX}::
 پس خواهیم داشت: ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}H_n\approx \int_{1}^{n} \frac{1}{x}\, dx} {TEX}:: پس خواهیم داشت: ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}H_n\approx \int_{1}^{n} \frac{1}{x}\, dx} {TEX}::
 که با توجه به حاصل انتگرال فوق داریم: ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}H_n\approx\ ln (n)} {TEX}:: که با توجه به حاصل انتگرال فوق داریم: ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}H_n\approx\ ln (n)} {TEX}::
 پس وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار عدد هارمونیک {TEX()} {H_n} {TEX} به {TEX()} {\ln (n)} {TEX} نزدیک می شود(ولی با آن برابر نمی شود) و با آن همرفتار است. پس وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار عدد هارمونیک {TEX()} {H_n} {TEX} به {TEX()} {\ln (n)} {TEX} نزدیک می شود(ولی با آن برابر نمی شود) و با آن همرفتار است.
 در شکل زیر نمودار تغییرات عدد هارمونیک را با افزایش n مشاهدی می کنید: در شکل زیر نمودار تغییرات عدد هارمونیک را با افزایش n مشاهدی می کنید:
- ::{picture=HarmonicNumber_1000.gif}::#@^ + ::{picture=HarmonicNumber_1000.gif}::#@
!سری هارمونیک عمومی
 --- ---
-*__@#15:~~red:سری هارمونیک عمومی:~~#@__
^@#12
:سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b},a\ne 0} {TEX} را سری هارمونیک عمومی(کلی) می گوییم. علت این است که در یک حالت خاص a=1,b=0 این سری به سری هارمونیک تبدیل می شود و لذا یک حالت کلی از سری هارمونیک است. تمامی سری ها به این شکل همانند سری هارمونیک واگرا هستند.
+@#13:سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b},a\ne 0} {TEX} را سری هارمونیک عمومی(کلی) می گوییم. علت این است که در یک حالت خاص a=1,b=0 این سری به سری هارمونیک تبدیل می شود و لذا یک حالت کلی از سری هارمونیک است. تمامی سری ها به این شکل همانند سری هارمونیک واگرا هستند.
 __~~green:برهان:~~__ برای بررسی وضعیت همگرایی این سری از ((آزمون مقایسه حد)) استفاده می کنیم.  __~~green:برهان:~~__ برای بررسی وضعیت همگرایی این سری از ((آزمون مقایسه حد)) استفاده می کنیم.
 به این منظور از سری هارمونیک کمک می گیریم. میدانیم این سری واگرا است پس: به این منظور از سری هارمونیک کمک می گیریم. میدانیم این سری واگرا است پس:
 ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{an+b}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{an+b}} {TEX}:: ::{TEX()} {\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{an+b}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{an+b}} {TEX}::
 ::{TEX()} {=\frac{1}{a}\ne 0} {TEX}:: ::{TEX()} {=\frac{1}{a}\ne 0} {TEX}::
-پس سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b},a\ne 0} {TEX} از نظر همگرایی با سری هارمونیک یکسان است پس این سری واگرا است.#@^
---
*__@#15:~~red:
بررسی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول~~#@__
^@#12: اگر در سری هارمونیک، کسرهایی را که مخرجشان غیر اول است برداریم سری{TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_k}} {TEX} حاصل می شود که همانند سری هارمونیک واگرا است.
واگرایی سری فوق نخستین بار توسط ((اویلر)){img src=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/show_image.php?id=18882}(Euler) به اثبات رسید.
+پس سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b},a\ne 0} {TEX} از نظر همگرایی با سری هارمونیک یکسان است پس این سری واگرا است.#@
!بررسی سری هارمونیک />---
@#13: اگر در سری هارمونیک، کسرهایی را که مخرجشان غیر اول است برداریم سری{TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_k}} {TEX} حاصل می شود که همانند سری هارمونیک واگرا است.
واگرایی سری فوق نخستین بار توسط ((اویلر)){img src=img/daneshnameh_up/4/4a/Biography.jpg}(Euler) به اثبات رسید.
