منو
 کاربر Online
812 کاربر online
تاریخچه ی: زیرگروه خارج قسمتی

زیرگروه خارج قسمتی :
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و :
{TEX()} {G/N={gN| g \in G}} {TEX}
قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم :
{TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX}
{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است.
تذکر:
اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه :
{TEX()} {G/N={g+N |g \in G}} {TEX}
و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم:
{TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX}
قضیه :
اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX}
اثبات:
ابتدا نشان میدهیم که{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}گروه است :
{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه :
{TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX}
این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا:
{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX}
{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX}
با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین :
{TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX}
اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم :
{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX}
حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم :
{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX}
بنابراین:
{TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX}
جابجاگر:
اگر {TEX()} {} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می نامند و نشان می دهیم :
{TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}
نکته:
1 . اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جابجایی باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس.
2. در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجا گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
3 . برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم:
{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}
گروه مشتق ( گروه جابجاگر ها ):
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف میکنیم :
{TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}
که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را گروه مشتق یا جابجاگر های {TEX()} {G} {TEX} می نامند.
قضیه :
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX}
اثبات :
میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}.
حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}:
{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}
بنابراین:
{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}
لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}:
{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}
قضیه :
اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX}
اثبات:
فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند.
میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی گروه خارج قسمتی {TEX()} {G/N} {TEX} است.
جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر می گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر:
{TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 چهارشنبه 30 فروردین 1385 [05:41 ]   3   زینب معزی      جاری 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:51 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:40 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..