منو
 صفحه های تصادفی
سیستم سرمایش صوتی
اقشار مختلف شهر تیواناکو
پگماتیت
استاندارد های مقاومت
امام رضا علیه السلام و پاسخگویی قبل از پرسش
خوشرفتاری عمر بن عبدالعزیز با فرزندان فاطمه علیهم السلام
لیروکنیت
ایزوستمون
فرهنگ اصطلاحات و واژگاه سینمایی( ب ، پ)
مرحله نخست ظهور امام مهدی علیه السلام
 کاربر Online
736 کاربر online
تاریخچه ی: زیرگروه

زیرگروه:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است.در بین زیر مجموعه های نا تهی {TEX()} {G} {TEX} ، زیر مجموعه هایی وجود دارند که تحت عمل دوتایی تعریف شده در{TEX()} {G} {TEX} یعنی {TEX()} {*} {TEX} تشکیل یک گروه میدهند و با توجه به این نوع زیر مجموعه ها میتوان زیر گروه را به صورت زیر تعریف نمود:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است و {TEX()} {\varnothing \neq H \subseteq G} {TEX} باشد. در این صورت {TEX()} {(H,*)} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} است ، هرگاه شرایط یک گروه را داشته باشد.
قرارداد:
1 . هرگاه {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه باشد و {TEX()} {(H,*)} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد مینویسیم : {TEX()} {H \le G} {TEX} .
2 . هرگاه {TEX()} {H<G} {TEX} در این صورت {TEX()} {H} {TEX} را زیر گروه محض {TEX()} {G} {TEX} تحت {TEX()} {*} {TEX} گویند.
3 . تنها زیرگروه تک عضوی هر گروه ، زیرگروه تشکیل شده توسط عنصر خنثی گروه است . و زیرگروه {TEX()} {{e}} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه بدیهی آن می نامند و تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} که مساوی {TEX()} {{e}} {TEX} نباشند ، زیرگروه نابدیهی {TEX()} {G} {TEX} می نامند.
4 . {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نابدیهی غیر واقعی {TEX()} {G} {TEX} می نامند.
نتیجه:
هر گروه دارای حداقل دو زیر گروه است.
قضیه:
زیر مجموعه ناتهی {TEX()} {H} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} ، زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ،اگر و فقط اگر:
1 . {TEX()} {G} {TEX} تحت عمل در {TEX()} {G} {TEX} بسته باشد.
2 . عضو خنثی {TEX()} {e} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} ، به {TEX()} {H} {TEX} متعلق باشد.
3 . برای هر {TEX()} {a \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {a^-1 \in H} {TEX}.
اثبات:
اگر {TEX()} {H} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد ، بدیهی است که سه شرط فوق برقرار است.
حال فرض میکنیم که سه شرط فوق برقرار باشند. ثابت میکنیم {TEX()} {H \le G} {TEX} :
برای زیرگروه بودن {TEX()} {H} {TEX} ، لازم است {TEX()} {H} {TEX} با توجه به عمل تعریف شده در {TEX()} {G} {TEX} ، دارای خاصیت شرکت پذیری باشد .
اما با توجه به این که خاصیت شرکت پذیری یک گروه ، به تمام زیر مجموعه های آن تحت آن عمل ، انتقال می یابد. ( به ارث میرسد). پس شرکت پذیری نیز در {TEX()} {H} {TEX} برقرار است.
لذا {TEX()} {H \le G} {TEX}.
قضیه:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است و {TEX()} {\varnothing \neq H \subseteq G} {TEX} . در این صورت {TEX()} {H \le G} {TEX} اگر و فقط اگر:
{TEX()} {\forall a,b \in H : a*b^\prime \in H} {TEX}
که در این رابطه {TEX()} {b^\prime} {TEX} وارون {TEX()} {b} {TEX} در{TEX()} {(G,*)} {TEX} است.
اثبات:
اگر{TEX()} {H \le G} {TEX} ، بدیهی است برای هر {TEX()} {a,b \in H} {TEX} ، شرط {TEX()} {a,b^\prime \in H} {TEX} برقرار است. بنابراین کافیست نشان دهیم:
{TEX()} {\forall a,b \in H :a*b^\prime \inH \Rightarrow H \le G} {TEX}.
برای این کار ، نشان میدهیم ، سه شرط قضیه فوق در {TEX()} {H } {TEX} صدق میکند:
خاصیت عضو خنثی:
چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار میدهیم ، {TEX()} {a=b} {TEX} لذا:
{TEX()} {a*b^\prime \inH \Rightarrow b*b^\prime =e \in H} {TEX}
حال خاصیت وارون هر عضو را در {TEX()} {H} {TEX} بررسی میکنیم:
چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار میدهیم ، {TEX()} {a=e} {TEX}.بنابراین:
{TEX()} {a*b^\prime \inH \Rightarrow e*b^\prime=b^\prime \in H} {TEX}
یعنی وارون هر عضو ، در {TEX()} {H} {TEX} قرار دارد.
اکنون بسته بودن را بررسی میکنیم:
{TEX()} {\forall a,b \in H : b^\prime \in H \Rightarrow a*b=a*(b^\prime)^\prime \in H} {TEX}
بنابراین{TEX()} {H \le G} {TEX}.
نکته:
1 . اگر{TEX()} {G} {TEX} یک گروه ضربی باشد ، {TEX()} {\varnothing \neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
{TEX()} {\forall a,b \in H : ab^-1 \inH} {TEX}
2 . همچنین اگر{TEX()} {G} {TEX} یک گروه جمعی باشد ، {TEX()} {\varnothing \neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
{TEX()} {\forall a,b \in H : a-b \inH} {TEX}

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 سه شنبه 29 فروردین 1385 [09:50 ]   4   سعید صدری      جاری 
 سه شنبه 29 فروردین 1385 [09:48 ]   3   زینب معزی      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:51 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:28 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..