 *__~~green:اثبات واگرایی سری فوق:~~__  *__~~green:اثبات واگرایی سری فوق:~~__
 در رابطه با ((اثبات واگرایی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول)) روش های مختلفی وجود دارد، که در اینجا تنها به روشی که خود اویلر برای اثبات به کار برد اشاره می کنیم.(سایر راهها در صفحه ای جداگانه آورده شده است) در رابطه با ((اثبات واگرایی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول)) روش های مختلفی وجود دارد، که در اینجا تنها به روشی که خود اویلر برای اثبات به کار برد اشاره می کنیم.(سایر راهها در صفحه ای جداگانه آورده شده است)
 او ابتدا سری هارمونیک را در نظر گرفت: او ابتدا سری هارمونیک را در نظر گرفت:
 ::{TEX()} {\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}=1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...} {TEX}:: ::{TEX()} {\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}=1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...} {TEX}::
 همچنین او میان ((تابع زتای ریمان)){TEX()} {\zeta(s)} {TEX} و ((اعداد اول)) __p__ رابطه زیر را پیدا کرده بود که به نام ((فرمول ضرب اویلر)) شناخته می شود:  همچنین او میان ((تابع زتای ریمان)){TEX()} {\zeta(s)} {TEX} و ((اعداد اول)) __p__ رابطه زیر را پیدا کرده بود که به نام ((فرمول ضرب اویلر)) شناخته می شود:
 ::{TEX()} {\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}}} {TEX}::  ::{TEX()} {\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}}} {TEX}::
-که مقصود از {TEX()} {\prod_{p\in\mathbb{P}}} {TEX} ضرب روی تمام اعداد اول است. />از سوی دیگر: +که مقصود از {TEX()} {\prod_{p\in\mathbb{P}}} {TEX} ضرب روی تمام اعداد اول است. از سوی دیگر:
 ::{TEX()} {\zeta(1)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...} {TEX}::  ::{TEX()} {\zeta(1)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...} {TEX}::
 پس او با توجه به مطالب فوق نتیجه گیری نمود: پس او با توجه به مطالب فوق نتیجه گیری نمود:
 ::{TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}=\prod_{p} (1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+...)} {TEX}:: ::{TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}=\prod_{p} (1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+...)} {TEX}::
 او همچنین نتیجه گرفت که تعداد اعداد اول برای برقراری این تساوی باید نامتناهی باشد چرا که در صورت متناهی بودن اعداد اول p در سمت راست تساوی، حاصل ضرب در سمت راست همگرا به عددی خواهد بود و در نتیجه نشان دهنده همگرا بودن سری هارمونیک است که این یک تناقض ایجاد می کند. پس تعداد اعداد اول برای برقراری تساوی فوق نامتناهی است. او همچنین نتیجه گرفت که تعداد اعداد اول برای برقراری این تساوی باید نامتناهی باشد چرا که در صورت متناهی بودن اعداد اول p در سمت راست تساوی، حاصل ضرب در سمت راست همگرا به عددی خواهد بود و در نتیجه نشان دهنده همگرا بودن سری هارمونیک است که این یک تناقض ایجاد می کند. پس تعداد اعداد اول برای برقراری تساوی فوق نامتناهی است.
 اویلر از این رابطه استفاده کرد تا به دنباله ای بیکران دست بافت. اویلر از این رابطه استفاده کرد تا به دنباله ای بیکران دست بافت.
