منو
 کاربر Online
694 کاربر online
تاریخچه ی: زیرگروه نرمال

تفاوت با نگارش: 2

Lines: 1-58Lines: 1-78
-زیرگروه نرمال:
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است و {TEX()} {H \le G} {TEX} . هرگاه برای هر {TEX()} {g \in G , h \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} ، گوییم {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است و آنرا با نماد {TEX()} {H \triangleleft G} {TEX} نمایش می دهیم.
همچنین زیر مجموعه {TEX()} {{ghg^{-1} | h \in H} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {gHg^{-1}} {TEX} نمایش می دهیم ، بنا به تعریف {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H} {TEX}
قضیه:
+||V{maketoc}||

^@#16:
!
زیرگروه نرمال.
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {H \le G} {TEX} . هرگاه برای هر {TEX()} {g \in G , h \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} ، گوییم {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است و آنرا با نماد {TEX()} {H \triangleleft G} {TEX} نمایش میدهیم.
همچنین ((زیر مجموعه)) {TEX()} {\{ghg^{-1} | h \in H\}} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {gHg^{-1}} {TEX} نمایش میدهیم ، بنا به تعریف {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H} {TEX}
---
!
قضیه‌ها.
!!قضیه 1.
 اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه گزاره های زیر هم ارزند : اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه گزاره های زیر هم ارزند :
-1 . {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}
2 . {TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H} {TEX}
3 . {TEX()} {\forall g \in G : gH=Hg} {TEX}
اثبات:
+# {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}
# {TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H} {TEX}
# {TEX()} {\forall g \in G : gH=Hg} {TEX}
__اثبات:__
 {TEX()} {1 \Rightarrow 2} {TEX}: {TEX()} {1 \Rightarrow 2} {TEX}:
 فرض می کنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} . کافیست نشان دهیم : فرض می کنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} . کافیست نشان دهیم :
-{TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}\subseteq H & H \subseteq gHg^{-1} } {TEX} +@@{TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}\subseteq H , H \subseteq gHg^{-1} } {TEX}@@
 چون{TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} ، پس رابطه {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H } {TEX} برقرار است. کافیست نشان دهیم : چون{TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} ، پس رابطه {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H } {TEX} برقرار است. کافیست نشان دهیم :
-{TEX()} {H \subseteq gHg^{-1}} {TEX} +@@{TEX()} {H \subseteq gHg^{-1}} {TEX}@@
 اما برای هر {TEX()} {g \in G & h \in H } {TEX} داریم: اما برای هر {TEX()} {g \in G & h \in H } {TEX} داریم:
-{TEX()} {x=(g^){-1}h(g^{-1})^{-1} \in H } {TEX}
بنابراین {TEX()} {gxg^{-1} \in H} {TEX} که {TEX()} {ghg^{-1}=h } {TEX} است. لذا {TEX()} {h \in gHg^{-1}} {TEX} ، یعنی {TEX()} {H \subseteq gHg^{-1} } {TEX}
+@@{TEX()} {x=(g)^{-1}h(g^{-1})^{-1} \in H } {TEX}@@
بنابراین {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} که {TEX()} {ghg^{-1}=h } {TEX} است. لذا {TEX()} {h \in gHg^{-1}} {TEX} ، یعنی {TEX()} {H \subseteq gHg^{-1} } {TEX}
 بنابراین : بنابراین :
-{TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H } {TEX} +@@{TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H } {TEX}@@
 {TEX()} {2 \Rightarrow 3 } {TEX}: {TEX()} {2 \Rightarrow 3 } {TEX}:
-فرض میکنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} ، شرط {TEX()} {gHG^{-1}=H } {TEX} برقرار است .آنگاه {TEX()} {gH=Hg} {TEX} +فرض مکنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} ، شرط {TEX()} {gHg^{-1}=H } {TEX} برقرار است .آنگاه {TEX()} {gH=Hg} {TEX}
 {TEX()} { 3 \Rightarrow 1} {TEX}: {TEX()} { 3 \Rightarrow 1} {TEX}:
-فرض می کنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} داریم {TEX()} {gH=Hg } {TEX} .ثابت میکنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} : +فرض میکنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} داریم {TEX()} {gH=Hg } {TEX} .ثابت مکنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} :
 کافیست نشان دهیم : کافیست نشان دهیم :
-{TEX()} {\forall h \in H : ghg^{-1} \in H } {TEX} +@@{TEX()} {\forall h \in H : ghg^{-1} \in H } {TEX}@@
 اما چون {TEX()} {gH=Hg } {TEX} ، لذا برای هر {TEX()} {h \in H } {TEX} ، عنصری مانند {TEX()} {h^\prime } {TEX} وجود دارد که {TEX()} {g h=h^\prime g } {TEX} .بنابراین : اما چون {TEX()} {gH=Hg } {TEX} ، لذا برای هر {TEX()} {h \in H } {TEX} ، عنصری مانند {TEX()} {h^\prime } {TEX} وجود دارد که {TEX()} {g h=h^\prime g } {TEX} .بنابراین :
-{TEX()} {ghg^{-1}=h^\prime \in H \Rightarrow ghg^{-1} \in H \Rightarrow H \triangleleft G } {TEX}
قضیه:
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {H \leG} {TEX} و همچنین {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}.
