منو
 صفحه های تصادفی
زبان سطح بالا
مراحل تحقیق
مراسم عروسی حضرت آمنه و عبدالله
شبکیه خود را ببینید
خسرو فیروز بن رکن الدوله
بیوتکنولوژی
تکوین اکوسیستم
اثر بهنجار زیمن
تیره شاخ بزی
بافر و بافرینگ
 کاربر Online
505 کاربر online
تاریخچه ی: زیرگروه

||V{maketoc}||
::||@#16:هر ((زیرمجموعه)) از ((گروه)) که با ضرب آن گروه ، خود تشکیل یک گروه دهد را __زیرگروه__ نامیم.#@||::
^@#16:
!تعریف
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است.در بین ((زیرمجموعه)) های نا تهی {TEX()} {G} {TEX} ، زیر مجموعه هایی وجود دارند که تحت ((عمل دوتایی)) تعریف شده در{TEX()} {G} {TEX} یعنی {TEX()} {*} {TEX} تشکیل یک ((گروه)) می‌دهند و با توجه به این نوع زیر مجموعه ها می‌توان زیر گروه را به صورت زیر تعریف نمود:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} باشد. در این صورت {TEX()} {(H,*)} {TEX} ((زیر گروه)) {TEX()} {G} {TEX} است ، هرگاه شرایط یک ((گروه)) را داشته باشد.
!!قرارداد
# هرگاه {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) باشد و {TEX()} {(H,*)} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد می‌نویسیم : {TEX()} {H \le G} {TEX} .
# هرگاه {TEX()} {H<G} {TEX} در این صورت {TEX()} {H} {TEX} را زیر گروه سره {TEX()} {G} {TEX} تحت {TEX()} {*} {TEX} گویند.
# تنها زیرگروه تک عضوی هر گروه ، زیرگروه تشکیل شده توسط عنصر خنثی گروه است . و زیرگروه {TEX()} {\{e\}} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه بدیهی آن می نامند و تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} که مساوی {TEX()} {\{e\}} {TEX} نباشند ، زیرگروه نابدیهی {TEX()} {G} {TEX} می‌نامند.
# {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نابدیهی غیر واقعی {TEX()} {G} {TEX} می‌نامند.
!!نتیجه
هر ((گروه)) دارای حداقل دو زیر‌گروه است.
---
!قضیه‌ها
!!قضیه 1.
زیر‌مجموعه ناتهی {TEX()} {H} {TEX} از ((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} ، زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ،اگر و فقط اگر:
# {TEX()} {G} {TEX} تحت عمل در {TEX()} {G} {TEX} بسته باشد.
# عضو خنثی {TEX()} {e} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} ، به {TEX()} {H} {TEX} متعلق باشد.
# برای هر {TEX()} {a \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {a^{-1} \in H} {TEX}.

__اثبات:__

اگر {TEX()} {H} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد ، بدیهی است که سه شرط فوق برقرار است.
حال فرض می‌کنیم که سه شرط فوق برقرار باشند. ثابت می‌کنیم {TEX()} {H \le G} {TEX} :
برای ((زیرگروه)) بودن {TEX()} {H} {TEX} ، لازم است {TEX()} {H} {TEX} با توجه به عمل تعریف شده در {TEX()} {G} {TEX} ، دارای خاصیت شرکت‌پذیری باشد .
اما با توجه به این که خاصیت شرکت‌پذیری یک ((گروه)) ، به تمام ((زیر‌مجموعه)) های آن تحت آن عمل ، انتقال می یابد. ( به ارث می‌رسد). پس شرکت‌پذیری نیز در {TEX()} {H} {TEX} برقرار است.
لذا {TEX()} {H \le G} {TEX}.
---
!!قضیه 2.
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک ((گروه)) است و {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} . در این صورت {TEX()} {H \le G} {TEX} اگر و فقط اگر:
@@{TEX()} {\forall a,b \in H : a*b^\prime \in H} {TEX}@@
که در این رابطه {TEX()} {b^\prime} {TEX} وارون {TEX()} {b} {TEX} در{TEX()} {(G,*)} {TEX} است.

__اثبات:__

اگر{TEX()} {H \le G} {TEX} ، بدیهی است برای هر {TEX()} {a,b \in H} {TEX} ، شرط {TEX()} {a,b^\prime \in H} {TEX} برقرار است. بنابراین کافیست نشان دهیم:
{TEX()} {\forall a,b \in H :a*b^\prime \inH \Rightarrow H \le G} {TEX}.
برای این کار ، نشان می‌دهیم ، سه شرط قضیه فوق در {TEX()} {H } {TEX} صدق می‌کند:
*خاصیت ((عمل دوتایی|عضو خنثی)):
چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار می‌دهیم ، {TEX()} {a=b} {TEX} لذا:
@@{TEX()} {a*b^\prime \in H \Rightarrow b*b^\prime =e \in H} {TEX}@@
*حال خاصیت وارون هر عضو را در {TEX()} {H} {TEX} بررسی می‌کنیم:
چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار می‌دهیم ، {TEX()} {a=e} {TEX}.بنابراین:
@@{TEX()} {a*b^\prime \in H \Rightarrow e*b^\prime=b^\prime \in H} {TEX}@@
یعنی ((عمل دوتایی|وارون هر عضو)) ، در {TEX()} {H} {TEX} قرار دارد.
*اکنون ((عمل دوتایی|بسته بودن)) را بررسی می‌کنیم:
@@{TEX()} {\forall a,b \in H : b^\prime \in H \Rightarrow a*b=a*(b^\prime)^\prime \in H} {TEX} @@
بنابراین {TEX()} {H \le G} {TEX}.
__نکته:__
# اگر{TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه ضربی)) باشد ، {TEX()} {\emptyset\neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
@@{TEX()} {\forall a,b \in H : ab^{-1} \inH} {TEX}@@
# همچنین اگر{TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه جمعی)) باشد ، {TEX()} {\emptyset \neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
@@{TEX()} {\forall a,b \in H : a-b \inH} {TEX}@@
---
همچنین ببینید
*((گروه))
*((زیرگروه نرمال))
*((زیرگروه خارج‌قسمتی))
*((گروه ساده))
---
!پیوندهای خارجی
[mathworld.wolfram.com/Subgroup.html]
[http://www.math.csusb.edu/notes/advanced/algebra/gp/node5.html]
#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 سه شنبه 29 فروردین 1385 [09:50 ]   4   سعید صدری      جاری 
 سه شنبه 29 فروردین 1385 [09:48 ]   3   زینب معزی      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:51 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:28 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..