تاریخچه ی:
زیرگروه خارج قسمتی
تفاوت با نگارش: 1
- | زیرگروه خارج قسمتی : |
+ | ||V{maketoc}|| !^@#16:زیرگروه خارج قسمتی : |
| فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و : | | فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و : |
| {TEX()} {G/N={gN| g \in G}} {TEX} | | {TEX()} {G/N={gN| g \in G}} {TEX} |
| قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم : | | قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم : |
| {TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX} | | {TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX} |
| {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است. | | {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است. |
- | تذکر: |
+ | !!تذکر: |
| اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه : | | اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه : |
| {TEX()} {G/N={g+N |g \in G}} {TEX} | | {TEX()} {G/N={g+N |g \in G}} {TEX} |
| و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم: | | و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم: |
| {TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX} | | {TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX} |
- | قضیه : |
+ | ---
!!قضیه 1. |
| اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX} | | اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX} |
- | اثبات: |
+ | __اثبات:__
|
| ابتدا نشان میدهیم که{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}گروه است : | | ابتدا نشان میدهیم که{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}گروه است : |
| {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه : | | {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه : |
- | {TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX} |
+ | @@{TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX}@@ |
| این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا: | | این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا: |
- | {TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX} {TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX}@@ |
| با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین : | | با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین : |
- | {TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX}@@ |
| اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم : | | اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم : |
- | {TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX}@@ |
| حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم : | | حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم : |
- | {TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX}@@ |
| بنابراین: | | بنابراین: |
- | {TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX} جابجاگر: اگر {TEX()} {} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می نامند و نشان می دهیم : |
+ | @@{TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX}@@ --- !جابجاگر: اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می نامند و نشان می دهیم : |
| {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX} | | {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX} |
- | نکته: 1 . اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جابجایی باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس. 2. در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجا گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد . 3 . برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم: {TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX} گروه مشتق ( گروه جابجاگر ها ): اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف میکنیم : |
+ | !!نکته: * اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جابجایی باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس. *در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجا گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد . * برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم: @@{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@
!!گروه مشتق ( گروه جابجاگر ها ): اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم : |
| {TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX} | | {TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX} |
| که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را گروه مشتق یا جابجاگر های {TEX()} {G} {TEX} می نامند. | | که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را گروه مشتق یا جابجاگر های {TEX()} {G} {TEX} می نامند. |
- | قضیه : |
+ | !!قضیه2 . |
| اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX} | | اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX} |
- | اثبات : |
+ | __اثبات :__
|
| میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}. | | میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}. |
| حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}: | | حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}: |
- | {TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@ |
| بنابراین: | | بنابراین: |
- | {TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@ |
| لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}: | | لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}: |
- | {TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX} قضیه : |
+ | @@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@ !!قضیه 3 . |
| اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX} | | اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX} |
- | اثبات: |
+ | __اثبات:__
|
| فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند. | | فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند. |
| میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی گروه خارج قسمتی {TEX()} {G/N} {TEX} است. | | میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی گروه خارج قسمتی {TEX()} {G/N} {TEX} است. |
| جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر می گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر: | | جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر می گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر: |
- | {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX} |
+ | @@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@ |
| + | #@^ |