تاریخچه ی:
زیرگروه
||V{maketoc}||
::||@#16:هر ((زیرمجموعه)) از ((گروه)) که با ضرب آن گروه ، خود تشکیل یک گروه دهد را __زیرگروه__ نامیم.#@||::
^@#16:
!تعریف
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است.در بین ((زیرمجموعه)) های نا تهی {TEX()} {G} {TEX} ، زیر مجموعه هایی وجود دارند که تحت ((عمل دوتایی)) تعریف شده در{TEX()} {G} {TEX} یعنی {TEX()} {*} {TEX} تشکیل یک ((گروه)) میدهند و با توجه به این نوع زیر مجموعه ها میتوان زیر گروه را به صورت زیر تعریف نمود:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} باشد. در این صورت {TEX()} {(H,*)} {TEX} ((زیر گروه)) {TEX()} {G} {TEX} است ، هرگاه شرایط یک ((گروه)) را داشته باشد.
!!قرارداد
# هرگاه {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) باشد و {TEX()} {(H,*)} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد مینویسیم : {TEX()} {H \le G} {TEX} .
# هرگاه {TEX()} {H<G} {TEX} در این صورت {TEX()} {H} {TEX} را زیر گروه سره {TEX()} {G} {TEX} تحت {TEX()} {*} {TEX} گویند.
# تنها زیرگروه تک عضوی هر گروه ، زیرگروه تشکیل شده توسط عنصر خنثی گروه است . و زیرگروه {TEX()} {\{e\}} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه بدیهی آن می نامند و تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} که مساوی {TEX()} {\{e\}} {TEX} نباشند ، زیرگروه نابدیهی {TEX()} {G} {TEX} مینامند.
# {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نابدیهی غیر واقعی {TEX()} {G} {TEX} مینامند.
!!نتیجه
هر ((گروه)) دارای حداقل دو زیرگروه است.
---
!قضیهها
!!قضیه 1.
زیرمجموعه ناتهی {TEX()} {H} {TEX} از ((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} ، زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ،اگر و فقط اگر:
# {TEX()} {G} {TEX} تحت عمل در {TEX()} {G} {TEX} بسته باشد.
# عضو خنثی {TEX()} {e} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} ، به {TEX()} {H} {TEX} متعلق باشد.
# برای هر {TEX()} {a \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {a^{-1} \in H} {TEX}.
__اثبات:__
اگر {TEX()} {H} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد ، بدیهی است که سه شرط فوق برقرار است.
حال فرض میکنیم که سه شرط فوق برقرار باشند. ثابت میکنیم {TEX()} {H \le G} {TEX} :
برای ((زیرگروه)) بودن {TEX()} {H} {TEX} ، لازم است {TEX()} {H} {TEX} با توجه به عمل تعریف شده در {TEX()} {G} {TEX} ، دارای خاصیت شرکتپذیری باشد .
اما با توجه به این که خاصیت شرکتپذیری یک ((گروه)) ، به تمام ((زیرمجموعه)) های آن تحت آن عمل ، انتقال می یابد. ( به ارث میرسد). پس شرکتپذیری نیز در {TEX()} {H} {TEX} برقرار است.
لذا {TEX()} {H \le G} {TEX}.
---
!!قضیه 2.
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} . در این صورت {TEX()} {H \le G} {TEX} اگر و فقط اگر:
@@{TEX()} {\forall a,b \in H : a*b^\prime \in H} {TEX}@@
که در این رابطه {TEX()} {b^\prime} {TEX} وارون {TEX()} {b} {TEX} در{TEX()} {(G,*)} {TEX} است.
__اثبات:__
اگر{TEX()} {H \le G} {TEX} ، بدیهی است برای هر {TEX()} {a,b \in H} {TEX} ، شرط {TEX()} {a,b^\prime \in H} {TEX} برقرار است. بنابراین کافیست نشان دهیم:
{TEX()} {\forall a,b \in H :a*b^\prime \inH \Rightarrow H \le G} {TEX}.
برای این کار ، نشان میدهیم ، سه شرط قضیه فوق در {TEX()} {H } {TEX} صدق میکند:
*خاصیت ((عمل دوتایی|عضو خنثی)):
چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار میدهیم ، {TEX()} {a=b} {TEX} لذا:
@@{TEX()} {a*b^\prime \in H \Rightarrow b*b^\prime =e \in H} {TEX}@@
*حال خاصیت وارون هر عضو را در {TEX()} {H} {TEX} بررسی میکنیم:
چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار میدهیم ، {TEX()} {a=e} {TEX}.بنابراین:
@@{TEX()} {a*b^\prime \in H \Rightarrow e*b^\prime=b^\prime \in H} {TEX}@@
یعنی ((عمل دوتایی|وارون هر عضو)) ، در {TEX()} {H} {TEX} قرار دارد.
*اکنون ((عمل دوتایی|بسته بودن)) را بررسی میکنیم:
@@{TEX()} {\forall a,b \in H : b^\prime \in H \Rightarrow a*b=a*(b^\prime)^\prime \in H} {TEX} @@
بنابراین {TEX()} {H \le G} {TEX}.
__نکته:__
# اگر{TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه ضربی)) باشد ، {TEX()} {\emptyset\neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
@@{TEX()} {\forall a,b \in H : ab^{-1} \inH} {TEX}@@
# همچنین اگر{TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه جمعی)) باشد ، {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
@@{TEX()} {\forall a,b \in H : a-b \inH} {TEX}@@
---
همچنین ببینید
*((گروه))
*((زیرگروه نرمال))
*((زیرگروه خارجقسمتی))
*((گروه ساده))
---
!پیوندهای خارجی
[mathworld.wolfram.com/Subgroup.html]
[http://www.math.csusb.edu/notes/advanced/algebra/gp/node5.html]
#@^