 او ابتدا از دو طرف لگاریتم گرفت(لگاریتم طبیعی) و سپس از بسط تیلر {TEX()} {\ln(1-x)} {TEX} استفاده نمود: او ابتدا از دو طرف لگاریتم گرفت(لگاریتم طبیعی) و سپس از بسط تیلر {TEX()} {\ln(1-x)} {TEX} استفاده نمود:
 ::{TEX()} {\ln\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right)=\ln\left(\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum_{p}\ln\left(\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum_{p}-\ln(1-p^{-1})} {TEX}:: ::{TEX()} {\ln\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right)=\ln\left(\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum_{p}\ln\left(\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum_{p}-\ln(1-p^{-1})} {TEX}::
 ::{TEX()} {=\sum_{p}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+...\right)=\left(\sum_{p}\frac{1}{p}\right)+\sum_{p}\frac{1}{p^2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{4p^2}+...\right)} {TEX}:: ::{TEX()} {=\sum_{p}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+...\right)=\left(\sum_{p}\frac{1}{p}\right)+\sum_{p}\frac{1}{p^2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{4p^2}+...\right)} {TEX}::
-::{TEX()} {<\left(\sum_{p}\frac{1}{p}\right)+\sum_{p}\frac{1}{p^2}\left(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+...\right)=\left(\sum_{p}\frac{1}{p}\right)+\left(\sum_{p}\frac{1}{p(p-1)}\right)} {TEX}:: +::{TEX()} {<\left(\sum_{p}\frac{1}{p}\right)+\sum_{p}\frac{1}{p^2}\left(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+...\right)=\left(\sum_{p}\frac{1}{p}\right)+\left(\sum_{p}\frac{1}{p(p-1)}\right)} {TEX}::
 ::{TEX()} {=\sum_{p}\left(\frac{1}{p}\right)+C} {TEX}:: ::{TEX()} {=\sum_{p}\left(\frac{1}{p}\right)+C} {TEX}::
 برای یک مقدار ثابت C و کمتر از یک چون همان طور که قبلا اشاره شد سری هارمونیک با (ln(n همرفتار است(به عبارت دیگر وقتی n به بینهایت میل می کند نسبت آنها به یک میل می کند) , با توجه به نامساوی اویلر در نهایت نتیجه گرفت: برای یک مقدار ثابت C و کمتر از یک چون همان طور که قبلا اشاره شد سری هارمونیک با (ln(n همرفتار است(به عبارت دیگر وقتی n به بینهایت میل می کند نسبت آنها به یک میل می کند) , با توجه به نامساوی اویلر در نهایت نتیجه گرفت:
 ::{TEX()} {\sum_{p}^\infty\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...=\ln \ln(+\infty)} {TEX}:: ::{TEX()} {\sum_{p}^\infty\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...=\ln \ln(+\infty)} {TEX}::
 پس می توان نتیجه گرفت این سری واگرا است. پس می توان نتیجه گرفت این سری واگرا است.
-به این ترتیب اویلر نشان داد سری نامتناهی دنباله معکوس اعداد اول همانند سری هارمونیک با افزایش n، همرفتار با />(ln(n است یا به عبارتی وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار سری {TEX()} {\sum_{p}\frac{1}{p}} {TEX} برابر با />(ln(n است. #@^
*__~~red:@#15:مطالبی شگفت انگیز از سری هارمونیک:#@~~__
^@#12:با بررسی سری هارمونیک کتوجه می شویم این سری ویژگی های جالب و شگفت آوری دارد که در اینجه به برخی از آنها اشاره می کنیم:
+به این ترتیب اویلر نشان داد سری نامتناهی دنباله معکوس اعداد اول همانند سری هارمونیک با افزایش n، همرفتار با (ln(n است یا به عبارتی وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار سری {TEX()} {\sum_{p}\frac{1}{p}} {TEX} برابر با (ln(n است. #@
!مطالبی شگفت انگیز از سری هارمونیک
---
@#13:با بررسی سری هارمونیک کتوجه می شویم این سری ویژگی های جالب و شگفت آوری دارد که در اینجه به برخی از آنها اشاره می کنیم:
 مجموع جزیی این سری را برای چند مقدار n بدست آورید: مجموع جزیی این سری را برای چند مقدار n بدست آورید:
 ::{TEX()} {S_1=1} {TEX}:: ::{TEX()} {S_1=1} {TEX}::
 ::{TEX()} {S_2=1+\frac{1}{2}=1.5} {TEX}:: ::{TEX()} {S_2=1+\frac{1}{2}=1.5} {TEX}::
 ::{TEX()} {S_3=1+\farc{1}{2}+\farc{1}{3}=1.8333...} {TEX}:: ::{TEX()} {S_3=1+\farc{1}{2}+\farc{1}{3}=1.8333...} {TEX}::
 ::{TEX()} {S_4=1+\farc{1}{2}+\farc{1}{3}+\farc{1}{4}=2.08333...} {TEX}:: ::{TEX()} {S_4=1+\farc{1}{2}+\farc{1}{3}+\farc{1}{4}=2.08333...} {TEX}::
 ::{TEX()} {S_5=1+\farc{1}{2}+\farc{1}{3}+\farc{1}{4}+\farc{1}{5}=2.44999...} {TEX}:: ::{TEX()} {S_5=1+\farc{1}{2}+\farc{1}{3}+\farc{1}{4}+\farc{1}{5}=2.44999...} {TEX}::
 ::{TEX()} {\vdots} {TEX}:: ::{TEX()} {\vdots} {TEX}::
 ::{TEX()} {S_20=1+\farc{1}{2}+\farc{1}{3}+\farc{1}{4}+...+\farc{1}{20}=3.59773965} {TEX}:: ::{TEX()} {S_20=1+\farc{1}{2}+\farc{1}{3}+\farc{1}{4}+...+\farc{1}{20}=3.59773965} {TEX}::
 به این ترتیب مجموع بیست جمله اول سری هارمونیک تنها حدود {TEX()} {3.6} {TEX} است! به این ترتیب مجموع بیست جمله اول سری هارمونیک تنها حدود {TEX()} {3.6} {TEX} است!
 حال به نظر شما اگر بخواهیم مجموع این سری به عدد بیست برسد چند جمله این سری را باید با هم جمع کنیم؟ حال به نظر شما اگر بخواهیم مجموع این سری به عدد بیست برسد چند جمله این سری را باید با هم جمع کنیم؟
 شاید باورتان نشود که اگر {TEX()} {250000} {TEX} جمله اول این سری را با هم جمع کنیم یا به عبارتی {TEX()} {S_{250000}} {TEX} را محاسبه کنیم حاصل حتی به عدد چهارده هم نمی رسد! در یک [http://www.math.utah.edu/~carlson/teaching/calculus/harmonic.html| سایت] برنامه ای ارائه شده است که بوسیله آن می توان مجموع جزیی سری هارمونیک را به ازائ هر n محاسبه کرد. با مراجعه به این سایت و محاسبه مقدار {TEX()} {S_{250000}} {TEX} داریم: شاید باورتان نشود که اگر {TEX()} {250000} {TEX} جمله اول این سری را با هم جمع کنیم یا به عبارتی {TEX()} {S_{250000}} {TEX} را محاسبه کنیم حاصل حتی به عدد چهارده هم نمی رسد! در یک [http://www.math.utah.edu/~carlson/teaching/calculus/harmonic.html| سایت] برنامه ای ارائه شده است که بوسیله آن می توان مجموع جزیی سری هارمونیک را به ازائ هر n محاسبه کرد. با مراجعه به این سایت و محاسبه مقدار {TEX()} {S_{250000}} {TEX} داریم:
 ::{TEX()} {S_{250000}=13.006433861} {TEX}:: ::{TEX()} {S_{250000}=13.006433861} {TEX}::
 محاسبات نشان میدهد مجموع جزیی این سری حتی بعد از {TEX()} {2.5\times 10^8} {TEX} جمله همچنان کمتر از بیست است!!! محاسبات نشان میدهد مجموع جزیی این سری حتی بعد از {TEX()} {2.5\times 10^8} {TEX} جمله همچنان کمتر از بیست است!!!
