تاریخچه ی:
زیرگروه نرمال
تفاوت با نگارش: 2
- | زیرگروه نرمال: فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است و {TEX()} {H \le G} {TEX} . هرگاه برای هر {TEX()} {g \in G , h \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} ، گوییم {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است و آنرا با نماد {TEX()} {H \triangleleft G} {TEX} نمایش می دهیم. همچنین زیر مجموعه {TEX()} {{ghg^{-1} | h \in H} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {gHg^{-1}} {TEX} نمایش می دهیم ، بنا به تعریف {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H} {TEX} قضیه: |
+ | ||V{maketoc}||
^@#16: !زیرگروه نرمال. فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {H \le G} {TEX} . هرگاه برای هر {TEX()} {g \in G , h \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} ، گوییم {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است و آنرا با نماد {TEX()} {H \triangleleft G} {TEX} نمایش میدهیم. همچنین ((زیر مجموعه)) {TEX()} {\{ghg^{-1} | h \in H\}} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {gHg^{-1}} {TEX} نمایش میدهیم ، بنا به تعریف {TEX()} {H} {TEX} نرمال در {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H} {TEX} --- !قضیهها. !!قضیه 1. |
| اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه گزاره های زیر هم ارزند : | | اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه گزاره های زیر هم ارزند : |
- | 1 . {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} 2 . {TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H} {TEX} 3 . {TEX()} {\forall g \in G : gH=Hg} {TEX} اثبات: |
+ | # {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} # {TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H} {TEX} # {TEX()} {\forall g \in G : gH=Hg} {TEX} __اثبات:__ |
| {TEX()} {1 \Rightarrow 2} {TEX}: | | {TEX()} {1 \Rightarrow 2} {TEX}: |
| فرض می کنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} . کافیست نشان دهیم : | | فرض می کنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} . کافیست نشان دهیم : |
- | {TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}\subseteq H & H \subseteq gHg^{-1} } {TEX} |
+ | @@{TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}\subseteq H , H \subseteq gHg^{-1} } {TEX}@@ |
| چون{TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} ، پس رابطه {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H } {TEX} برقرار است. کافیست نشان دهیم : | | چون{TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} ، پس رابطه {TEX()} {gHg^{-1} \subseteq H } {TEX} برقرار است. کافیست نشان دهیم : |
- | {TEX()} {H \subseteq gHg^{-1}} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {H \subseteq gHg^{-1}} {TEX}@@ |
| اما برای هر {TEX()} {g \in G & h \in H } {TEX} داریم: | | اما برای هر {TEX()} {g \in G & h \in H } {TEX} داریم: |
- | {TEX()} {x=(g^){-1}h(g^{-1})^{-1} \in H } {TEX} بنابراین {TEX()} {gxg^{-1} \in H} {TEX} که {TEX()} {ghg^{-1}=h } {TEX} است. لذا {TEX()} {h \in gHg^{-1}} {TEX} ، یعنی {TEX()} {H \subseteq gHg^{-1} } {TEX} |
+ | @@{TEX()} {x=(g)^{-1}h(g^{-1})^{-1} \in H } {TEX}@@ بنابراین {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} که {TEX()} {ghg^{-1}=h } {TEX} است. لذا {TEX()} {h \in gHg^{-1}} {TEX} ، یعنی {TEX()} {H \subseteq gHg^{-1} } {TEX} |
| بنابراین : | | بنابراین : |
- | {TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H } {TEX} |
+ | @@{TEX()} {\forall g \in G : gHg^{-1}=H } {TEX}@@
|
| {TEX()} {2 \Rightarrow 3 } {TEX}: | | {TEX()} {2 \Rightarrow 3 } {TEX}: |
- | فرض میکنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} ، شرط {TEX()} {gHG^{-1}=H } {TEX} برقرار است .آنگاه {TEX()} {gH=Hg} {TEX} |
