منو
 کاربر Online
802 کاربر online
تاریخچه ی: زیرگروه خارج‌قسمتی

||V{maketoc}||
!^@#16:زیرگروه خارج قسمتی :
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و :
{TEX()} {G/N={gN| g \in G}} {TEX}
قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم :
{TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX}
{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است.
!!تذکر:
اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه :
{TEX()} {G/N={g+N |g \in G}} {TEX}
و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم:
{TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX}
---
!قضیه‌ها
!!قضیه 1.
اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX}

__اثبات:__

ابتدا نشان می‌دهیم که {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} گروه است :
{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه :
@@{TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX}@@
این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا:
@@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX}@@
@@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX}@@
با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین :
@@{TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX}@@
اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم :
@@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX}@@
حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم :
@@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX}@@
بنابراین:
@@{TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX}@@
---
!همچنین ببینید
*((زیرگروه خارج‌قسمتی))
---
!پیوندهای خارجی
[http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_group]
[http://mathworld.wolfram.com/QuotientGroup.html]
#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 پنج شنبه 22 تیر 1385 [10:20 ]   4   زینب معزی      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:57 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:55 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:39 ]   1   سعید صدری      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..