تاریخچه ی:
زیرگروه خارج‌قسمتی
تفاوت با نگارش: 1
| | ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
| | !^@#16:زیرگروه خارج قسمتی : | | !^@#16:زیرگروه خارج قسمتی : |
| | فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و : | | فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {N \triangleleft G} {TEX} .مجموعه همدسته های {TEX()} {N} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} را با نماد {TEX()} {G/N} {TEX} نمایش می دهیم و : |
| - | {TEX()} {G/N={gN| g \in G}} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {G/N=\{gN| g \in G\}} {TEX}@@ |
| | قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم : | | قانون ترکیب را در مجموعه {TEX()} {G/N} {TEX} چنین تعریف می کنیم : |
| - | {TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX} |
+ | @@{TEX()} {\forall aN , bN \in G/N : (aN)(bN)=(abN) } {TEX}@@ |
| | {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است. | | {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}به گروه خارج قسمتی {TEX()} {G} {TEX} به {TEX()} {N} {TEX} معروف است. |
| | !!تذکر: | | !!تذکر: |
| | اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه : | | اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد ، آنگاه : |
| - | {TEX()} {G/N={g+N |g \in G}} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {G/N=\{g+N |g \in G\}} {TEX}@@ |
| | و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم: | | و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم: |
| - | {TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX} |
+ | @@{TEX()} {\forall a+N , b+N \in G/N : (a+N)(b+N)=(a+b)+N} {TEX}@@ |
| | --- | | --- |
| - | |
+ | !قضیه‌ها |
| | !!قضیه 1. | | !!قضیه 1. |
| | اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX} | | اگر {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} ، آنگاه {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} یک گروه است . در صورتیکه {TEX()} {G} {TEX} گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه {TEX()} {G/N} {TEX} برابر است با {TEX()} {[G : N]} {TEX} |
| | __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| - | ابتدا نشان میدهیم که{TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX}گروه است : |
+ | ابتدا نشان مدهیم که {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} گروه است : |
| | {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه : | | {TEX()} {(G/N , \cdot)} {TEX} بسته است . چرا که اگر {TEX()} {aN=bN & cN=dN} {TEX} آنگاه : |
| | @@{TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall a,b \in G ;ab \in G \Rightarrow abN \in G/N \Rightarrow acN= (aN)(cN)=(bN)(dN)=bdN } {TEX}@@ |
| | این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا: | | این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا: |
| | @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : [(aN)(bN)](cN)=(abN)(cN)=abcN} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall aN , bN , cN \in G/N : (aN)[(bN)(cN)]=(aN)(bcN)=abcN} {TEX}@@ |
| | با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین : | | با توجه به اینکه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه است ، بنابراین : |
| | @@{TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {[(aN)(bN)](cN)=(aN)[(bN)(cN)]} {TEX}@@ |
| | اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم : | | اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم : |
| | @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists eN \in G/N ; (aN)(eN)=aeN=aN} {TEX}@@ |
| | حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم : | | حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم : |
| | @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall aN \in G/N \exists a^{-1}N \in G/N ; (aN)(a^{-1}N)=aa^{-1}N=eN=N} {TEX}@@ |
| | بنابراین: | | بنابراین: |
| | @@{TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {|G|=[G : N]|N| \Rightarrow \frac {|G|}{|N|}=|G/N|=[G : N]} {TEX}@@ |
| | --- | | --- |
| - | !جابجاگر:
اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می نامند و نشان می دهیم :
{TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}
!!نته:
* اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جابجایی باشد ،آگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس.
*در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجا گر ، لزومی ندارد که یک ابجار باشد .
* برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم:
@@{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@
!!گروه مشتق ( گروه جابجاگر ها ):
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم :
{TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}
ک {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را گرو متق یا جابجار های {TEX()} {G} {TEX} می نامن.
!!قیه2 .
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX}
__اثبات :__
/>
/>میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}.
حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}:
/>@@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@
/>بنابراین:
@@{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@
لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}:
/>@@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@
!!قضیه 3 .
اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX}
__اثبات:__
فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند.
میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی گروه خارج قسمتی {TEX()} {G/N} {TEX} است.
جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر می گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر:
@@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@
|
+ | !همچنین ببینید
*((گروه مشتق))
---
!یودهای خای
[http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_group]
[http://mathworld.wolfram.com/QuotientGroup.html] |
| | #@^ | | #@^ |
