منو
 صفحه های تصادفی
سبکتکین
ضرورت ایمان مذهبی و نظر ویلیام جیمس
کاربردهای نقشه برداری ژنی
جذب گازها
معجزات امام زمان عج
درس آرایه های ادبی
اندازه گیری در دنیای نانومتر
قطرپایین رو در عکاسی
رشته نمایش
علی علیه السلام در قرآن - مومن : 8، شوری : 5
 کاربر Online
657 کاربر online
تاریخچه ی: زیرگروه خارج‌قسمتی

تفاوت با نگارش: 1

Lines: 1-70Lines: 1-41
 ||V{maketoc}|| ||V{maketoc}||
 !^@#16:زیرگروه خارج قسمتی : !^@#16:زیرگروه خارج قسمتی :
 فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و : فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و :
-{TEX()} {G/N={gN| g \in G}} {TEX} +@@{TEX()} {G/N=\{gN| g \in G\}} {TEX}@@
 قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم : قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم :
-{TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX} +@@{TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX}@@
 {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است. {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است.
 !!تذکر: !!تذکر:
 اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه : اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه :
-{TEX()} {G/N={g+N |g \in G}} {TEX} +@@{TEX()} {G/N=\{g+N |g \in G\}} {TEX}@@
 و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم: و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم:
-{TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX} +@@{TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX}@@
 --- ---
- +!قضیه‌ها
 !!قضیه 1. !!قضیه 1.
 اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX} اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX}
 __اثبات:__ __اثبات:__
-ابتدا نشان میدهیم که{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}گروه است : +ابتدا نشان مدهیم که {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} گروه است :
 {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه : {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه :
 @@{TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX}@@
 این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا: این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا:
 @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX}@@
 @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX}@@
 با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین : با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین :
 @@{TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX}@@ @@{TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX}@@
 اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم : اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم :
 @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX}@@
 حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم : حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم :
 @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX}@@
 بنابراین: بنابراین:
 @@{TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX}@@ @@{TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX}@@
 --- ---
-!جابجاگر:
اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگا
ه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می نامند و نشان می دهیم :
{TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}
!!ن
ته:
* اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جابجایی باشد ،آ
گاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس.
*در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل
نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجا گر ، لزومی ندارد که یک ابجار باشد .
* برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم:
@@{TEX
()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@

!!
گروه مشتق ( گروه جابجاگر ها ):
اگر {TEX(
)} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم :
{TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}
ک {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را گرو متق یا جابجار های {TEX()} {G} {TEX} می نامن.
!!ق
یه2 .
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX}

__اثبات
:__
/>
/>میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}.
حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \
in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}:
/>@@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@
/>بنابراین:
@@{TEX()} {xy{-1}=\pr
od [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@
لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}:
/>@@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@
!!قضیه 3 .
اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \
triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX}

__اثبات:__

فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند
.
میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی گروه خارج قسمتی {TEX()} {G/N} {TEX} است.
جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\pri
me} {TEX} در نظر می گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر:
@@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarr
ow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@
+!همچنین ببینید
*((گروه مشتق))
---
!یودهای خای
[http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_group]
[http://mathworld.wolfram.com/QuotientGroup.html]
 #@^ #@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 پنج شنبه 22 تیر 1385 [09:20 ]   4   زینب معزی      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [11:57 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [11:55 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [11:39 ]   1   سعید صدری      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..