: زیرگروه نرمال

||V{maketoc}||

^@#16:

!زیرگروه نرمال.

فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {H \le G} {TEX} . هرگاه برای هر {TEX()} {g \in G , h \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} ، گوییم {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است و آنرا با نماد {TEX()} {H \triangleleft G} {TEX} نمایش می‌دهیم.

همچنین ((زیر مجموعه)) {TEX()} {\{ghg^{-1} | h \in H\}} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {gHg^{-1}} {TEX} نمایش می‌دهیم ، بنا به تعریف {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H} {TEX}

---

!قضیه‌ها.

!!قضیه 1.

اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه گزاره های زیر هم ارزند :

# {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}

# {TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H} {TEX}

# {TEX()} {\forall g \in G : gH=Hg} {TEX}

__اثبات:__

{TEX()} {1 \Rightarrow 2} {TEX}:

فرض می کنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} . کافیست نشان دهیم :

@@{TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}\subseteq H , H \subseteq gHg^{-1} } {TEX}@@

چون{TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} ، پس رابطه {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H } {TEX} برقرار است. کافیست نشان دهیم :

@@{TEX()} {H \subseteq gHg^{-1}} {TEX}@@

اما برای هر {TEX()} {g \in G & h \in H } {TEX} داریم:

@@{TEX()} {x=(g)^{-1}h(g^{-1})^{-1} \in H } {TEX}@@

بنابراین {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} که {TEX()} {ghg^{-1}=h } {TEX} است. لذا {TEX()} {h \in gHg^{-1}} {TEX} ، یعنی {TEX()} {H \subseteq gHg^{-1} } {TEX}

بنابراین :

@@{TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H } {TEX}@@

{TEX()} {2 \Rightarrow 3 } {TEX}:

فرض می‌کنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} ، شرط {TEX()} {gHg^{-1}=H } {TEX} برقرار است .آنگاه {TEX()} {gH=Hg} {TEX}

{TEX()} { 3 \Rightarrow 1} {TEX}:

فرض می‌کنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} داریم {TEX()} {gH=Hg } {TEX} .ثابت می‌کنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} :

کافیست نشان دهیم :

@@{TEX()} {\forall h \in H : ghg^{-1} \in H } {TEX}@@

اما چون {TEX()} {gH=Hg } {TEX} ، لذا برای هر {TEX()} {h \in H } {TEX} ، عنصری مانند {TEX()} {h^\prime } {TEX} وجود دارد که {TEX()} {g h=h^\prime g } {TEX} .بنابراین :

@@{TEX()} {ghg^{-1}=h^\prime \in H \Rightarrow ghg^{-1} \in H \Rightarrow H \triangleleft G } {TEX}@@

!!قضیه 2.

اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {H \leG} {TEX} و همچنین {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}.

__اثبات:__

چون {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} ، بنابراین برای هر {TEX()} {g \in G} {TEX}داریم :

@@{TEX()} {G=H \cup gH=H \cup Hg ; H=eH} {TEX}@@

رابطه اخیر که آن را * نامگذاری می‌کنیم، نتیجه می‌دهد {TEX()} {g \in H} {TEX} یا {TEX()} {g \notin H} {TEX}.

اگر {TEX()} {g \in H} {TEX} ،آنگاه :

@@{TEX()} {H=gH , H=Hg \Rightarrow Hg=gH } {TEX}@@

در این حالت طبق قضیه قبل {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} خواهد شد.

اگر {TEX()} { g \notin H } {TEX} آنگاه نشان می‌دهیم {TEX()} {G-H=Hg , G-H=gH} {TEX}:

ابتدا نشان می‌دهیم {TEX()} { G-H=gH } {TEX}:

بدیهی است {TEX()} { G-H \subseteq gH } {TEX}. این رابطه از رابطه * قابل دسترسی است.

همچنین {TEX()} {gH \subseteq G-H} {TEX}. زیرا برای هر {TEX()} {gh \in gH} {TEX} بدیهی است {TEX()} {gh \notin H} {TEX}. زیرا اگر {TEX()} {gh \in H} {TEX} ، با توجه به اینکه {TEX()} {h^{-1} \in H} {TEX} است ، خواهیم داشت :

@@{TEX()} {g=ghh^{-1} \in H} {TEX}@@

که این تناقض است.

بنابراین طبق رابطه * {TEX()} {gh \in G-H } {TEX} .یعنی {TEX()} {gh \subseteq G-H } {TEX}

لذا {TEX()} {gH=G-H} {TEX}خواهد شد .

مشابهاً {TEX()} {Hg=G-H} {TEX}. پس {TEX()} {Hg=gH} {TEX}.یعنی {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}.

---

!نکته‌ها.

* اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، آنگاه {TEX()} { Z(G) \triangleleft G } {TEX}.

* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد و {TEX()} {H } {TEX} زیرگروه دلخواه آن باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}

*نرمال بودن دارای خاصیت تعدی نیست.

*فرض کنید {TEX()} {G } {TEX} یک گروه و {TEX()} { H } {TEX}زیرگروه آن باشد . همچنین فرض کنید {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} و {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه گروه {TEX()} {G } {TEX} باشند ، آنگاه {TEX()} {Ha=Hb} {TEX} اگر و فقط اگر {TEX()} {ab^{-1} \in H } {TEX}.

*هرگاه {TEX()} { H,K \triangleleft G } {TEX} آنگاه {TEX()} { H \cap K \triangleleft G } {TEX}.

*اگر {TEX()} {|G|=p } {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} یک عدد اول است ، باشد ، آنگاه تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند.

---

!زیرگروه ماکسیمال.

زیرگروه نرمال {TEX()} {M} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نرمال ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} می‌نامند . اگر {TEX()} {M \neq G} {TEX} و زیرگروه نرمال محض از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {J} {TEX} یافت نشود ، به طوریکه {TEX()} {M < J} {TEX}.

!!تذکر.

* برای اثبات ماکسیمال بودن یک ((زیرگروه)) ، فرض می‌کنیم {TEX()} {M < J} {TEX} و ثابت می‌کنیم {TEX()} {J=G} {TEX}

* زیر گروه نرمال ماکسیمال ، در هر گروه ، منحصر بفرد نمی‌باشد .

---

!همچنین ببینید

*((زیرگروه خارج‌قسمتی))

*((گروه دوری))

*((گروه ساده))

---

#@^