اثبات:
+@@{TEX()} {ghg^{-1}=h^\prime \in H \Rightarrow ghg^{-1} \in H \Rightarrow H \triangleleft G } {TEX}@@

!!
قضیه 2.
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {H \leG} {TEX} و همچنین {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}.
__اثبات:__
 چون {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} ، بنابراین برای هر {TEX()} {g \in G} {TEX}داریم : چون {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} ، بنابراین برای هر {TEX()} {g \in G} {TEX}داریم :
-{TEX()} {G=H \cup gH=H \cup Hg ; H=eH} {TEX}
رابطه اخیر که آن را * نامگذاری می کنیم، نتیجه میدهد {TEX()} {g \in H} {TEX} یا {TEX()} {g \notin H} {TEX}.
+@@{TEX()} {G=H \cup gH=H \cup Hg ; H=eH} {TEX}@@
رابطه اخیر که آن را * نامگذاری میکنیم، نتیجه مدهد {TEX()} {g \in H} {TEX} یا {TEX()} {g \notin H} {TEX}.
 اگر {TEX()} {g \in H} {TEX} ،آنگاه : اگر {TEX()} {g \in H} {TEX} ،آنگاه :
-{TEX()} {H=gH & H=Hg \Rightarrow Hg=gH } {TEX} +@@{TEX()} {H=gH , H=Hg \Rightarrow Hg=gH } {TEX}@@
 در این حالت طبق قضیه قبل {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} خواهد شد. در این حالت طبق قضیه قبل {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} خواهد شد.
-اگر {TEX()} { g \notin H } {TEX} آنگاه نشان میدهیم {TEX()} {G-H=Hg , G-H=gH} {TEX}:
ابتدا نشان میدهیم {TEX()} { G-H=gH } {TEX}:
+اگر {TEX()} { g \notin H } {TEX} آنگاه نشان مدهیم {TEX()} {G-H=Hg , G-H=gH} {TEX}:
ابتدا نشان مدهیم {TEX()} { G-H=gH } {TEX}:
 بدیهی است {TEX()} { G-H \subseteq gH } {TEX}. این رابطه از رابطه * قابل دسترسی است. بدیهی است {TEX()} { G-H \subseteq gH } {TEX}. این رابطه از رابطه * قابل دسترسی است.
 همچنین {TEX()} {gH \subseteq G-H} {TEX}. زیرا برای هر {TEX()} {gh \in gH} {TEX} بدیهی است {TEX()} {gh \notin H} {TEX}. زیرا اگر {TEX()} {gh \in H} {TEX} ، با توجه به اینکه {TEX()} {h^{-1} \in H} {TEX} است ، خواهیم داشت : همچنین {TEX()} {gH \subseteq G-H} {TEX}. زیرا برای هر {TEX()} {gh \in gH} {TEX} بدیهی است {TEX()} {gh \notin H} {TEX}. زیرا اگر {TEX()} {gh \in H} {TEX} ، با توجه به اینکه {TEX()} {h^{-1} \in H} {TEX} است ، خواهیم داشت :
-{TEX()} {g=ghh^{-1} \in H} {TEX} +@@{TEX()} {g=ghh^{-1} \in H} {TEX}@@
 که این تناقض است. که این تناقض است.