+ | فرض مکنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} ، شرط {TEX()} {gHg^{-1}=H } {TEX} برقرار است .آنگاه {TEX()} {gH=Hg} {TEX}
|
| {TEX()} { 3 \Rightarrow 1} {TEX}: | | {TEX()} { 3 \Rightarrow 1} {TEX}: |
- | فرض می کنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} داریم {TEX()} {gH=Hg } {TEX} .ثابت میکنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} : |
+ | فرض میکنیم برای هر {TEX()} {g \in G } {TEX} داریم {TEX()} {gH=Hg } {TEX} .ثابت مکنیم {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} : |
| کافیست نشان دهیم : | | کافیست نشان دهیم : |
- | {TEX()} {\forall h \in H : ghg^{-1} \in H } {TEX} |
+ | @@{TEX()} {\forall h \in H : ghg^{-1} \in H } {TEX}@@ |
| اما چون {TEX()} {gH=Hg } {TEX} ، لذا برای هر {TEX()} {h \in H } {TEX} ، عنصری مانند {TEX()} {h^\prime } {TEX} وجود دارد که {TEX()} {g h=h^\prime g } {TEX} .بنابراین : | | اما چون {TEX()} {gH=Hg } {TEX} ، لذا برای هر {TEX()} {h \in H } {TEX} ، عنصری مانند {TEX()} {h^\prime } {TEX} وجود دارد که {TEX()} {g h=h^\prime g } {TEX} .بنابراین : |
- | {TEX()} {ghg^{-1}=h^\prime \in H \Rightarrow ghg^{-1} \in H \Rightarrow H \triangleleft G } {TEX} قضیه: اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {H \leG} {TEX} و همچنین {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}. اثبات: |
+ | @@{TEX()} {ghg^{-1}=h^\prime \in H \Rightarrow ghg^{-1} \in H \Rightarrow H \triangleleft G } {TEX}@@
!!قضیه 2. اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {H \leG} {TEX} و همچنین {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}. __اثبات:__ |
| چون {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} ، بنابراین برای هر {TEX()} {g \in G} {TEX}داریم : | | چون {TEX()} {[G : H]=2} {TEX} ، بنابراین برای هر {TEX()} {g \in G} {TEX}داریم : |
- | {TEX()} {G=H \cup gH=H \cup Hg ; H=eH} {TEX} رابطه اخیر که آن را * نامگذاری می کنیم، نتیجه میدهد {TEX()} {g \in H} {TEX} یا {TEX()} {g \notin H} {TEX}. |
+ | @@{TEX()} {G=H \cup gH=H \cup Hg ; H=eH} {TEX}@@ رابطه اخیر که آن را * نامگذاری میکنیم، نتیجه مدهد {TEX()} {g \in H} {TEX} یا {TEX()} {g \notin H} {TEX}. |
| اگر {TEX()} {g \in H} {TEX} ،آنگاه : | | اگر {TEX()} {g \in H} {TEX} ،آنگاه : |
- | {TEX()} {H=gH & H=Hg \Rightarrow Hg=gH } {TEX} |
+ | @@{TEX()} {H=gH , H=Hg \Rightarrow Hg=gH } {TEX}@@ |
| در این حالت طبق قضیه قبل {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} خواهد شد. | | در این حالت طبق قضیه قبل {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} خواهد شد. |
- | اگر {TEX()} { g \notin H } {TEX} آنگاه نشان میدهیم {TEX()} {G-H=Hg , G-H=gH} {TEX}: ابتدا نشان میدهیم {TEX()} { G-H=gH } {TEX}: |
+ | اگر {TEX()} { g \notin H } {TEX} آنگاه نشان مدهیم {TEX()} {G-H=Hg , G-H=gH} {TEX}: ابتدا نشان مدهیم {TEX()} { G-H=gH } {TEX}: |
| بدیهی است {TEX()} { G-H \subseteq gH } {TEX}. این رابطه از رابطه * قابل دسترسی است. | | بدیهی است {TEX()} { G-H \subseteq gH } {TEX}. این رابطه از رابطه * قابل دسترسی است. |
| همچنین {TEX()} {gH \subseteq G-H} {TEX}. زیرا برای هر {TEX()} {gh \in gH} {TEX} بدیهی است {TEX()} {gh \notin H} {TEX}. زیرا اگر {TEX()} {gh \in H} {TEX} ، با توجه به اینکه {TEX()} {h^{-1} \in H} {TEX} است ، خواهیم داشت : | | همچنین {TEX()} {gH \subseteq G-H} {TEX}. زیرا برای هر {TEX()} {gh \in gH} {TEX} بدیهی است {TEX()} {gh \notin H} {TEX}. زیرا اگر {TEX()} {gh \in H} {TEX} ، با توجه به اینکه {TEX()} {h^{-1} \in H} {TEX} است ، خواهیم داشت : |
- | {TEX()} {g=ghh^{-1} \in H} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {g=ghh^{-1} \in H} {TEX}@@ |
| که این تناقض است. | | که این تناقض است. |
