منو
 کاربر Online
985 کاربر online
تاریخچه ی: زیرگروه خارج قسمتی

تفاوت با نگارش: 1

Lines: 1-58Lines: 1-70
-زیرگروه خارج قسمتی : +||V{maketoc}||
!^@#16:
زیرگروه خارج قسمتی :
 فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و : فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و :
 {TEX()} {G/N={gN| g \in G}} {TEX} {TEX()} {G/N={gN| g \in G}} {TEX}
 قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم : قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم :
 {TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX} {TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX}
 {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است. {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است.
-تذکر: +!!تذکر:
 اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه : اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه :
 {TEX()} {G/N={g+N |g \in G}} {TEX} {TEX()} {G/N={g+N |g \in G}} {TEX}
 و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم: و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم:
 {TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX} {TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX}
-قضیه : +---

!!
قضیه 1.
 اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX} اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX}
-اثبات: +
__
اثبات:__
 ابتدا نشان میدهیم که{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}گروه است : ابتدا نشان میدهیم که{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}گروه است :
 {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه : {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه :
-{TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX} +@@{TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX}@@
 این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا: این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا:
-{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX}
{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX}
+@@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX}@@
@@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX}@@
 با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین : با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین :
-{TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX} +@@{TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX}@@
 اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم : اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم :
-{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX} +@@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX}@@
 حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم : حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم :
-{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX} +@@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX}@@
 بنابراین: بنابراین:
-{TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX}
جابجاگر:
اگر {TEX()} {} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می نامند و نشان می دهیم :
+@@{TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX}@@
---
!
جابجاگر:
اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می نامند و نشان می دهیم :
 {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX} {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}
-نکته:
1 . اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جابجایی باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس.
2. در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجا گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
3 . برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم:
{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}
گروه مشتق ( گروه جابجاگر ها ):
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف میکنیم :
+!!نکته:
* اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جابجایی باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس.
*در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجا گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
* برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم:
@@{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@

!!
گروه مشتق ( گروه جابجاگر ها ):
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم :
 {TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX} {TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}
 که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را گروه مشتق یا جابجاگر های {TEX()} {G} {TEX} می نامند.  که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را گروه مشتق یا جابجاگر های {TEX()} {G} {TEX} می نامند.
-قضیه : +!!قضیه2 .
 اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX}  اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX}
-اثبات : +
__
اثبات :__
 میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}. میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}.
 حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}: حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}:
-{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX} +@@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@
 بنابراین: بنابراین:
-{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX} +@@{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@
 لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}: لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}:
-{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}
قضیه :
+@@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@
!!قضیه 3 .
  اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX}  اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX}
-اثبات: +
__
اثبات:__
 فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند. فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند.
 میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی گروه خارج قسمتی {TEX()} {G/N} {TEX} است. میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی گروه خارج قسمتی {TEX()} {G/N} {TEX} است.
 جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر می گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر: جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر می گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر:
- {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX} +@@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@
 +#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 چهارشنبه 30 فروردین 1385 [05:41 ]   3   زینب معزی      جاری 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:51 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:40 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..