 حال خوتان را برای مطلبی شگفت آورتر اماده کنید. فکر می کنید چند جمله این سری را باید محاسبه کنیم تا حاصل مجموع جزیی سری از عدد 100 بیشتر شود؟ حال خوتان را برای مطلبی شگفت آورتر اماده کنید. فکر می کنید چند جمله این سری را باید محاسبه کنیم تا حاصل مجموع جزیی سری از عدد 100 بیشتر شود؟
 جالب است بدانید برای تحقق این امر باید {TEX()} {1.509\times 10^{43}} {TEX} یا __بیش از پانزده میلیون تریلیون تریلیون تریلیون جمله__ این سری را با هم جمع کرد!!! جالب است بدانید برای تحقق این امر باید {TEX()} {1.509\times 10^{43}} {TEX} یا __بیش از پانزده میلیون تریلیون تریلیون تریلیون جمله__ این سری را با هم جمع کرد!!!
 مقداد دقیق جملات مورد نیاز به این صورت است: ::{TEX()} {15092688622113788323693563264538101449859497} {TEX}:: مقداد دقیق جملات مورد نیاز به این صورت است: ::{TEX()} {15092688622113788323693563264538101449859497} {TEX}::
 برای بررسی این مطلب به محاسبات زیر توجه کنید: برای بررسی این مطلب به محاسبات زیر توجه کنید:
-::{TEX()} {\frac{1}{3}+\frac{1}{4}> \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}} {TEX}::
::{TEX()} {\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\> \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}} {TEX}::
::{TEX()} {\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{16}>\frac{8}{6}=\frac{1}{2}} {TEX}::
+::{TEX()} {\frac{1}{3}+\frac{1}{4}> \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}} {TEX}::
::{TEX()} {\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\> \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}} {TEX}::
::{TEX()} {\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{16}>\frac{8}{6}=\frac{1}{2}} {TEX}::
 بنابراین: بنابراین:
-::{TEX()} {\Rightarrow S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1+2(\frac{1}{2})} {TEX}::
::{TEX()} {S_8=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{8}>1+3(\frac{1}{2})} {TEX}::
::{TEX()} {S_{16}=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{6}>1+4(\frac{1}{2})} {TEX}::
+::{TEX()} {\Rightarrow S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1+2(\frac{1}{2})} {TEX}::
::{TEX()} {S_8=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{8}>1+3(\frac{1}{2})} {TEX}::
::{TEX()} {S_{16}=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{6}>1+4(\frac{1}{2})} {TEX}::
 ::{TEX()} {\vdots} {TEX}:: ::{TEX()} {\vdots} {TEX}::
-::{TEX()} {S_{2^{198}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^{198}}>1+198(\frac{1}{2})=100} {TEX}:: +::{TEX()} {S_{2^{198}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^{198}}>1+198(\frac{1}{2})=100} {TEX}::
 مطلب جالب دیگر این است که با اندکی تغییر می توان این سری را به یک سری همگرا تبدیل کرد. مطلب جالب دیگر این است که با اندکی تغییر می توان این سری را به یک سری همگرا تبدیل کرد.
-به عنوان مثال سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.001}}} {TEX} را در نظر بگیرید. جملات این سری خیلی یه جملات سری هارمونیک نزدیک هستند و اختلاف آنها بسیار ناچیز است. به عنوان مثال اختلاف جمله هزارم سری هارمونیک و سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.001}}} {TEX} برابر با {TEX()} {6.8\tims 10^{-6}} {TEX} است و این اختلاف در جملات بعدی کمتر می شود. بنابراین در یک نگاه سریع و عجولانه می توان گفت سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.001}}} {TEX} همانند سری هارمونیک واگرا است در حالی که می دانیم سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.001}}} {TEX} یک ((p-سری)) است با توان p>1 پس همگرا است! +به عنوان مثال سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.001}}} {TEX} را در نظر بگیرید. جملات این سری خیلی یه جملات سری هارمونیک نزدیک هستند و اختلاف آنها بسیار ناچیز است. به عنوان مثال اختلاف جمله هزارم سری هارمونیک و سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.001}}} {TEX} برابر با {TEX()} {6.8\tims 10^{-6}} {TEX} است و این اختلاف در جملات بعدی کمتر می شود. بنابراین در یک نگاه سریع و عجولانه می توان گفت سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.001}}} {TEX} همانند سری هارمونیک واگرا است در حالی که می دانیم سری {TEX()} {\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.001}}} {TEX} یک ((p-سری)) است با توان p>1 پس همگرا است!