| بنابراین طبق رابطه * {TEX()} {gh \in G-H } {TEX} .یعنی {TEX()} {gh \subseteq G-H } {TEX} | | بنابراین طبق رابطه * {TEX()} {gh \in G-H } {TEX} .یعنی {TEX()} {gh \subseteq G-H } {TEX} |
| لذا {TEX()} {gH=G-H} {TEX}خواهد شد . | | لذا {TEX()} {gH=G-H} {TEX}خواهد شد . |
| مشابهاً {TEX()} {Hg=G-H} {TEX}. پس {TEX()} {Hg=gH} {TEX}.یعنی {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}. | | مشابهاً {TEX()} {Hg=G-H} {TEX}. پس {TEX()} {Hg=gH} {TEX}.یعنی {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX}. |
- | نکته : 1 . اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، آنگاه {TEX()} { Z(G) \triangleleft G } {TEX}. 2 . اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه جابجایی باشد و {TEX()} {H } {TEX} زیرگروه دلخواه آن باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} 3 . نرمال بودن دارای خاصیت تعدی نیست. 4 . فرض کنید {TEX()} {G } {TEX} یک گروه و {TEX()} { H } {TEX}زیرگروه آن باشد . همچنین فرض کنید {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} و {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه گروه {TEX()} {G } {TEX} باشند ، آنگاه {TEX()} {Ha=Hb} {TEX} اگر و فقط اگر {TEX()} {ab^{-1} \in H } {TEX}. 5 . هرگاه {TEX()} { H,K \triangleleft G } {TEX} آنگاه {TEX()} { H \cap K \triangleleft G } {TEX}. اگر {TEX()} {|G|=p } {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} یک عدد اول است ، باشد ، آنگاه تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند. زیرگروه ماکسیمال: زیرگروه نرمال {TEX()} {M} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نرمال ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} می نامند . اگر {TEX()} {M \neq G} {TEX} و زیرگروه نرمال محض از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {J} {TEX} یافت نشود ، به طوریکه {TEX()} {M < J} {TEX}. تذکر: 1 . برای اثبات ماکسیمال بودن یک زیرگروه ، فرض می کنیم {TEX()} {M < J} {TEX} و ثابت می کنیم {TEX()} {J=G} {TEX} 2 . زیر گروه نرمال ماکسیمال ، در هر گروه ، منحصر بفرد نمی باشد .
|
+ | --- !نکتهها. * اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، آنگاه {TEX()} { Z(G) \triangleleft G } {TEX}. * اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد و {TEX()} {H } {TEX} زیرگروه دلخواه آن باشد ، آنگاه {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} *نرمال بودن دارای خاصیت تعدی نیست. *فرض کنید {TEX()} {G } {TEX} یک گروه و {TEX()} { H } {TEX}زیرگروه آن باشد . همچنین فرض کنید {TEX()} { H \triangleleft G } {TEX} و {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه گروه {TEX()} {G } {TEX} باشند ، آنگاه {TEX()} {Ha=Hb} {TEX} اگر و فقط اگر {TEX()} {ab^{-1} \in H } {TEX}. *هرگاه {TEX()} { H,K \triangleleft G } {TEX} آنگاه {TEX()} { H \cap K \triangleleft G } {TEX}. *اگر {TEX()} {|G|=p } {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} یک عدد اول است ، باشد ، آنگاه تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند. --- !زیرگروه ماکسیمال. زیرگروه نرمال {TEX()} {M} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نرمال ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} مینامند . اگر {TEX()} {M \neq G} {TEX} و زیرگروه نرمال محض از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {J} {TEX} یافت نشود ، به طوریکه {TEX()} {M < J} {TEX}. !!تذکر. * برای اثبات ماکسیمال بودن یک ((زیرگروه)) ، فرض میکنیم {TEX()} {M < J} {TEX} و ثابت میکنیم {TEX()} {J=G} {TEX} * زیر گروه نرمال ماکسیمال ، در هر گروه ، منحصر بفرد نمیباشد . --- !همچنین ببینید *((زیرگروه خارجقسمتی)) *((گروه دوری)) *((گروه ساده)) --- !پیوندهای خارجی [en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup] [mathworld.wolfram.com/NormalSubgroup.html] [planetmath.org/encyclopedia/NormalSubgroup.html ] #@^ |