 بنابراین طبق رابطه * {TEX()} {gh \in G-H } {TEX} .یعنی {TEX()} {gh \subseteq G-H } {TEX} بنابراین طبق رابطه * {TEX()} {gh \in G-H } {TEX} .یعنی {TEX()} {gh \subseteq G-H } {TEX}
 لذا {TEX()} {gH=G-H} {TEX}خواهد شد . لذا {TEX()} {gH=G-H} {TEX}خواهد شد .
 مشابهاً {TEX()} {Hg=G-H} {TEX}. پس {TEX()} {Hg=gH} {TEX}.یعنی {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}. مشابهاً {TEX()} {Hg=G-H} {TEX}. پس {TEX()} {Hg=gH} {TEX}.یعنی {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}.
-نکته :
1 . اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، آنگاه {TEX()} { Z(G) \triangleleft G } {TEX}.
2 . اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه جابجایی باشد و {TEX()} {H } {TEX} زیرگروه دلخواه آن باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}
3 . نرمال بودن دارای خاصیت تعدی نیست.
4 . فرض کنید {TEX()} {G } {TEX} یک گروه و {TEX()} { H } {TEX}زیرگروه آن باشد . همچنین فرض کنید {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} و {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه گروه {TEX()} {G } {TEX} باشند ، آنگاه {TEX()} {Ha=Hb} {TEX} اگر و فقط اگر {TEX()} {ab^{-1} \in H } {TEX}.
5 . هرگاه {TEX()} { H,K \triangleleft G } {TEX} آنگاه {TEX()} { H \cap K \triangleleft G } {TEX}.
اگر {TEX()} {|G|=p } {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} یک عدد اول است ، باشد ، آنگاه تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند.
زیرگروه ماکسیمال:
زیرگروه نرمال {TEX()} {M} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نرمال ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} می نامند . اگر {TEX()} {M \neq G} {TEX} و زیرگروه نرمال محض از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {J} {TEX} یافت نشود ، به طوریکه {TEX()} {M < J} {TEX}.
تذکر:
1 . برای اثبات ماکسیمال بودن یک زیرگروه ، فرض می کنیم {TEX()} {M < J} {TEX} و ثابت می کنیم {TEX()} {J=G} {TEX}
2 . زیر گروه نرمال ماکسیمال ، در هر گروه ، منحصر بفرد نمی باشد .
+---
!
نکته‌ها.
* اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، آنگاه {TEX()} { Z(G) \triangleleft G } {TEX}.
* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد و {TEX()} {H } {TEX} زیرگروه دلخواه آن باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}
*نرمال بودن دارای خاصیت تعدی نیست.
*فرض کنید {TEX()} {G } {TEX} یک گروه و {TEX()} { H } {TEX}زیرگروه آن باشد . همچنین فرض کنید {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} و {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه گروه {TEX()} {G } {TEX} باشند ، آنگاه {TEX()} {Ha=Hb} {TEX} اگر و فقط اگر {TEX()} {ab^{-1} \in H } {TEX}.
*هرگاه {TEX()} { H,K \triangleleft G } {TEX} آنگاه {TEX()} { H \cap K \triangleleft G } {TEX}.
*اگر {TEX()} {|G|=p } {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} یک عدد اول است ، باشد ، آنگاه تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند.
---
!
زیرگروه ماکسیمال.
زیرگروه نرمال {TEX()} {M} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نرمال ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} مینامند . اگر {TEX()} {M \neq G} {TEX} و زیرگروه نرمال محض از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {J} {TEX} یافت نشود ، به طوریکه {TEX()} {M < J} {TEX}.
!!تذکر.
* برای اثبات ماکسیمال بودن یک ((زیرگروه)) ، فرض میکنیم {TEX()} {M < J} {TEX} و ثابت میکنیم {TEX()} {J=G} {TEX}
* زیر گروه نرمال ماکسیمال ، در هر گروه ، منحصر بفرد نمیباشد .
---
!همچنین ببینید
*((زیرگروه خارج‌قسمتی))
*((گروه دوری))
*((گروه ساده))
---
!پیوندهای خارجی
[en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup]
[mathworld.wolfram.com/NormalSubgroup.html]
[planetmath.org/encyclopedia/NormalSubgroup.html ]
#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [11:30 ]   4   سعید صدری      جاری 
 چهارشنبه 30 فروردین 1385 [05:41 ]   3   زینب معزی      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:51 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:37 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..