 مثال جالب دیگر این است که اگر از بین جملات سری هارمونیک جملاتی را که در مخرج آنها رقم یک وجود دارد حذف کنیم سری جدیدی به این صورت حاصل می شود: مثال جالب دیگر این است که اگر از بین جملات سری هارمونیک جملاتی را که در مخرج آنها رقم یک وجود دارد حذف کنیم سری جدیدی به این صورت حاصل می شود:
 ::{TEX()} {\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{9}+\frac{1}{20}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{30}+\frac{1}{32}+...} {TEX}:: ::{TEX()} {\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{9}+\frac{1}{20}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{30}+\frac{1}{32}+...} {TEX}::
 حالا حدس شما چیست؟ فکر می کنید این سری همگرا است یا واگرا؟ حالا حدس شما چیست؟ فکر می کنید این سری همگرا است یا واگرا؟
 جالب است بدانید در سال 1914، یکی از دانشجویان دانشگاه ایلینویز آمریکا ثابت کرد که این سری همگرا است و مقدار همگرایی آن کمتر از 90 است. جالب است بدانید در سال 1914، یکی از دانشجویان دانشگاه ایلینویز آمریکا ثابت کرد که این سری همگرا است و مقدار همگرایی آن کمتر از 90 است.
-همچنین قبلا نشان دادیم اگر در سری هارمونیک جملاتی که مخرجشان غیر اول است حذف کنیم سری زیر حاصل می شود که واگرا است: ::{TEX()} {\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...} {TEX}::دو مطلب اخیر به خوبی این نکته را نشان می دهد که حذف تعداد نامتناهی جمله از میان جملات یک سری می تواند در همگرایی و واگرایی سری تاثیر بگذارد.#@^ +همچنین قبلا نشان دادیم اگر در سری هارمونیک جملاتی که مخرجشان غیر اول است حذف کنیم سری زیر حاصل می شود که واگرا است: ::{TEX()} {\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...} {TEX}::دو مطلب اخیر به خوبی این نکته را نشان می دهد که حذف تعداد نامتناهی جمله از میان جملات یک سری می تواند در همگرایی و واگرایی سری تاثیر بگذارد.#@
!همچنین ببینید
 --- ---
-__~~green:@#14:همچنین ببینید:#@~~__ 
 *((سری)) *((سری))
 *((سری همگرا)) *((سری همگرا))
 *((سری واگرا)) *((سری واگرا))
 *((آزمون همگرایی سریها)) *((آزمون همگرایی سریها))
-*((سری تیلر)) +*((سری تیلور))
 *((سری مک لورن)) *((سری مک لورن))
 *((سری L دیریکله)) *((سری L دیریکله))
 *((سری فوریه)) *((سری فوریه))
 *((سری لارنت)) *((سری لارنت))
 *((p-سری)) *((p-سری))
 *((سری متناوب)) *((سری متناوب))
 *((سری تلسکوپی)) *((سری تلسکوپی))
 *((سری هندسی)) *((سری هندسی))
 *((عدد هارمونیک))  *((عدد هارمونیک))
 *((سری هارمونیک متناوب)) *((سری هارمونیک متناوب))
 *((تابع زتای ریمان)) *((تابع زتای ریمان))
 *((تابع اتای دیریکله)) *((تابع اتای دیریکله))
 *((اثبات واگرایی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول)) *((اثبات واگرایی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول))
   

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 سه شنبه 11 اردیبهشت 1386 [12:40 ]   3   مرادی فر      جاری 
 سه شنبه 27 تیر 1385 [05:59 ]   2   مرادی فر      v  c  d  s 
 سه شنبه 20 تیر 1385 [11:42 ]   1   مرادی فر      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..