منو
 صفحه های تصادفی
تیتراسیون
آناتومی دستگاه گوارش
سینماتیک(المپیاد)
درمان با هیپنوتیزم
عطار
خط دیدگانی در عکاسی
دانشکده علوم زمین شهید بهشتی
غیر فلزات
شهید ثانی
آگاهی امام کاظم از نقشه هارون
 کاربر Online
677 کاربر online
تاریخچه ی: سری تیلور

V{maketoc}
در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک ((دنباله)).به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

|| ...+5+4+3+2+1||

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده ((جبر|جبری)) محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از ((آنالیز)) کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.

{TEX()} {\sum_{a=1}^N a^n} {TEX}


سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:
{TEX()} {\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}+... {TEX}
این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن ((سری هندسی)) میگویند.

{TEX()} {\sum_{k=0}^N ak^n } {TEX}
a را جمله اول و q را قدر نسبت سری می نامند.مجموع n جمله اول یک سری رابا {TEX()} {s_n} {TEX} نشان میدهند
در صورتی که {TEX()} {s_n} {TEX} به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن ((تابع|توابعی)) از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را ((میدان همگرایی)) سری گویند.

هر سری تابعی به شکل {TEX()} {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n } {TEX}
را یک سری توانی بر حسب {TEX()} { ( x-c) \right )\ {TEX} میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:

||{TEX()} {a_0 + a_1(x-c)+ \ldots +a_n(x-c)^n+\ldots } {TEX}||









{picture file=img/daneshnameh_up/3/3d//Sintay.png}

''
sin(x)
و تخمین تیلور(Taylor)، چند جمله‌ای های از درجه 1، 3، 5، 7، 9، 11 و 13.''


در(( ریاضیات))، __سری‌های تیلور__ از یک تابع ''f'' حقیقی (یا مختلط) که معمولا بطور نامحدود (( مشتق پذیر)) بوده و در یک ((فاصله«ریاضی»|فاصله باز )) (''a''-''r'' و ''a''+''r'' ) تعریف شده، بصورت (( سریهای توانی)) زیر میباشد:
:{TEX()}{
\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}
}{TEX}

که در آن !''n'' (( فاکتوریل)) ''n'' و (''f'' (''n'')(''a'' به معنی مشتق ''n''ام ''f'' در نقطه ''a'' میباشد.

اگر این سریها برای هر مقدار ''x'' در فاصله (''a''-''r'', ''a''+''r'') همگرا بوده و مجموع آن برابر (''f''(''x'' باشد، آنگاه تابع (''f''(''x'' __تحلیلی__ نامیده میشود. برای اطمینان از همگرایی سریها به (''f''(''x''، معمولا از تخمین برای جمله باقیمانده ((قضیه تیلور)) استفاده میشود. یک تابع تحلیلی است، اگر و فقط اگر بتوان آنرا بصورت یک ((سریهای توانی)) نمایش داد؛ ضرایب در سریهای توانی لزوما همان ضرایبی است که در فرمول سریهای تیلور داده شده است.
اگر ''a'' = 0 باشد، این سریها به نام__سریهای مک‌لارین(Maclaurin)__ نامیده میشود.
اهمیت یک چنین سریهای توانی سه جانبه است. اول، مشتق گیری و انتگرال گیری سریهای توانی میتواند جمله به جمله انجام شود لذا بطور خاصی ساده است. دوم، یک تابع تحلیلی میتواند بطرز یکتایی به ((تابع هولومورفیک))(holomorphic) تعریف شده روی یک صفحه باز در روی (( عدد مختلط | سطح مختلط))، امتداد داده شود، که مکانیزم کامل ((تحلیل مختلط)) را فراهم مینماید. سوم، سریهای (کوتاه شده) میتواند برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع استفاده شود.




{picture file=img/daneshnameh_up/b/b1//Expinvsq.png}.

''تابع e-1/x² تحلیلی نیست، مقدار سریهای تیلور 0 است، درحلیکه مقدار تابع غیر صفر است.''


توجه داشته باشید که مثالهایی برای توابع (''f''(''x'' که دارای مشتقات محدود بوده و سریهای تیلور آنها همگرا بوده ولی برابر (''f''(''x'' نیست، وجود دارد. برای مثال، برای تابع تعریف شده مقطع بصورت (''f''(''x'') = exp(−1/''x''² اگر ''x'' ≠ 0 و''f''(0) = 0،
تمام مشتفات در نقطه ''x'' = 0 صفر میباشند، بنابراین سریهای تیلور (''f''(''x'' صفر بوده، و شعاع همگرایی آن محدود است، اگر چه تابع بطور یقین صفر نمی باشد. این آسیب، توابع ارزشمند-(( عدد مختلط| مختلط)) برای یک متغیر مختلط را مخدوش نمی نماید. توجه اینکه با نزدیک شدن ''z'' به سمت 0 در طول محور فرضی (exp(−1/''z''² به 0 نزدیک نمی شود.

بعضی از توابع را نمیتوان بصورت سریهای تیلور نوشت زیرا آنها دارای ((حالت استثنایی «ریاضی»|حالت استثنایی)) می باشند؛ در این حالتها، اغلب نیز میتوان به بست سریهایی دست یافت اگر بتوان از توانهای منفی متغیر ''x'' استفاده نمود؛ رجوع شود به ((سریهای لارنت«Laurent))). برای مثال، (''f''(''x'') = exp(−1/''x''² را میتوان بر حسب سریهای لارنت نوشت.

[http://www.math.jmu.edu/~jim/picard.html|قضیه|پارکر-سوکاکی(|Parker-Sockacki)] پیشرفت اخیر برای یافتن سریهای تیلوری است که بتواند راهکاری برای ((معادلات دیفرانسیل)) باشد. این قضیه توسعه ((تکرار پیکارد«Picard))) میباشد.

!! فهرست سریهای تیلور

چندین بست سریهای تیلور مهم بشرح ذیل میباشد. تمام این بستها نیز برای متغیرهای مختلط ''x'' صادق می باشد.

((توابع اکسپتانسیلی)) و ((لگاریتم طبیعی)):

:{TEX()}{e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all } x}{TEX}

:{TEX()}{\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1}{TEX}

((سریهای هندسی)):

:{TEX()}{\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1}{TEX}

((قضیه فرعی-جزیی«Binomial» )):

:{TEX()}{(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad\mbox{ for all } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha}{TEX}

((توابع مثلثاتی)):

:{TEX()}{\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x}{TEX}

:{TEX()}{\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x}{TEX}

:{TEX()}{\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}}{TEX}

:{TEX()}{\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}}{TEX}

:{TEX()}{\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1}{TEX}

:{TEX()}{\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1}{TEX}

((توابع هایپربولیک)):

:{TEX()}{\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x}{TEX}

:{TEX()}{\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x}{TEX}

:{TEX()}{\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}}{TEX}

:{TEX()}{\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1}{TEX}

:{TEX()}{\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1}{TEX}



((توابع لامبرت«Lambert's W))):

:{TEX()}{W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{1}{e}}{TEX}

اعداد ''B''''k'' که در بستهای (tan(''x'' و (tanh(''x'' ظاهر می شوند همان ((اعداد برنولی)) ، (C(α,''n'' در بستهای فرعی-جزیی ((ضریب فرعی-جزیی| ضرایب فرعی-جزیی)) بوده و ''E''''k'' در بستهای (sec(''x'' همان ((اعداد اولر)) می باشند.

!!چند بعدی

سریهای تیلور را به توابع با چند متغیر نیز تعمیم داد.

:{TEX()}{
\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1}}{\partial x^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}
}{TEX}


تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 پنج شنبه 21 دی 1385 [06:27 ]   20   حسین خادم      جاری 
 پنج شنبه 21 دی 1385 [06:24 ]   19   حسین خادم      v  c  d  s 
 پنج شنبه 21 دی 1385 [06:14 ]   18   حسین خادم      v  c  d  s 
 یکشنبه 27 دی 1383 [05:37 ]   17   علی هادی      v  c  d  s 
 یکشنبه 27 دی 1383 [05:15 ]   16   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 26 دی 1383 [10:02 ]   15   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 26 دی 1383 [09:54 ]   14   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 26 دی 1383 [09:17 ]   13   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 26 دی 1383 [06:19 ]   12   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 26 دی 1383 [05:08 ]   11   علی هادی      v  c  d  s 
 شنبه 26 دی 1383 [04:20 ]   10   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 23 دی 1383 [09:01 ]   9   علی هادی      v  c  d  s 
 سه شنبه 22 دی 1383 [10:00 ]   8   علی هادی      v  c  d  s 
 سه شنبه 22 دی 1383 [09:13 ]   7   علی هادی      v  c  d  s 
 سه شنبه 22 دی 1383 [08:22 ]   6   علی هادی      v  c  d  s 
 سه شنبه 22 دی 1383 [07:22 ]   5   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 16 دی 1383 [11:37 ]   4   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 16 دی 1383 [10:54 ]   3   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 16 دی 1383 [09:04 ]   2   علی هادی      v  c  d  s 
 سه شنبه 26 اسفند 1382 [09:57 ]   1         v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..